From 0ebe926d7cbfc9dd2c8b2bb0411b10bf7830f03b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Sun, 30 Mar 2025 21:59:54 +0200 Subject: [PATCH] Moved group theory and ring theory to seperate files --- contents/algebra.tex | 454 -------------------------- contents/group_theory.tex | 654 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ contents/ring_theory.tex | 48 +++ main.tex | 2 + references/annexes.bib | 4 - 5 files changed, 704 insertions(+), 458 deletions(-) create mode 100644 contents/group_theory.tex create mode 100644 contents/ring_theory.tex diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index cb7fcd2..cce08d0 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -30,446 +30,6 @@ Un monoïde $(E, \star)$ est un magma unital \ref{definition:unital_magma} dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}. \end{definition_sq} -\langsubsection{Groupe}{Group} - -\begin{definition_sq} \label{definition:group} - Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} tous les éléments sont inversibles i.e. $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = \Identity_G$. -\end{definition_sq} - -\begin{definition_sq} \label{definition:order_group} - Le cardinal d'un groupe $(G, \star)$ est appelé \textbf{ordre du groupe}, dans le cas d'un cardinal fini, on parlera de \textbf{groupe fini}. -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = \Identity_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star \Identity_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$. -\end{proof} - -\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} - -\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group} - Un groupe est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}. -\end{definition_sq} - -\begin{definition_sq} - Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \suchthat \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$. -\end{definition_sq} - -\begin{definition_sq} - Soit $(G, +) \in \Ab$, si le groupe de torsion $T = \{ \Identity_G \}$ alors $G$ est dit \textbf{sans torsion}. -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, +) \in \Ab$, le groupe de torsion $T$ est un groupe. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup} - -\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup} - Soit $(G, \star) \in \Grp$. Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un \textbf{sous-groupe} de $G$ si $H$ est également un groupe, dans ce cas on notera $H \leqslant G$. - - Les sous-groupes tels que $H = G$ ou $H = \{ \Identity_G \}$ sont appelées les \textbf{sous-groupes triviaux} de $G$. -\end{definition_sq} - -\langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup} - -\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup} - Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \suchthat k \in \Z \} \subseteq G$ -\end{definition_sq} - -\begin{proof} - Soit un groupe $(G, \star)$ ainsi que $x \in G$. Comme $\generator{x} \subseteq G$, il suffit de vérifier l'élément neutre et l'inversibilité. Ce qui est immédiat avec la proposition suivante : $\forall y \in G, \forall p \in \Z, y^p \star y^{-p} = \Identity$. -\end{proof} - -\langsubsubsection{Produit direct de groupe}{Direct product of groups} - -\begin{definition_sq} \label{definition:direct_product_group} - Le \textbf{produit direct} ou \textbf{groupe produit} de deux groupes $(G, \star)$ et $(H, +)$ est l'ensemble $G \cartesianProduct H$ muni de l'opération $\function{\triangle}{(G \cartesianProduct H)^2}{G \cartesianProduct H} \hspace{1mm} \functiondef{(x_1, x_2) \cartesianProduct (y_1, y_2)}{(x_1 \star y_1, x_2 + y_2)}$ -\end{definition_sq} - -\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism} - -\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism} - Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$). - - Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{X}{Y}$ tel que - - $$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$ - - Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute : - - \[\begin{tikzcd} - X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\ - X \arrow[r, "\phi"] & Y - \end{tikzcd}\] -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity} - Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}. - - $$f(\Identity_G) = \Identity_H$$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$. - - $$\forall x \in G, \left[ f(x) = f(x + \Identity_G) = f(x) \star f(\Identity_G) \right] \land \left[ f(x) = f(\Identity_G + x) = f(\Identity_G) \star f(x) \right] \equivalence f(\Identity_G) = \Identity_H$$ -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv} - Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}. - - $$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$. - - $$\forall x \in G, f(\Identity_G) = f(x + x^{-1}) = f(x) \star f(x^{-1})$$ - - Par définition d'un morphisme $\exists y \in H, y = f(x)$ et par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity} - - $$y \star f(x^{-1}) = \Identity_H \implies f(x^{-1}) = y^{-1} \implies f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$ -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab} - Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}. - - $$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}. - - $f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$ - - $\implies f(x + y) = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = f(y + x)$ -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab} - Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}. - - $$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}. - - $f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$ - - $(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$ -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}. - - $$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}. - - \impliespart - - $(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab}) - - \Limpliespart - - $(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab}) -\end{proof} - -\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel} - Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \suchthat \phi(g) = \Identity_G \}$. -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ le noyau d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$ est un sous-groupe de $X$ et $\phi$ est injectif si et seulement si $\ker(\phi) = \{ \Identity_X \}$. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. - - \begin{itemize} - \item{$\Identity_G \in \ker(\phi)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}} - \item{$\forall (x, y) \in (\ker(\phi))^2, \phi(x \star y) = \phi(x) + \phi(y) = \Identity_H + \Identity_H = \Identity_H \implies x \star y \in \ker(\phi)$} - \item{(Version longue) $\forall x \in \ker(\phi), \phi(x \star x^{-1}) = \phi(x) + \phi(x^{-1}) = \Identity_H + \phi(x^{-1}) = \phi(x^{-1}) = \Identity \implies x^{-1} \in \ker(\phi)$} - \item{$\forall x \in \ker(\phi), \phi(x^{-1}) = \phi^{-1}(x) \equivalence \Identity_H^{-1} = \Identity_H$ (par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} et \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}) $\implies x^{-1} \in \ker(\phi)$} - \end{itemize} - - $\implies \ker(\phi) \subgroup G$ - - Soit $(x, y) \in G$ - - $$\phi(x) = \phi(y) \implies \phi(x \star y^{-1}) = \phi(x) + \phi(y^{-1}) = \phi(x) + \phi^{-1}(y)$$ - - Par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} - - $$\phi(x) + \phi^{-1}(y) = \phi(x) + \phi(x) = \Identity_H \implies x \star y^{-1} = \Identity_G \in \ker(\phi) \implies x = y$$ -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. Alors l'image $f(X) \subseteq Y$ est un sous-groupe de $Y$. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. - - \begin{itemize} - \item{$\Identity_H \in \phi(X)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}} - \item{$\forall (a', b') \in \phi(X)^2, \exists (a, b) \in X^2, a' = \phi(a) \land b' = \phi(b) \implies \phi(a) + \phi(b) = \phi(a \star b) \in \phi(X)$} - \item{$\forall a \in \phi(X), \exists b \in X, a = \phi(b) \implies a^{-1} = \phi(b)^{-1} = \phi(b^{-1})$ par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} $\implies a^{-1} \in \phi(X)$} - \end{itemize} -\end{proof} - -\langsubsubsection{Groupes cycliques}{Cyclic groups} - -\begin{definition_sq} \label{definition:cyclic_group} - On dit qu'un groupe $(G, \star)$ \ref{definition:group} est \textbf{cyclique} s'il existe $x \in G$ tel que $\generator{x} = G$. On dit alors que $x$ est un \textbf{générateur} de $G$. -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique \ref{definition:cyclic_group} - \begin{itemize} - \item{Si $\card{G} = \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z, +)$} - \item{Si $\card{G} = n < \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$} - \end{itemize} -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec le générateur $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ alors l'ordre de $G$ est $\frac{n}{\gcd(n, q)}$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ si $\gcd(n, q) = 1 \implies x$ est un générateur de $G$. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func} - L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \suchthat m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$ -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique d'ordre $n$ \ref{definition:cyclic_group} avec $a \in G$ générateur. Si $d \in \N, d \divides n \implies \exists! H \subgroup G, \card{H} = d$, autrement dit, on a $H = \generator{a^{\frac{n}{d}}}$. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{definition_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \suchthat x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \suchthat x \in H \}$. - - Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc - $$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$ - $$x \sim_d y \equivalence y \in Hx \equivalence yx^{-1} \in H$$ -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Les notations $\sim_g$ et $\sim_d$ sont des relations d'équivalences. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ ainsi que $G / \sim_g$ (et $G / \sim_d$) le quotient de $G$. Alors, on a une bijection $\function{\phi}{G / \sim_g}{G / \sim_d}$ $\functiondef{[xH]}{[Hx^{-1}]}$. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{definition_sq} \label{definition:group_indice} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Si le nombre de classes modulo $H$ est fini, on appelle ce nombre \textbf{l'indice} de $H$ dans $G$ noté $[G:H]$ -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} \label{theorem:lagrange_theorem} - Soit $(G, \star)$ un groupe fini et $H \subgroup G \implies [G:H] = \frac{\card{G}}{\card{H}}$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ et $a \in G \implies [ ord(a) \divides n ] \land [ a^n = 1 ]$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ un nombre premier alors $G$ est cyclique. