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@@ -10,10 +10,12 @@
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Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
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\end{definition_sq}
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Typiquement, pour éviter d'inventer des nouvelles notations pour chaque loi de composition interne, on utilisera des notations déjà familières telles que \textbf{la notation additive (+)} directement héritée de l'addition des entiers naturels, ainsi que \textbf{la notation multiplicative ($\cartesianProduct$)}.
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\langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
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\begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$.
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} s'il existe un élément appelé \textbf{élément neutre} tel que si combiné avec n'importe quel élément ne le change pas, c'est-à-dire $$\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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@@ -106,11 +108,9 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsubsection
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\pagebreak
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\subsection{Inverse}
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\begin{theorem_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:matrix_product_monoid}
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Le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde.
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\end{theorem_sq}
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@@ -132,17 +132,17 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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$MA = MB = \begin{pmatrix} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$ alors que $M \ne 0 \land A \ne B$
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\end{proof}
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% \begin{theorem_sq}
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% $\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
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% \end{theorem_sq}
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\begin{theorem_sq}
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$\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
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\end{theorem_sq}
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% \begin{proof}
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% Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
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%
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% $A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
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%
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% $AB = 0$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
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% \end{proof}
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\begin{proof}
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Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
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$A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
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$AB = 0_2$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement s'il existe une matrice dite \textbf{inverse} $B \in M_n(\K)$ tel que $AB = \Identity_n = BA$.
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@@ -156,25 +156,27 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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- Les matrices de dilatation $D_i(a)$ sont inversibles : $(D_i(a))^{-1} = D_i(a^{-1})$
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- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{i, j}$
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- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{j, i}$
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\begin{definition_sq} \label{definition:linear_group}
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L'ensemble des matrices inversibles est appelé \textbf{groupe linéaire} et est noté $GL_n(\K)$.
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Également, le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
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\end{definition_sq}
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Par la théorie des groupes :
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\begin{theorem_sq}
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Le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
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\end{theorem_sq}
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\begin{itemize}
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\item{L'inverse est unique : $AB = AC = \Identity_n \implies B = C = A^{-1}$}
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\item{L'inverse d'un inverse est l'identité : $(A^{-1})^{-1} = A$}
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\item{Le produit de deux matrices inversibles est inversible : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$}
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\end{itemize}
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\begin{proof}
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L'ensemble des matrices inversibles sont également des matrices, donc $GL_n(\K) \subseteq M_n(\K)$ or le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde \ref{theorem:matrix_product_monoid} et $GL_n(\K)$ ne garde que les matrices qui sont inversibles et cela constitue la définition d'un groupe \ref{definition:group}.
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\end{proof}
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La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée : $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
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\begin{theorem_sq}
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La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée c.-à-d. : $\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
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\end{theorem_sq}
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$(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
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\begin{proof}
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$\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n \land A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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$\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \forall M \in GL_n(\K), (MA = MB) \equivalence A = B$
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@@ -195,14 +197,19 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
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\begin{proof}
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Par récurrence sur $n$. Le cas d'initialisation $n = 1$ est immédiat.
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Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$. On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss.
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Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
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Si $a_{11} \ne 1$, alors il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ (ou l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + \frac{1 - a_{11}}{a_{i1}}L_i$) permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
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Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$.
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Appliquons l'algorithme du pivot de Gauss.
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Comme A est inversible, sa première colonne est nécessairement non nulle.
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Si $a_{11} \ne 1$, s'il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
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Dans le cas ou $a_{11} \ne 1$ et qu'il s'agit du seul coefficient non nul de la colonne, nous pouvons ajouter la matrice de transvection $T_{2, 1}(1)$ pour nous ramener au cas précédent.
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Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
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colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
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des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
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colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne, cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
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$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$
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où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
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où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$.
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En appliquant l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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@@ -225,48 +232,74 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
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Supposons que la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = \Identity_n$.
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% TODO Fix proof...
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Alors, $\rank{A} = n$.
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% \Limpliespart
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En effet, si $\rank{A} = n$, ainsi, il existe une matrice colonne de taille $n$ qui est un multiple scalaire des colonnes de $A$, ce qui signifie que les vecteurs colonnes de $A$ sont linéairement indépendants.
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% Supposons que $\rank{A} = n$.
