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 \subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
 
 % Emmanuel Militon
-Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) | n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
+Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \mid n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
 
-Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
+Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
 
 $$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
 $$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$
 
 avec $0 < \lambda \le 4$.
 
-\subsubsection*{Premier pas ...}
+\subsubsection*{Premier pas…}
 
-Pour l'instant, nous nous intéressont à la fonction suivante :
+Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
 
 $$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
 $$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
 
-Par induction sur le nombre d'application successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$
+Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$
 
 En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
 $$x
-	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i}
+	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
-	= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_m \cdots$$
+	= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
-avec $\forall i \in N^*, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
+avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
 $$T_b(x)
-	= b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} \mod 1
+	= b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1
-	= d_1 \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^i} \mod 1
+	= d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
-	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^i} \mod 1
+	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
-	= 0. d_2 d_3 d_4 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
+	= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
-Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicités des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécéssairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
+Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicité des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécessairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
 
 \begin{theorem_sq}
 	Le tuple $([0, 1], d)$ avec la fonction $d$ défini comme :
 	$$\function{d}{[0, 1]^2}{\R_+}$$
-	$$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}}$$
+	$$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}}$$
 	est un espace métrique.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est nul pour la distance un élément et lui même, symétrique et respecte l'inégalité triangulaire. Comme cette fonction est basé sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates :
+	Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est une métrique. Comme cette fonction est basée sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates :
 	\begin{itemize}
-		\item{Nul avec un élément et lui même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x)
+		\item{Nul avec un élément et lui-même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x)
-			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^{i + 1}}
-			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{0}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{0}{b^{i + 1}}
 			= 0$}
 		\item{Symétrie : $\forall (x, y) \in [0, 1]^2, d(x, y)
-			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
-			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^{i + 1}}
 			= d(y, x)$}
 		\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in [0, 1]^3, d(x, y)
-			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
-			\le \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^i}
+			\le \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
-			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^i} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^{i + 1}} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
 			= d(x, z) + d(z, y)$}
 	\end{itemize}
 \end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
+\end{definition_sq}
+