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\langsubsubsection{Sous-groupe distingué et quotient}{Proper subgroup and quotient} - -\begin{definition_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$, on dit que $H \subgroup G$ est \textbf{distingué} si $\forall x \in G, xH = Hx$. On écrira alors $H \normalSubgroup G$ ainsi que $G/H := G / \sim_g = G / \sim_d$ l'ensemble des classes à gauche et droite. -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Le noyau de $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} est distingué. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ si $H \subgroup G$ est un sous-groupe d'indice 2 alors $H$ est distingué. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$, on a $H \normalSubgroup G \equivalence \forall x \in G, xHx^{-1} = H$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G \implies G / H$ a une structure de groupe donné par $\function{f}{G/H \cartesianProduct G/H}{G/H} \functiondef{([xH], [yH])}{[xyH]}$ de plus, l'application quotient $\function{q}{G}{G/H} \functiondef{x}{[xH]}$ est un morphisme de groupe avec $\ker(q) = H$. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} \label{theoren:universal_property_quotient} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G$ avec quotient $\function{q}{G}{G/H}$ ainsi que le morphisme de groupe $\function{f}{(G, \star)}{(G', +)}$ tel que $H \subseteq \ker(f)$. - - Alors $\exists! \function{\bar{f}}{G/H}{G}$ un morphisme de groupes tel que $f = \bar{f} \composes q$. De plus, on a - $\bar{f}$ injectif $\equivalence \ker(f) = H$ - $\bar{f}$ surjectif $\equivalence f$ surjectif - - - \[\begin{tikzcd} - G \arrow[r, "q"] \arrow[d, "f" left] & G/H \arrow[dl, dotted, "\exists! \bar{f}"] \\ - G' - \end{tikzcd}\] -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} alors $G / \ker(f) \isomorphic im(f)$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(p, q) \in \N^2, \gcd(p, q) = 1 \implies \Z/pq\Z \isomorphic \Z/p\Z \cartesianProduct \Z/q\Z$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{definition_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \suchthat k \in K, h \in H \} \subseteq G$ -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH \subgroup G$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH/K \isomorphic H/K \intersection H$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \normalSubgroup G$ tel que $H \subseteq K \implies (K/H) \normalSubgroup (G/H)$ ainsi que $(G/H)/(K/H) \isomorphic G/K$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{definition_sq} - Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \suchthat \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$ -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp \implies Aut(G) \subgroup S(K)$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{definition_sq} - Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que $\function{\phi}{(Q, \star)}{(Aut(K), \composes)}$ un morphisme de groupes. Alors on appelle \textbf{produit semi-direct} l'opération sur l'ensemble $K \cartesianProduct Q$ - - $$\function{\psi}{(K \cartesianProduct Q)^2}{K \cartesianProduct Q} \functiondef{(k_1, q_1), (k_2, q_2)}{(k_1 \star \phi(q_1)(k_2), q_1 \composes q_2))}$$ -\end{definition_sq} - -\begin{theorem_sq} - Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que le produit semi-direct $(\psi)$, alors le tuple $(K \cartesianProduct Q, \psi) \in \Grp$ et on le note $K \ltimes_q Q$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Si $K \ltimes_\phi Q$ est un produit semi-direct alors l'application $\function{\pi}{K \ltimes_\phi Q}{Q} \functiondef{(k, q)}{q}$ est un morphisme de groupes et $\ker(\pi) = K$. -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - -\begin{theorem_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$. - - $$\exists Q \subgroup G, KQ = G \land K \intersection Q = \{ \Identity_G \} \implies G \isomorphic K \ltimes_\phi Q$$ -\end{theorem_sq} - -\begin{proof} - % TODO Complete proof -\end{proof} - \langsubsection{Corps}{Field} \begin{definition_sq} \label{definition:field} @@ -487,20 +47,6 @@ Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}. \end{definition_sq} -\langsubsection{Anneau}{Ring} - -Source : \citeannexes{wikipedia_ring} - -\begin{definition_sq} \label{definition:ring} - Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire - - $\forall (a, b, c) \in R^3$ - \begin{itemize} - \item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$} - \item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$} - \end{itemize} -\end{definition_sq} - \section{Matrices} %TODO Complete section diff --git a/contents/group_theory.tex b/contents/group_theory.tex new file mode 100644 index 0000000..794d268 --- /dev/null +++ b/contents/group_theory.tex @@ -0,0 +1,654 @@ +\langsubsection{Groupe}{Group} + +\begin{definition_sq} \label{definition:group} + Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ou tous les éléments sont inversibles, c'est-à-dire $$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = \Identity_G$$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $(x, a, b) \in G^3$ tel que $a, b$ sont deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = \Identity_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star \Identity_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$. +\end{proof} + +\begin{definition_sq} \label{definition:order_group} + Le cardinal d'un groupe $(G, \star)$ est