From 1ba329e82ddfe4029adc6270f9c96d4a4015d006 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Fri, 20 Dec 2024 21:49:14 +0100 Subject: [PATCH] contents/computer_science.tex : Renamed 'denumbrability' to countability and added more theorems and properties --- contents/number_theory.tex | 146 ++++++++++++++---- ...e_integers.gv => countability_integers.gv} | 2 +- ...rationals.gv => countability_rationals.gv} | 2 +- 3 files changed, 119 insertions(+), 31 deletions(-) rename graphs/{countable_integers.gv => countability_integers.gv} (95%) rename graphs/{countable_rationals.gv => countability_rationals.gv} (97%) diff --git a/contents/number_theory.tex b/contents/number_theory.tex index 193df5a..be28a4e 100644 --- a/contents/number_theory.tex +++ b/contents/number_theory.tex @@ -10,30 +10,26 @@ \langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction} %TODO Complete subsection -Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0' +Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0' -$0 := \emptyset$ - -$1 := \{0\} = \{\emptyset\}$ - -$2 := \{1, 0\} = \{\{\}\}$ +$$0 := \emptyset$$ +$$n+1 := \{n + 1\} \cup \Union_{k \in \N} n_k$$ +$$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$$ \subsection{Construction de ??} %TODO Complete subsection -Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0' +Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0' $0 := \emptyset$ Using recursion, we can define all the following integers. -$1 := \{\emptyset\}$ - -$2 := \{\{\emptyset\}\}$ +$n + 1 := \{n\}$ $\N := \{0,1,2,3,\dots\}$ -Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0. +Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate and makes writing some proofs less verbose, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0. \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection @@ -44,7 +40,7 @@ Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} \begin{definition_sq} \label{definition:countability} -Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$. +Un ensemble $E$ est dit \textbf{dénombrable} si, et seulement si, il existe une application injective \ref{definition:injective} de $E$ dans une partie de $\N$. \end{definition_sq} \langsubsection{Infini}{Infinity} @@ -67,8 +63,6 @@ $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$ $\functiondef{n}{2n}$ -\end{proof} - On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante : $\function{g}{\N,\N}{\N_c}$ @@ -79,6 +73,8 @@ $\functiondef{n,c}{cn}$ Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille". +\end{proof} + \langsubsection{Propriétés}{Proprieties} %TODO Complete subsection @@ -91,6 +87,10 @@ Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$. \end{theorem_sq} +\begin{theorem_sq} +$\sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ +\end{theorem_sq} + \langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers} %TODO Complete section @@ -106,16 +106,20 @@ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas. -\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_integers} +\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers} L'ensemble $\Z$ est dénombrable. \end{theorem_sq} \begin{proof} +On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant + \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png} \end{center} +Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective + $\function{f}{\Z}{\N}$ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$ @@ -125,9 +129,9 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$ \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers} %TODO Complete section -$p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$ +$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$ -$PGCD(p,q) := 1$ +$\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$ \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection @@ -137,34 +141,120 @@ $\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \ \langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection -$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$ +\langsubsubsection{Égalité}{Equality} -$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$ -$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$ +$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} := \frac{pb + aq}{qb}$ + +$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} := \frac{pa}{qb}$ + +$\implies \forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$ + +$\implies \forall (p,q) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ L'opérateur est réflective \ref{definition:reflexivity} + +L'opérateur est associative \ref{definition:associativity} + +$\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ + +\begin{proof} + +Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$ + +$\implies pn = qm \land mb=na$ + +$\implies pnmb = qmna$ + +$\implies pmb = qma$ + +if $m \neq 0$ + +$\implies pb = qa$ + +$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ + +otherwise + +$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0$ + +$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ + +By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ + +\end{proof} \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas. -\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_rationals} +\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_rationals} L'ensemble $\Q$ est dénombrable. \end{theorem_sq} \begin{proof} +On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$ + \begin{center} \includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png} \end{center} +Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable. + +Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective + $P_i$ sont des nombres premiers. $\function{f}{\Q}{\N}$ -$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{\abs{p}} + 1}P_2^pP_3^q}$ +$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$ + +Hors, toutes fonctions injective dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable. \end{proof} +\langsubsection{Propriétés}{Proprieties} +%TODO Complete subsection + +Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$ + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals} +Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que + +$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$ + +$\equivalence x \in \Q$ + +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + +\impliespart + +Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que + +$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$ + +$\function{S}{\R}{\Z}$ + +$Sign(x) = \begin{cases}-1 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0\end{cases}$ + +Posons $z \in \Z$ et $r \in \R$ tel que $z = Sign(x)\floor{\abs{x}}$ et $r = \fractional{x}$ ainsi que $x = z + r$. + +$r = 0, \overline{d_1d_2 \cdots d_n}$ + +$\implies 10^nr = d_1d_2 \cdots d_n, \overline{d_1d_2 \dots d_n}$ + +$\implies (10^n - 1)r = d_1d_2 \cdots d_n$ + +$\implies r = \frac{d_1d_2 \cdots d_n}{10^n - 1}$ + +$\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$ + +\Limpliespart + +Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in Z, q \in N^*, PGCD(p,q) = 1, x = \frac{p}{q}$ + +Lors d'une longue division on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \ge r < q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui est un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créer une séquence de décimales qui se répétera. \end{proof} \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers} @@ -186,7 +276,7 @@ $\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $ $i^2 = -1$ -\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table} +\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c||c|c|} @@ -224,7 +314,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases} Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion} -\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table} +\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|} @@ -246,7 +336,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion} Source: \citeannexes{wikipedia_octonion} -\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table} +\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} @@ -284,7 +374,7 @@ Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion} -\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table} +\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c|c|c|c|} @@ -320,9 +410,7 @@ Il existe une infinité de nombres premiers. \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}% {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.} -$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$ - -$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$ +Let $\Pn := \{p | p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$ $\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$ diff --git a/graphs/countable_integers.gv b/graphs/countability_integers.gv similarity index 95% rename from graphs/countable_integers.gv rename to graphs/countability_integers.gv index 52f524d..f8385ee 100644 --- a/graphs/countable_integers.gv +++ b/graphs/countability_integers.gv @@ -1,4 +1,4 @@ -digraph denumberabilityIntegers { +digraph countabilityIntegers { node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 30]; rankdir = LR; bgcolor = None; diff --git a/graphs/countable_rationals.gv b/graphs/countability_rationals.gv similarity index 97% rename from graphs/countable_rationals.gv rename to graphs/countability_rationals.gv index 758bc4b..582dc41 100644 --- a/graphs/countable_rationals.gv +++ b/graphs/countability_rationals.gv @@ -1,4 +1,4 @@ -digraph denumberabilityRationals { +digraph countabilityRationals { node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 15]; rankdir = LR; bgcolor = None;