From 19958a8ebdcbc909130570f7fdc9545441dc3be7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: saundersp <pierre.saundersgb@gmail.com>
Date: Thu, 23 Jan 2025 12:21:32 +0100
Subject: [PATCH] contents/topology.tex : Added disjoints compacts make
 disjoints open

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 contents/topology.tex | 15 +++++++++++++++
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index da08a61..2f11609 100644
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@@ -273,6 +273,21 @@ Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 	Un espace topologique $E$ est \textbf{compact} si $E$ est séparé \ref{definition:separated_space} et si tout recouvrement de $E$ par des ouverts contient un recouvrement fini de $E$ i.e. si $E = \Union\limits_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe une partie finie $V := \{i_1, i_2, \cdots, i_n\}$ de $I$ tel que $E = \Union\limits_{v \in V} v$
 \end{definition_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $K,L$ de $\R^N$ deux compacts disjoints, la distance $d(K, L) = \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$ est strictement positive. Également, il existe deux ouverts $U$ et $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $K$ et $L$ deux compacts disjoints ainsi que la distance défini tel que $d(K, L) := \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$.
+
+	Considérons la fonction $\function{f}{K \cartesianProduct L}{\R_+} \functiondef{(x, y)}{d(x, y)}$. Par la continuité de la métrique, $f$ est continue, ainsi que $d(K, L) = \inf_{K \cartesianProduct L} f > 0$, car si $x \in K$ et $y \in L$, $d(x, y) = 0 \implies x = y$ hors $x \in K \intersection L = \emptyset$ (parce que disjoints). De plus, comme $f$ est une fonction continue dans un ensemble compact, il atteint sa borne inférieure dans son domaine i.e. $f > 0 \implies \inf f > 0 \implies d(K, L) > 0$. Notons cette distance $R$.
+
+	Comme $R > 0$, nous pouvons construire pour chaque élément de $K$ et $L$ une boule ouverte de centre $x \in K$ et de rayon $\frac{R}{2}$ (et respectivement pour $L$). Cela permet de définir $U := \Union\limits_{x \in K} \B(x, \frac{R}{2})$ et $V := \Union\limits_{y \in L} \B(y, \frac{R}{2})$. Par construction, $K \subset U$ et $L \subset V$.
+
+	Finalement, $U$ et $V$ sont des réunions d'ouverts donc $U$ et $V$ sont des ouverts. De plus $U \intersection V$ est habité $\equivalence d(K, L) < \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R$. Cette proposition étant toujours fausse $U \intersection V = \emptyset$ ce qui montre que $U$ et $V$ sont disjoints.
+\end{proof}
+
+
 \langsection{Connexité}{Connectness}
 
 \begin{definition_sq}