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% Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
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% alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
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% Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
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\Limpliespart
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% On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$.
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Supposons que $\rank{A} = n$.
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Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
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alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
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Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
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On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$.
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Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
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% Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
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% TODO Fix garbage AI proof...
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Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
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alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
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% Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
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% alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
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%
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% Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
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%
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% Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
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%
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% Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
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% Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
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% la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
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% Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
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%
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% Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
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%
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% Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
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% On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
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% \[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
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% Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
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% Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
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Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
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Ok
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Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
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Ok
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Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
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Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
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la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
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Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
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Ok
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Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
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\impliespart
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Since $AA^{-1} = I_n$, the columns of $A$ must be linearly independent.
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Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
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On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
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\[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
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Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
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Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
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To see this, suppose the columns of $A$ are linearly dependent. Then there exist scalars $c_1, c_2, ..., c_n$, not all zero, such that
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$$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + \dots + c_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}$$
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where $\mathbf{a}_i$ are the columns of $A$. This can be written as $A\mathbf{c} = \mathbf{0}$, where $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ is a non-zero vector.
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If $A$ is invertible, then we can multiply both sides by $A^{-1}$:
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$$A^{-1}A\mathbf{c} = A^{-1}\mathbf{0} \implies \mathbf{c} = \mathbf{0}$$
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But this contradicts our assumption that $\mathbf{c}$ is a non-zero vector. Therefore, the columns of $A$ must be linearly independent.
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Since $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent columns, the column space of $A$ has dimension $n$. Therefore, rank$(A) = n$.
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\Limpliespart
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$\rank{A} = n$ implies that $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent rows.
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Since the columns of $A$ are linearly independent and span $\K^n$, any vector $\mathbf{b} \in \K^n$ can be written as a linear combination of the columns of $A$. In other words, for any $\mathbf{b} \in \K^n$, the equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ has a solution. Since the columns are linearly independent, the solution is unique.
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Consider the system $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{e}_i$ is the $i$-th standard basis vector in $\K^n$ (i.e., a vector with a 1 in the $i$-th position and 0s elsewhere). Since rank$(A) = n$, this system has a unique solution for each $i = 1, 2, ..., n$. Let $\mathbf{x}_i$ be the unique solution to $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$.
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Now, construct a matrix $B$ whose columns are the vectors $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n$. Then $AB$ is a matrix whose $i$-th column is $A\mathbf{x}_i = \mathbf{e}_i$. Therefore, $AB = I_n$.
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Since $AB = I_n$, we have shown that $A$ has a right inverse. For square matrices, if a right inverse exists, then it is also a left inverse. Therefore, $BA = I_n$ as well. Thus, $B = A^{-1}$, and $A$ is invertible.
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:special_linear_group}
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L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1.
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L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1, c'est-à-dire
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$$SL_n(\K) := \{ A \in GL_n(\K) \suchthat \det(A) = 1\}$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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@@ -274,11 +307,17 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Vérifions chaque axiome d'un groupe. $\det(\Identity_n) = 1 \equivalence \Identity_n \in SL_n(\K)$.
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Grâce aux propriétés du déterminant, on peut vérifier chaque axiome d'un sous-groupe \ref{definition:subgroup}
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La propriété du déterminant $\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B)$ permet de montrer les propositions suivantes :
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$$\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 * 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$$
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$$\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$$
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\begin{itemize}
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\item{Magma : $\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$}
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\item{Présence de l'identité : $\det(\Identity_n) = 1 \implies \Identity_n \in SL_n(\K)$}
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\item{Présence de l'inverse : $\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$}
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\end{itemize}
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Pour montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe distingué, posons $x \in GL_n(\K)$ et $y \in SL_n(\K)$, nous pouvons en conclure
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$\det(xyx^{-1}) = \det(x)\det(y)\det(x)^{-1} = 1 \implies xyx^{-1} \in SL_n(\K)$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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@@ -290,13 +329,12 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
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$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$
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\end{proof}
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\pagebreak
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\begin{theorem_sq}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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@@ -332,7 +370,7 @@ $a \in Tr_n$
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\begin{proof}
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Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.
