From 030342f2e37d43e161c32249de642e3fc6ef3423 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Sat, 9 Mar 2024 19:09:12 +0100 Subject: [PATCH] Changed some headers to support english version --- contents/category_theory.tex | 2 +- contents/number_theory.tex | 46 +++++++++++++++++++----------------- main.tex | 4 ++-- 3 files changed, 27 insertions(+), 25 deletions(-) diff --git a/contents/category_theory.tex b/contents/category_theory.tex index ffe91c6..6615094 100644 --- a/contents/category_theory.tex +++ b/contents/category_theory.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \langchapter{Théorie des Catégories}{Category theory} %TODO Complete chapter -\section{Morphismes} +\langsection{Morphismes}{Morphisms} %TODO Complete section \section{Functors} diff --git a/contents/number_theory.tex b/contents/number_theory.tex index 6857984..20b974e 100644 --- a/contents/number_theory.tex +++ b/contents/number_theory.tex @@ -33,16 +33,15 @@ $2 := \{\{\emptyset\}\}$ $\N := \{0,1,2,3,\dots\}$ -Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. +Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0. -\subsection{Relations binaries} +\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection -\subsection{Opérateurs} +\langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection -\subsection{Dénombrabilité} -%\subsection{Countability} +\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} \begin{definition_sq} \label{definition:countability} Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$. @@ -56,7 +55,7 @@ L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible. De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie. -\subsubsection{Démonstration} +\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme @@ -99,13 +98,13 @@ Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$ -\subsection{Relations binaries} +\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection -\subsection{Opérateurs} +\langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection -\subsection{Dénombrabilité} +\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas. @@ -113,7 +112,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la t L'ensemble $\Z$ est dénombrable. \end{theorem_sq} -\subsubsection{Démonstration} +\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png} @@ -132,12 +131,12 @@ $p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$ $PGCD(p,q) := 1$ -\subsection{Relations binaries} +\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection $\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$ -\subsection{Opérateurs} +\langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection $\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$ @@ -146,7 +145,7 @@ $\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$ $\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$ -\subsection{Dénombrabilité} +\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas. @@ -154,7 +153,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombra L'ensemble $\Q$ est dénombrable. \end{theorem_sq} -\subsubsection{Démonstration} +\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} \begin{center} \includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png} @@ -176,7 +175,7 @@ $\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$ %\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson} \citeannexes{project_vae} -\subsection{Coupes de Dedekind} +\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts} %TODO Complete subsection \langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers} @@ -202,12 +201,12 @@ $i^2 = -1$ \hline \end{tabular} -\subsection{Relations binaries} +\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection $\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$ -\subsection{Opérateurs} +\langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique. @@ -317,18 +316,21 @@ Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujour Il existe une infinité de nombres premiers. \end{theorem_sq} -\langsubsubsection{Démonstration}{Demonstration} +\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} -Par preveue par contradiction, supposons qu'il existe un nombre fini de nombre premiers. +\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}% +{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.} $\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$ $\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$ -$\forall p \in \Pn, \omega \div p$ +$\forall p \in \Pn, \lnot(\omega \div p)$ -$\omega \notin \Pn \land \omega$ est premier +$\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn$ $\rightarrow\leftarrow$ -$\implies$ Il existe une infinité de nombre premiers. +$\implies |P| = \infty$ + +Il existe une infinité de nombre premiers. diff --git a/main.tex b/main.tex index 9439a4c..ce2b54e 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -7,7 +7,7 @@ %\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault} % Change default font to monospace font family %\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family \usepackage[T1]{fontenc} % Set the font (output) encoding -\usepackage[french]{language_selector} +\usepackage[french]{language_selector} % Allow to the language the document is written to ([french], english) %\usepackage[autolanguage]{numprint} % for the \nombre command \usepackage{hyphenat} % Hyphenation rules \hyphenation{mate-mática recu-perar} @@ -48,7 +48,7 @@ \langchapter{Préambule}{Stuffings} %TODO Complete chapter -\langsection{Motivations}{Motivations} +\section{Motivations} %TODO Complete section Ce notebook est destinée à acueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsecement imcomplet, imprècis voir éronné. A vous lecteur qui découvrent ce notebook, accueiller le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.