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@@ -260,7 +260,7 @@ $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
\langsubsection{Séries alternées}{Alternating Series}
\begin{definition_sq}
Une série de terme général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$.
Une série de termes général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$.
\end{definition_sq}
Source : \citeannexes{maths_adultes_series_numerique_1}
@@ -275,7 +275,7 @@ $\implies \forall n \in \N, S_{2n + 1} \le S \le S_{2n}, \abs{R_n} \le a_{n + 1}
\end{theorem_sq}
Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est converge $\equivalence$ si $\alpha > 0$
Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est convergente $\equivalence$ si $\alpha > 0$
\section{Zeta}
@@ -326,7 +326,7 @@ La somme converge $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a$ quand $a < -1$ (critère de R
$x \in \R \backslash \pi \backslash \Z, \sum\limits_{k=1}^N e^{2ikx} = \frac{e^{2i(N+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} - 1$
Soit $a < b \in \R$ et soit $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'integrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge des que
Soit $a < b \in \R$ et $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'intégrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge dès que
\begin{itemize}
\item{$f$ se prolonge en une fonction continue en $a$}
@@ -351,7 +351,7 @@ $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge simplement, unifor
Pour montrer qu'une série de fonctions $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} f_n(x)$ est dérivable sur un intervalle $I$, on doit impérativement montrer que
\begin{itemize}
\item{chacune des fonctions $f_n$ est dériable sur $I$}
\item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tout compact de $I$}
\item{chacune des fonctions $f_n$ est dérivable sur $I$}
\item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tous compact de $I$}
\item{la série $\sum\limits_{n \ge 1} f_n(x)$ converge pour au moins un $x \in I$}
\end{itemize}