appelé \textbf{ordre du groupe}, dans le cas d'un cardinal fini, on parlera de \textbf{groupe fini}. +\end{definition_sq} + +\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} + +\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group} + Un groupe $(G, \star)$ est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in G^2, a \star b = b \star a$$ +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} \label{definition:torsion_group} + Soit $(G, \star) \in \Grp$, on appelle \textbf{groupe de torsion} (ou \textbf{groupe périodique}) l'ensemble + $$T := \{ g \in G \suchthat \exists n \in \N^*, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$, le groupe de torsion \ref{definition:torsion_group} $T$ est un sous-groupe \ref{definition:subgroup} de $G$, c'est-à-dire + $$(T_G, \star) \subgroup (G, \star)$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ ainsi que $(T_G, \star)$ le groupe de torsion. Montrons que $(T_G, \star)$ est un sous-groupe. + \begin{itemize} + \item{$\forall n \in \N^*, (\Identity_G)^n = \Identity_G \implies \Identity_G \in T_G$} + \item{$\forall (a, b) \in T_G, \exists (n, m) \in (\N^*)^2, a^n = b^m = \Identity_G, (ab)^{nm}$} + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{definition_sq} \label{definition:torsion_free_group} + Soit $(G, \star) \in \Grp$, si le groupe de torsion $T = \{ \Identity_G \}$ alors $G$ est dit \textbf{sans torsion}. +\end{definition_sq} + +\langsubsubsubsection{Groupes N-abélien}{N-abelian groups} + +\begin{definition_sq} \label{definition:n_abelian_groups} + Un groupe $(G, \star)$ est dit \textbf{N-abélien} s'il existe un entier naturel $n \ge 2$ tel que $\forall (a, b) \in G^2, (a \star b)^n = a^n \star b^n$. +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Un groupe est N-abélien si et seulement s'il est abélien \ref{definition:abelian_group}. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien, prouvons le théorème par induction sur $n$, pour alléger la notation, la notation multiplicative sera utilisé. + + \fbox{Cas initial $n = 2$} Soit $(G, \star)$ un groupe 2-abélien ainsi que $(a, b) \in G^2$ $$(ab)^2 = a^2b^2 \equivalence abab = aabb \equivalence \inv{a} (abab) \inv{b} = \inv{a} (aabb) \inv{b} \equivalence ba = ab$$ + + \fbox{Hérédité} + + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{lstlisting}[language=lean] + theorem two_n_groups_are_abelian {G : Type u} [Group G] {a b : G} : (a * b)^2 = a^2 * b^2 ↔ a * b = b * a := by + apply Iff.intro + -- Left + intro h + rw [pow_two, pow_two, pow_two, mul_assoc, mul_assoc, mul_right_inj, ← mul_assoc, ← mul_assoc, mul_left_inj] at h + exact h.symm + -- Right + intro h + rw [pow_two, pow_two, pow_two, ← mul_assoc, mul_assoc a, ← h, ← mul_assoc, mul_assoc] +\end{lstlisting} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien ainsi que $K := \{ x^n \suchthat x \in G \}$. $$K \normalSubgroup G$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien ainsi que $K := \{ x^n \suchthat x \in G \}$. Montrons que $K \subgroup G$ + + \begin{itemize} + \item{$\forall (a^n, b^n) \in K^2, a^n b^n = (ab)^n \implies a^n b^n \in K$} + \item{$(\Identity_G)^n = \Identity_G \implies \Identity_G \in K$} + \item{$\forall a^n \in K, \exists! \inv{a} \in G, \Identity_G = a \inv{a} = (a \inv{a})^n = a^n (a^{-1})^n = a^n a^{-n}= a^n \inv{(a^n)} \implies \inv{(a^n)} \in K$} + \end{itemize} + + Prouvons le théorème par induction sur $n$, pour alléger la notation, la notation multiplicative sera utilisé. + + \fbox{Cas initial $n = 2$} Soit $(G, \star)$ un groupe 2-abélien ainsi que $(a, b) \in G^2$ $$(ab)^2 = a^2b^2 \equivalence abab = aabb \equivalence \inv{a} (abab) \inv{b} = \inv{a} (aabb) \inv{b} \equivalence ba = ab$$ + + \fbox{Hérédité} + + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup} + +\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup} + Soit $(G, \star) \in \Grp$. Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un \textbf{sous-groupe} de $G$ si $H$ est également un groupe, dans ce cas on notera $H \leqslant G$. + + Les sous-groupes tels que $H = G$ ou $H = \{ \Identity_G \}$ sont appelées les \textbf{sous-groupes triviaux} de $G$. +\end{definition_sq} + +\langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup} + +\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup} + Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \suchthat k \in \Z \} \subseteq G$ +\end{definition_sq} + +\begin{proof} + Soit un groupe $(G, \star)$ ainsi que $x \in G$. Comme $\generator{x} \subseteq G$, il suffit de vérifier l'élément neutre et l'inversibilité. Ce qui est immédiat avec la proposition suivante : $\forall y \in G, \forall p \in \Z, y^p \star y^{-p} = \Identity$. +\end{proof} + +\langsubsubsection{Produit direct de groupe}{Direct product of groups} + +\begin{definition_sq} \label{definition:direct_product_group} + Le \textbf{produit direct} ou \textbf{groupe produit} de deux groupes $(G, \star)$ et $(H, +)$ est l'ensemble $G \cartesianProduct H$ muni de l'opération $\function{\triangle}{(G \cartesianProduct H)^2}{G \cartesianProduct H} \hspace{1mm} \functiondef{(x_1, x_2) \cartesianProduct (y_1, y_2)}{(x_1 \star y_1, x_2 + y_2)}$ +\end{definition_sq} + +\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism} + +\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism} + Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$). + + Soit $(G, \star)$ et $(H, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{G}{H}$ tel que + + $$\forall (a, b) \in G^2, \phi(a \star b) = \phi(a) \composes \phi(b)$$ + + Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute : + + \[\begin{tikzcd} + G \cartesianProduct G \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & H \cartesianProduct H \arrow[d, "\composes"] \\ + G \arrow[r, "\phi"] & H + \end{tikzcd}\] +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}. + + $$f(\Identity_G) = \Identity_H$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$. + + $$\forall x \in G, \left[ f(x) = f(x + \Identity_G) = f(x) \star f(\Identity_G) \right] \land \left[ f(x) = f(\Identity_G + x) = f(\Identity_G) \star f(x) \right] \equivalence f(\Identity_G) = \Identity_H$$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}. + + $$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$. + + $$\forall x \in G, f(\Identity_G) = f(x + x^{-1}) = f(x) \star f(x^{-1})$$ + + Par définition d'un morphisme $\exists y \in H, y = f(x)$ et par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity} + + $$y \star f(x^{-1}) = \Identity_H \implies f(x^{-1}) = y^{-1} \implies f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}. + + $$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}. + + $f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(x) = a \land f(y) = b$ + + $\implies f(x + y) = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = f(y + x)$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}. + + $$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}. + + $f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$ + + $(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}. + + $$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}. + + \impliespart + + $(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab}) + + \Limpliespart + + $(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab}) +\end{proof} + +\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \suchthat \phi(g) = \Identity_G \}$. +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:kernel_homomorphism_is_subgroup} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ le noyau d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$ est un sous-groupe de $X$ et $\phi$ est injectif si et seulement si $\ker(\phi) = \{ \Identity_X \}$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. + + \begin{itemize} + \item{$\Identity_G \in \ker(\phi)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}} + \item{$\forall (x, y) \in (\ker(\phi))^2, \phi(x \star y) = \phi(x) + \phi(y) = \Identity_H + \Identity_H = \Identity_H \implies x \star y \in \ker(\phi)$} + \item{(Version longue) $\forall x \in \ker(\phi), \phi(x \star x^{-1}) = \phi(x) + \phi(x^{-1}) = \Identity_H + \phi(x^{-1}) = \phi(x^{-1}) = \Identity \implies x^{-1} \in \ker(\phi)$} + \item{$\forall x \in \ker(\phi), \phi(x^{-1}) = \phi^{-1}(x) \equivalence \Identity_H^{-1} = \Identity_H$ (par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} et \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}) $\implies x^{-1} \in \ker(\phi)$} + \end{itemize} + + $\implies \ker(\phi) \subgroup G$ + + Soit $(x, y) \in G$ + + $$\phi(x) = \phi(y) \implies \phi(x \star y^{-1}) = \phi(x) + \phi(y^{-1}) = \phi(x) + \phi^{-1}(y)$$ + + Par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} + + $$\phi(x) + \phi^{-1}(y) = \phi(x) + \phi(x) = \Identity_H \implies x \star y^{-1} = \Identity_G \in \ker(\phi) \implies x = y$$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. Alors l'image $f(X) \subseteq Y$ est un sous-groupe de $Y$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. + + \begin{itemize} + \item{$\Identity_H \in \phi(X)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}} + \item{$\forall (a', b') \in \phi(X)^2, \exists (a, b) \in X^2, a' = \phi(a) \land b' = \phi(b) \implies \phi(a) + \phi(b) = \phi(a \star b) \in \phi(X)$} + \item{$\forall a \in \phi(X), \exists b \in X, a = \phi(b) \implies a^{-1} = \phi(b)^{-1} = \phi(b^{-1})$ par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} $\implies a^{-1} \in \phi(X)$} + \end{itemize} +\end{proof} + +\langsubsubsection{Groupes cycliques}{Cyclic groups} + +\begin{definition_sq} \label{definition:cyclic_group} + On dit qu'un groupe $(G, \star)$ \ref{definition:group} est \textbf{cyclique} s'il existe $x \in G$ tel que $\generator{x} = G$. On dit alors que $x$ est un \textbf{générateur} de $G$. +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:cyclic_group_isomorph_integers} + Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique \ref{definition:cyclic_group} + \begin{itemize} + \item{Si $\card{G} = \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z, +)$} + \item{Si $\card{G} = n < \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$} + \end{itemize} +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique et $x \in G$ un générateur de $G$. + + Posons l'application $\function{\phi}{(\Z, +)}{(G, \star)} \functiondef{n}{x^n}$. + + On remarque que $\forall (a, b) \in \Z^2, \phi(a + b) = x^{a + b} = x^a \star x^b = \phi(a) \star \phi(b) \implies \phi \in \hom(\Z, G)$ + + Comme $\generator{x} = G \implies \phi$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism} + \begin{itemize} + \item{Si $\card{\generator{x}} = \card{G} = \infty \implies \phi$ est un isomorphisme vers $(\Z, +)$} + \item{Si $\card{\generator{x}} = \card{G} = n < \infty \implies \phi$ est un isomorphisme vers $(\Z/n\Z, +)$} + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec le générateur $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ alors l'ordre de $G$ est $\frac{n}{\gcd(n, q)}$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + % TODO Complete proof + Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini tel que $n := \card{G}$, par \ref{theorem:cyclic_group_isomorph_integers} $(G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$. +\end{proof} + +\begin{corollary_sq} + Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ si $\gcd(n, q) = 1 \implies x$ est un générateur de $G$. +\end{corollary_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func} + L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \suchthat m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique d'ordre $n$ \ref{definition:cyclic_group} avec $a \in G$ générateur. Si $d \in \N, d \divides n \implies \exists! H \subgroup G, \card{H} = d$, autrement dit, on a $H = \generator{a^{\frac{n}{d}}}$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{definition_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \suchthat x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \suchthat x \in H \}$. + + Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc + $$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$ + $$x \sim_d y \equivalence y \in Hx \equivalence yx^{-1} \in H$$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Les notations $\sim_g$ et $\sim_d$ sont des relations d'équivalences. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ ainsi que $G / \sim_g$ (et $G / \sim_d$) le quotient de $G$. Alors, on a une bijection $\function{\phi}{G / \sim_g}{G / \sim_d}$ $\functiondef{[xH]}{[Hx^{-1}]}$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{definition_sq} \label{definition:group_indice} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Si le nombre de classes modulo $H$ est fini, on appelle ce nombre \textbf{l'indice} de $H$ dans $G$ noté $[G:H]$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq}[\lang{Théoreme de Lagrange}{Lagrange's theorem}] \label{theorem:lagrange_theorem} + Soit $(G, \star)$ un groupe fini et $H \subgroup G \implies [G:H] = \frac{\card{G}}{\card{H}}$. + + On appelle alors \textbf{indice} de $H$ dans $G$ le nombre $[G:H]$. + + De plus, si $H$ est un sous-groupe distingué \ref{definition:normal_subgroup} de $G$ alors $[G:H]$ est aussi le cardinal du groupe quotient $G/H$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ et $a \in G \implies [ ord(a) \divides n ] \land [ a^n = 1 ]$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ un nombre premier alors $G$ est cyclique. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\langsubsubsection{Sous-groupe distingué et quotient}{Proper subgroup and quotient} + +\begin{definition_sq} \label{definition:normal_subgroup} + Soit $(G, \star) \in \Grp$, on dit que $H \subgroup G$ est \textbf{distingué} (ou \textbf{normal}) si $\forall x \in G, xH = Hx$. + On écrira alors $H \normalSubgroup G$ +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} \label{definition:simple_group} + Un groupe non trivial $G$ est \textbf{simple} si ces seuls sous-groupes distingués sont $\{ \Identity_G \}$ et lui-même. +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} \label{definition:quotient_group} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ ainsi que $H \normalSubgroup G$, on appelle $G/H$ le \textbf{groupe quotient} de $G$ par $H$ que l'on définira de la manière suivante : $G/H := G / \sim_g = G / \sim_d$ l'ensemble des classes à gauche et droite. +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$, on a $H \normalSubgroup G \equivalence \forall x \in G, xHx^{-1} = H$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, \star) \in \Grp$. Par définition \ref{definition:normal_subgroup}, si $H \normalSubgroup G$, alors $\forall x \in G, xH = Hx$, comme $x$ est inversible par la définition d'un groupe \ref{definition:group}, il suffit de multiplier à droite $x^{-1}$ pour obtenir l'équivalence avec $xHx^{-1} = H$. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Le noyau de $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} est distingué. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism}. + Par \ref{theorem:kernel_homomorphism_is_subgroup}, on sait que $\ker(f) \subgroup G$. + Soit $x \in G$ et $y \in \ker(f)$, on peut poser $f(x \star y \star x^{-1}) = f(x) + \Identity_H + f(x^{-1}) = \Identity_H \implies x \star y \star x^{-1} \in \ker(f)$. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ si $H \subgroup G$ est un sous-groupe d'indice 2 alors $H$ est distingué. