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2025-03-30 22:05:09 +02:00
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80
contents/dynamic_systems.tex
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@ -1,9 +1,61 @@
\pagebreak
%\documentclass{article}
%\usepackage{paracol}
\columnratio{0.5}
% Défini la longueur des marges du document (défault à 4.8cm)
%\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
%\usepackage{xcolor}
% mode sombre
%\definecolor{colour_bg} {HTML} {222324}
%\definecolor{colour_fg} {HTML} {FFFFFF}
% mode par défaut
% \definecolor{colour_bg} {RGB} {255, 255, 255}
% \definecolor{colour_fg} {RGB} {0, 0, 0}
% \pagecolor{colour_bg}
% \color{colour_fg}
% \usepackage{mdframed}
% \mdfsetup{linecolor = colour_fg, innerlinecolor = colour_fg, middlelinecolor = colour_fg, outerlinecolor = colour_fg, %
% backgroundcolor = colour_bg, fontcolor = colour_fg}
% Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
% \usepackage{amsfonts}
%\usepackage{amssymb} % for '\blacksquare' macro
% \usepackage{amsthm} % for 'proof' environment
% \usepackage{mathtools}
% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ} % New symbol composing morphisms
% \newcommand{\suchthat}{\mid}
% \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
% \newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natural numbers symbol
% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Real numbers symbol
% \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
% \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
% \DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
% \newtheorem{definition}{Définition}
% \newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
% \newtheorem{theorem}{Théorème}
% \newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
%\begin{document}
%\maketitle
\begin{paracol}{2}
Pierre Saunders
William De Canteloube
\switchcolumn
\begin{flushright}
L3 Math 2024-25
@ -37,7 +89,25 @@ Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
\begin{prop_sq}
$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
\end{prop_sq}
\begin{proof}
Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
\end{proof}
\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
\end{prop_sq}
\begin{proof}
Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
\end{proof}
En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
$$x
= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
@ -76,6 +146,12 @@ Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudie
\end{proof}
\begin{definition_sq}
Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
\end{definition_sq}
ANNEXE
TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}
%\end{document}