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$$\forall n \in \N, \matrixnorm{\frac{A^n}{n!}} \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
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$$\forall n \in \N, \left\lVert \frac{A^n}{n!} \right\rVert \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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@@ -388,36 +426,34 @@ $a \in Tr_n$
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Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
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\end{proof}
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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%TODO Complete section
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
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Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
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\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space}
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Un espace vectoriel $(E(\K), +, \cartesianProduct)$ sur un corps $\K$ est un tuple
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Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
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||||
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
|
||||
\bigskip
|
||||
Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Unital en $(\cdot)$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
|
||||
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||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
|
||||
$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in \K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Unital en $(\cdot)$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_free_family}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si la seule combinaison linéaire qui annule \suite{e} est la combinaison linéaire nulle, c'est-à-dire
|
||||
$$\forall \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
|
||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_generating_family}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} d'un espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ si pour tout vecteur $v$ de $E$ il existe une combinaison linéaire de \suite{e} égale à $v$, c'est-à-dire
|
||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
|
||||
@@ -484,7 +520,7 @@ $\implies F \subset G \lor G \subset F$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{defintion:linear_map}
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:linear_map}
|
||||
Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}
|
||||
|
||||
@@ -1,9 +1,61 @@
|
||||
\pagebreak
|
||||
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||||
%\documentclass{article}
|
||||
|
||||
%\usepackage{paracol}
|
||||
\columnratio{0.5}
|
||||
|
||||
% Défini la longueur des marges du document (défault à 4.8cm)
|
||||
%\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
|
||||
|
||||
%\usepackage{xcolor}
|
||||
% mode sombre
|
||||
%\definecolor{colour_bg} {HTML} {222324}
|
||||
%\definecolor{colour_fg} {HTML} {FFFFFF}
|
||||
% mode par défaut
|
||||
% \definecolor{colour_bg} {RGB} {255, 255, 255}
|
||||
% \definecolor{colour_fg} {RGB} {0, 0, 0}
|
||||
% \pagecolor{colour_bg}
|
||||
% \color{colour_fg}
|
||||
% \usepackage{mdframed}
|
||||
% \mdfsetup{linecolor = colour_fg, innerlinecolor = colour_fg, middlelinecolor = colour_fg, outerlinecolor = colour_fg, %
|
||||
% backgroundcolor = colour_bg, fontcolor = colour_fg}
|
||||
|
||||
% Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
|
||||
% \usepackage{amsfonts}
|
||||
%\usepackage{amssymb} % for '\blacksquare' macro
|
||||
% \usepackage{amsthm} % for 'proof' environment
|
||||
% \usepackage{mathtools}
|
||||
|
||||
% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
|
||||
% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
|
||||
% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ} % New symbol composing morphisms
|
||||
% \newcommand{\suchthat}{\mid}
|
||||
% \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
|
||||
% \newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natural numbers symbol
|
||||
% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Real numbers symbol
|
||||
% \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
|
||||
% \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
|
||||
% \DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
|
||||
|
||||
% \newtheorem{definition}{Définition}
|
||||
% \newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
|
||||
% \newtheorem{theorem}{Théorème}
|
||||
% \newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
|
||||
|
||||
% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
|
||||
% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
|
||||
% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
|
||||
% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
|
||||
|
||||
%\begin{document}
|
||||
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||||
%\maketitle
|
||||
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||||
\begin{paracol}{2}
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||||
Pierre Saunders
|
||||
|
||||
William De Canteloube
|
||||
\switchcolumn
|
||||
\begin{flushright}
|
||||
L3 Math 2024-25
|
||||
@@ -37,7 +89,25 @@ Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
|
||||
$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
|
||||
$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
|
||||
|
||||
Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
|
||||
\begin{prop_sq}
|
||||
$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
|
||||
Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
|
||||
$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
|
||||
Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
|
||||
$$x
|
||||
= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
|
||||
= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
|
||||
@@ -76,6 +146,12 @@ Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudie
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
|
||||
Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
ANNEXE
|
||||
|
||||
TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}
|
||||
|
||||
%\end{document}
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -97,6 +97,32 @@
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\langsection{Tableau}{Table}
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\begin{mdframed}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\langsection{Paquets additionnels}{Additional packages}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -126,6 +126,53 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Tous les entiers relatifs sont soit pairs ou impairs.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Procédons par induction. L'initialisation $n = 0$ est directe, car $2 \cdot 0 = 0$ ce qui montre que $0$ est pair.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% \begin{leancode}