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ tel que $[G:H] = 2$ ainsi que $x \in G$. + + Si $x \in H \implies xH = H = Hx$, car $H$ est un sous-groupe. + + Sinon $x \notin H \implies Hx \distinctUnion H = xH \distinctUnion H = G \equivalence Hx = G \setminus H = xH$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G \implies G / H$ a une structure de groupe donné par $\function{f}{G/H \cartesianProduct G/H}{G/H} \functiondef{([xH], [yH])}{[xyH]}$ de plus, l'application quotient $\function{q}{G}{G/H} \functiondef{x}{[xH]}$ est un morphisme de groupe avec $\ker(q) = H$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} \label{theoren:universal_property_quotient} + Soit $((G, \star), (G', +)) \in \Grp^2$ et $H \normalSubgroup G$ avec quotient $\function{q}{G}{G/H}$ ainsi que l'homomorphisme $\function{f}{(G, \star)}{(G', +)}$ tel que $H \subseteq \ker(f)$. + + Alors $\exists! \function{\bar{f}}{G/H}{G}$ un morphisme de groupes tel que $f = \bar{f} \composes q$. + + De plus, on a $\bar{f}$ injectif $\equivalence \ker(f) = H$ ainsi que $\bar{f}$ surjectif $\equivalence f$ surjectif + + \[\begin{tikzcd} + G \arrow[r, "q"] \arrow[d, "\forall f" left] & G/H \arrow[dl, dotted, "\exists! \bar{f}"] \\ + G' + \end{tikzcd}\] +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:first_isomorphism_theorem} + Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} alors $G / \ker(f) \isomorphic im(f)$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(p, q) \in \N^2, \gcd(p, q) = 1 \implies \Z/pq\Z \isomorphic \Z/p\Z \cartesianProduct \Z/q\Z$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{definition_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \suchthat k \in K, h \in H \} \subseteq G$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH \subgroup G$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH/K \isomorphic H/K \intersection H$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \normalSubgroup G$ tel que $H \subseteq K \implies (K/H) \normalSubgroup (G/H)$ ainsi que $(G/H)/(K/H) \isomorphic G/K$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{definition_sq} + Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \suchthat \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp \implies Aut(G) \subgroup S(K)$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{definition_sq} + Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que $\function{\phi}{(Q, \star)}{(Aut(K), \composes)}$ un morphisme de groupes. Alors on appelle \textbf{produit semi-direct} l'opération sur l'ensemble $K \cartesianProduct Q$ + + $$\function{\psi}{(K \cartesianProduct Q)^2}{K \cartesianProduct Q} \functiondef{(k_1, q_1), (k_2, q_2)}{(k_1 \star \phi(q_1)(k_2), q_1 \composes q_2))}$$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que le produit semi-direct $(\psi)$, alors le tuple $(K \cartesianProduct Q, \psi) \in \Grp$ et on le note $K \ltimes_q Q$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Si $K \ltimes_\phi Q$ est un produit semi-direct alors l'application $\function{\pi}{K \ltimes_\phi Q}{Q} \functiondef{(k, q)}{q}$ est un morphisme de groupes et $\ker(\pi) = K$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$. + + $$\exists Q \subgroup G, KQ = G \land K \intersection Q = \{ \Identity_G \} \implies G \isomorphic K \ltimes_\phi Q$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\langsubsubsection{Exercices}{Exercises} + +\begin{exercise_sq} + Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$ + \begin{enumerate}[(a)] + \item{Montrer que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, que cela dit sur les entiers relatifs ?} + \item{Est-ce que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(xy) = f(x)f(y)$ est aussi vrai ?} + \end{enumerate} +\end{exercise_sq} + +\begin{proof} + Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$. + \begin{enumerate}[(a)] + \item{Soit $(x, y) \in \Z^2$ + + Comme tout entier est soit pair ou impair, on peut donc faire une disjonction en 4 cas + + \begin{tabular}{c|c|c|c} + $x$ & $y$ & $f(x + y)$ & $f(x)f(y)$ \\ + \hline + $\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 2y') = f(2(x' + y')) = 1$ & $1 \cdot 1 = 1$ \\ + \hline + $\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 2y' + 1) = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $1 \cdot -1 = -1$ \\ + \hline + $\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y') = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $-1 \cdot 1 = -1$ \\ + \hline + $\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y' + 1) = f(2(x' + y' + 1)) = 1$ & $-1 \cdot -1 = 1$ + \end{tabular} + + On a donc $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, $f$ est donc un homomorphisme.} + + \item{Soit $(x, y) \in \Z^2$, dans le cas ou $x$ est pair et $y$ est impair, on remarque que $f(xy) = f(2x'(2y' + 1)) = f(2(2x'y' + x')) = 1$ alors que $f(x)f(y) = 1 \cdot -1 = -1$. + } + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{exercise_sq} + Soit $G$ un groupe d'ordre 4. Supposons que $G$ n'est pas isomorphe au groupe $\Z/4\Z$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z$. +\end{exercise_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO: Complete proof +\end{proof} + +\begin{exercise_sq} + \begin{enumerate}[(a)] + \item{Montrer qu'un élément $\bar{a}$ de $(\Z/n\Z, +)$ est générateur si et seulement s'il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.} + \item{Soit $(G, \composes)$ un groupe, Montrer qu'un morphisme de groupe $$\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(G, \composes)}$$ est déterminé par $\varphi(\bar{1})$.} + \item{Soit $\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(\Z/n\Z, +)}$ un morphisme. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme si et seulement si $\varphi(\bar{1})$ est générateur.} + \end{enumerate} +\end{exercise_sq} + +\begin{proof} + % TODO: Complete proof + \begin{enumerate}[(a)] + \item{\impliespart + + Soit $(\Z/n\Z, +) \in \Grp$ et $\bar{a}$ générateur de $\Z/n\Z$, il existe donc $b \in \N^*$ tel que $\sum\limits_{i = 1}^b \bar{a} = 1$, or comme $\card{\generator{\bar{a}}} = n \implies b \le n$. + + $\Limpliespart$ + } + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{exercise_sq} + \begin{enumerate}[(a)] + \item{Montrer que l'ensemble $G$ des matrices défini par $$G := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat x, y, z \in \R \right\}$$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$.