diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index c7c6f2f..89f4fdb 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -46,7 +46,7 @@ Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix} - Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$. + Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$. \end{definition_sq} \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix} @@ -127,7 +127,7 @@ $a \in Tr_n$ \langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case} %TODO Complete subsection -$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2 = b$ +$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2$ \langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case} %TODO Complete subsection @@ -143,15 +143,15 @@ $a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$ $\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} -= b \Leftrightarrow X^TAX$ +\Leftrightarrow X^TAX$ \langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case} %TODO Complete subsection $\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{3} & \frac{a_4}{3} \\\frac{a_2}{3} & a_2 & \frac{a_3}{3} \\\frac{a_3}{3} & \frac{a_4}{3} & a_3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} & \frac{a_4}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_2 & \frac{a_3}{2} \\\frac{a_3}{2} & \frac{a_4}{2} & a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} -= b \Leftrightarrow X^TAX$ +\Leftrightarrow X^TAX$ \langsubsection{Cas général}{General case} %TODO Complete subsection @@ -186,8 +186,8 @@ Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$ \begin{itemize} \item{Unital en $*$} - \item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$} - \item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$} + \item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$} + \item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)=(\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$} \end{itemize} \langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family} @@ -285,13 +285,14 @@ Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$ \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} -Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E \cartesianProduct E}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants : +Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants : + +$u,v,w \in E, a \in K$ \begin{itemize} - \item{$\forall u,v,w \in E, B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$} - \item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(au,w) = aB(u,w)$} - \item{$\forall u,v,w \in E, B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$} - \item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(u,aw) = aB(u,w)$} + \item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$} + \item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$} + \item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$} \end{itemize} \langsubsection{Produit scalaire}{Inner product} @@ -307,11 +308,23 @@ Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E \item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$} \end{itemize} -\langsubsection{Norme Réel}{Real norm} +\langsubsection{Norme réel}{Real norm} \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} -Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{R_+}$ qui respectes les axiomes suivants : +Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants : + +\begin{itemize} + \item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} + \item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$} + \item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} +\end{itemize} + +\langsubsection{Norme complexe}{Complex norm} + +\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} + +Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants : \begin{itemize} \item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} @@ -321,106 +334,8 @@ Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une applicati \langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space} -A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé un espace pré-hilbertien. +A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien. \langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space} Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie. - -\pagebreak - -\section{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire} - -\section{Exercice 1} - -Soit $(E,\innerproduct{.}{.})$ un espace euclidien. On définit - -$$\function{i}{E \setminus \{0\}}{E \setminus \{0\}}$$ -$$\functiondef{x}{\frac{x}{\norm{x}^2}}$$ - -qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1. - -\begin{enumerate} - \item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$} - - \begin{proof}\par - Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve. - - $$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$ - \end{proof} - - \item{Montrer $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ On dit que $i$ est une application \textit{conforme}.} - - \begin{proof}\par - Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$ - $$\frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{y}{\norm{y}^2}}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}\norm{\frac{y}{\norm{y}^2}}} = \frac{\frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}}{\frac{\norm{x}\norm{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ - \end{proof} - - \item{Démontrer que $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \norm{i(x) - i(y)} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$} - - \begin{proof}\par - Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$ - $$\norm{i(x) - i(y)} = \norm{\frac{x}{\norm{x}^2} - \frac{y}{\norm{y}^2}} = \norm{\frac{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\norm{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$ - $$= \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{y}^2 x} - 2 \innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{x}^2 y} - \innerproduct{\norm{x}^2 y}{\norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\norm{y}^4 \norm{x}^2 - 2\norm{y}^2 \norm{x}^2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^4\norm{y}^2}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$ - $$= \frac{\sqrt{\norm{y}^2 \norm{x}^2 (\norm{y}^2 - 2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^2)}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x}\norm{y}\sqrt{\innerproduct{x - y}{x - y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ - \end{proof} - - \item{En déduire que pour tous $x,y,z \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$} - - \begin{proof}\par - Posons $a,b \in E \setminus \{0\}$ tel que $a := i(y) - i(x)$ et $b := i(x) - i(z)$, puis utilisons l'inégalité triangulaire $\norm{a + b} \le \norm{a} + \norm{b}$ et développons. - $$\norm{(i(y) - i(x)) + (i(x) - i(z))} = \norm{i(y) - i(z)} \le \norm{i(x) - i(z)} + \norm{i(x) - i(y)}$$ - Par le résultat de (3). - $$\frac{\norm{y - z}}{\norm{y}\norm{z}} \le \frac{\norm{x - z}}{\norm{x}\norm{z}} + \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ - En multipliant par $\norm{x}\norm{y}\norm{z}$ - $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$ - \end{proof} - - \item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.} - - \bigskip - Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme : - \begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry} - $\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$ - \begin{proof}\par - Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $e,f \in E$. - - Comme $\exists (-1_K) \in \K(+, \cartesianProduct) \suchas (-1_K) \cartesianProduct (-1_K) = 1_K$. - - $$\norm{e - f} = \norm{-1_\K(f - e)} = \abs{-1_\K}\norm{f - e} = \norm{f - e}$$ - \end{proof} - \end{lemme_sq} - - \begin{proof}\par - Soit $a,b,c,d \in E$. - - Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$. - - Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$. - - Ainsi, par le résultat (4). - - $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$ - - Par le lemme (\ref{norm_diff_symetry}). - - $$\norm{x}\norm{z - y} \le \norm{y}\norm{z - x} + \norm{z}\norm{y - x}$$ - - En développant $x$, $y$ et $z$ on obtient - - $$\norm{a - c}\norm{(a - d) - (a - b)} \le \norm{a - b}\norm{(a - d) - (a - c)} + \norm{a - d}\norm{(a - b) - (a - c)}$$ - - $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ - \end{proof} - - Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$. - - \item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$} - % TODO Complete 6. - - Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$. - - \item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$} - % TODO Complete 7. -\end{enumerate} -