|
||||
\begin{lstlisting}[language=lean]
|
||||
theorem every_integer_is_even_or_odd (n : ℤ) : Even n ∨ Odd n := by
|
||||
induction n with
|
||||
| hz =>
|
||||
left
|
||||
use 0
|
||||
group
|
||||
| hp n' hz =>
|
||||
cases hz with
|
||||
| inl hl =>
|
||||
right
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hl
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a
|
||||
group
|
||||
| inr hr =>
|
||||
left
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hr
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a + 1
|
||||
group
|
||||
| hn n' hz =>
|
||||
cases hz with
|
||||
| inl hl =>
|
||||
right
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hl
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a - 1
|
||||
group
|
||||
| inr hr =>
|
||||
left
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hr
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a
|
||||
group
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
% \end{leancode}
|
||||
|
||||
\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
@@ -136,7 +183,7 @@ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
|
||||
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \Z^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@@ -254,7 +301,7 @@ Lors d'une longue division, on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par défin
|
||||
|
||||
\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@@ -262,7 +309,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_complex_number}
|
||||
|
||||
$\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
|
||||
|
||||
@@ -304,7 +351,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
|
||||
|
||||
\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@@ -326,7 +373,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
|
||||
\section{Construction des octonions $(\Ot)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_octonion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@@ -362,9 +409,9 @@ $e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\de
|
||||
|
||||
Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
|
||||
|
||||
\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
|
||||
\langsection{Construction des sédénions $(\Se)$}{Construction of the sedenions $(\Se)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@@ -381,70 +428,55 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
|
||||
\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
|
||||
Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
|
||||
\lang{Un nombre $n \in \N \land n \ge 2$ est dit \textbf{premier} si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit \textbf{composé}.}%
|
||||
{A number $n \in \N \land n \ge 2$ is \textbf{prime} if, and only if, its factors are 1 and itself. Otherwise this number is \textbf{composé}.}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Infinité}{Infinity}
|
||||
Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier, mais cela n'a pas toujours été le cas.
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
|
||||
Il existe une infinité de nombres premiers.
|
||||
Il existe une infinité de nombres premiers.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
|
||||
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
|
||||
|
||||
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
|
||||
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
|
||||
|
||||
Let $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
|
||||
|
||||
$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
|
||||
|
||||
$\implies (\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn) \implies \bot$
|
||||
|
||||
$\implies \card{P} = \infty$
|
||||
\lang{Soit}{Let} $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^*, p$ \lang{ est premier}{ is prime} $\}$ \lang{et}{and} $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
|
||||
|
||||
$\implies \forall p \in \Pn, \omega = 1 \mod p \implies \forall p \in \Pn, \lnot(p \divides \omega) \implies \omega$ \lang{est premier}{is prime} $\implies \omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn \implies \bot \implies \card{P} = \infty$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Irrationalité}{Irrationality}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
|
||||
$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
|
||||
$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime_is_irrational}
|
||||
\lang{La racine carrée d'un nombre premier est irrationnel.}%
|
||||
{The square root of a prime number is irrational.}
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
|
||||
The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime_is_irrational}.
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
|
||||
By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
|
||||
|
||||
$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
|
||||
$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a, b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
|
||||
|
||||
$\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
|
||||
$\implies p = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \implies b^2p = a^2 \implies p \divides a$
|
||||
|
||||
$\implies b^2p = a^2$
|
||||
Let $c \in \N^*, a = pc$
|
||||
|
||||
$\implies p \divides a$
|
||||
|
||||
Let $c \in \N^*$, $a = pc$
|
||||
|
||||
$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
|
||||
|
||||
$\implies b^2 = pc^2$
|
||||
|
||||
$\implies p \divides b$
|
||||
|
||||
$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a,b)=1) \implies \bot$
|
||||
|
||||
$\implies \sqrt{p} \notin \Q$
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$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2 \implies b^2 = pc^2 \implies p \divides b \implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a, b) = 1) \implies \bot \implies \sqrt{p} \notin \Q$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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\lang{La racine carrée d'un nombre naturel est soit un nombre premier ou un carré parfait.}%
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{The square root of a natural number is either a prime number or a perfect square.}
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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@@ -129,6 +129,7 @@ Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
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\end{prop_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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