} + \item{Calculer le centre de $G$, c'est-à-dire $$Z(G) = \{ g \in G \suchthat gh = hg \forall h \in G \}$$} + \end{enumerate} +\end{exercise_sq} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[(a)] + \item{Tous les éléments de $G$ sont des matrices triangulaires supérieures qui sont inversibles, il suffit donc de vérifier chaque axiome d'un sous-groupe. + + \begin{itemize} + \item{Soit $A \in G$ tel que $x = y = z = 0 \implies A = \Identity_3 \implies \Identity_3 \in G$} + \item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que + $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et + $B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ + + $AB = \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, + hors $(x + a, y + az + b, z + c) \in \R^3 \implies AB \in G$} + \item{Soit $A \in G, \exists! \inv{A} \in GL_3(\R)$ ainsi que $(a, b, c) \in \R^3$ tel que + $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ comme + $A \inv{A} = \Identity_G \implies \inv{A} = + \begin{pmatrix} 1 & -a & ac - b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, + hors $(-a, ac - b, -c) \in \R^3 \implies \inv{A} \in G$} + \end{itemize} + + $G$ est de ce fait un sous-groupe de $GL_3(\R)$. + } + \item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que + $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et + $B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ + + $AB = BA \equivalence \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = + \begin{pmatrix} 1 & a + x & b + cx + y \\ 0 & 1 & c + z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \equivalence az = cx$ + + Pour un $A$ fixé, la seule manière de rendre le produit commutatif pour tout $B$ est de mettre $a = c = 0$ + + $\implies Z(G) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat b \in \R \right\}$ + } + \end{enumerate} +\end{proof} + diff --git a/contents/ring_theory.tex b/contents/ring_theory.tex new file mode 100644 index 0000000..a943540 --- /dev/null +++ b/contents/ring_theory.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +\langsubsection{Anneau}{Ring} + +\begin{definition_sq} \label{definition:ring} + Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire + + $\forall (a, b, c) \in R^3$ + \begin{itemize} + \item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$} + \item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$} + \end{itemize} +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_ring} + Un anneau $(R, +, \star)$ est dit \textbf{commutatif} si l'opération $(\star)$ est commutatif, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in R^2, a \star b = b \star a$$ +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} \label{definition:subring} + Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $S \subseteq R$ est un \textbf{sous-anneau} si $(S, +, \star)$ est un anneau. +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} \label{definition:ring_unit} + Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un élément $x \in R$ est dit \textbf{inversible} (on dit aussi que $x$ est une \textbf{unité}) s'il existe $y \in R$ tel que $x \star y = y \star x = \Identity_\star$ + + On notera l'ensemble des unités $R^{\cartesianProduct}$. +\end{definition_sq} + +\langsubsubsection{Morphisme d'anneau}{Ring morphism} + +\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism} + Un \textbf{morphisme d'anneau} est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des anneaux ($\Ring$). + + Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'application $\function{\phi}{R}{S}$ tel que + + $$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a +_R b) = \phi(a) +_S \phi(b)$$ + $$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a \cartesianProduct_R b) = \phi(a) \cartesianProduct_S \phi(b)$$ + $$\phi(\Identity_{\cartesianProduct_R}) = \Identity_{\cartesianProduct_S}$$ +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$ + $$\phi(\Identity_{+_R}) = \Identity_{+_S}$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux, l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$ ainsi que $x \in R, y \in S$ tel que $\phi(x) = y$. Cela nous permet nous poser les équivalences suivantes + + $\phi(x +_R \Identity_R) = \phi(x) = \phi(\Identity_R +_R x) \equivalence y +_S \phi(\Identity_R) = y = \phi(\Identity_R) +_S y \equivalence \phi(\Identity_R) = \Identity_S$ +\end{proof} diff --git a/main.tex b/main.tex index 1bc26bd..6f7c2ac 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -71,6 +71,8 @@ De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce n \input{contents/number_theory} \input{contents/combinatorics} \input{contents/algebra} +\input{contents/group_theory} +\input{contents/ring_theory} \input{contents/algebra_dm1} \input{contents/algebra_dm2} \input{contents/trigonometry} diff --git a/references/annexes.bib b/references/annexes.bib index 7087513..efcc13f 100644 --- a/references/annexes.bib +++ b/references/annexes.bib @@ -385,7 +385,3 @@ title = {Topological transitivity - Scholarpedia}, url = {http://www.scholarpedia.org/article/Topological\_transitivity} } -@online{wikipedia_ring, - title = {Ring (mathematics)}, - url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Ring\_(mathematics)} -}