Typo fixes

contents/topology_dm1.tex

@@ -4,23 +4,19 @@
 
 \bigskip
 
-
 \subsubsection*{Exercice 1}
-Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d'éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
 
 \subsubsubsection*{1.a}
 Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
-\\
 
 Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
 
 $\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-\\
 
 Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
 
 $\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
-\\
 
 Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
 
@@ -32,15 +28,14 @@ $\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
 
 $\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
 
-Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
+Par unicité de la limite, nous pouvons conclure.
 
 \begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1}
-Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
+Toutes sous-suites (ou suites extraites) d'une suite convergente vers $l \in E$ convergent vers $l$.
 \end{theorem_sq}
 
 \subsubsubsection*{1.b}
-Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
-\\
+Montrer que l'ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
 
 Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
 
@@ -49,16 +44,16 @@ $\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \cl
 $\equivalence (x_n)$ est fermée.
 
 \begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2}
-Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
+Toutes suites \suite{x} d'éléments de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
 \end{theorem_sq}
 
 \subsubsection*{Exercice 2}
 Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
 
-Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
+Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d'accumulation dans $K$.
 
 \begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
-Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+Un sous ensemble K d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d'éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{lemme_sq}
@@ -66,7 +61,6 @@ $K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
 \end{lemme_sq}
 
 $K$ est compact
-\\
 
 Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
 
@@ -86,7 +80,7 @@ Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
 
 \paragraph*{Si $X$ est fini}
 
-$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solutions ayant la même valeur.
 
 $\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
 
@@ -122,12 +116,11 @@ Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimu
 \end{theorem_sq}
 
 \subsubsection*{Exercice 4}
-Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
+Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d'éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
 
 $$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
 
-Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
-\\
+Montrer qu'une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
 
 \begin{lemme_sq}
 Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.