Added proofs and fixed typos

contents/algebra.tex

@@ -10,10 +10,12 @@
 	Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
 \end{definition_sq}
 
+Typiquement, pour éviter d'inventer des nouvelles notations pour chaque loi de composition interne, on utilisera des notations déjà familières telles que \textbf{la notation additive (+)} directement héritée de l'addition des entiers naturels, ainsi que \textbf{la notation multiplicative ($\cartesianProduct$)}.
+
 \langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
-	Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a =  a \star \Identity_E = a$.
+	Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} s'il existe un élément appelé \textbf{élément neutre} tel que si combiné avec n'importe quel élément ne le change pas, c'est-à-dire $$\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a =  a \star \Identity_E = a$$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -106,11 +108,9 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
 \langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
 %TODO Complete subsubsection
 
-\pagebreak
-
 \subsection{Inverse}
 
-\begin{theorem_sq}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:matrix_product_monoid}
 	Le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde.
 \end{theorem_sq}
 
@@ -132,17 +132,17 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
 	$MA = MB = \begin{pmatrix} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$ alors que $M \ne 0 \land A \ne B$
 \end{proof}
 
-% \begin{theorem_sq}
+\begin{theorem_sq}
-% 	$\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
+	$\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
-% \end{theorem_sq}
+\end{theorem_sq}
 
-% \begin{proof}
+\begin{proof}
-% 	Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
+	Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
-%
+
-% 	$A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
+	$A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
-%
+
-% 	$AB = 0$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
+	$AB = 0_2$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
-% \end{proof}
+\end{proof}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
 	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement s'il existe une matrice dite \textbf{inverse} $B \in M_n(\K)$ tel que $AB = \Identity_n = BA$.
@@ -156,25 +156,27 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
 
 - Les matrices de dilatation $D_i(a)$ sont inversibles : $(D_i(a))^{-1} = D_i(a^{-1})$
 
-- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{i, j}$
+- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{j, i}$
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:linear_group}
 	L'ensemble des matrices inversibles est appelé \textbf{groupe linéaire} et est noté $GL_n(\K)$.
-
-	Également, le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
 \end{definition_sq}
 
-Par la théorie des groupes :
+\begin{theorem_sq}
+	Le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
+\end{theorem_sq}
 
-\begin{itemize}
+\begin{proof}
-	\item{L'inverse est unique : $AB = AC = \Identity_n \implies B = C = A^{-1}$}
+	L'ensemble des matrices inversibles sont également des matrices, donc $GL_n(\K) \subseteq M_n(\K)$ or le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde \ref{theorem:matrix_product_monoid} et $GL_n(\K)$ ne garde que les matrices qui sont inversibles et cela constitue la définition d'un groupe \ref{definition:group}.
-	\item{L'inverse d'un inverse est l'identité : $(A^{-1})^{-1} = A$}
+\end{proof}
-	\item{Le produit de deux matrices inversibles est inversible : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$}
-\end{itemize}
 
-La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée : $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
+\begin{theorem_sq}
+	La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée c.-à-d. : $\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
+\end{theorem_sq}
 
-$(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
+\begin{proof}
+	$\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n \land A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
+\end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
 	$\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \forall M \in GL_n(\K), (MA = MB) \equivalence A = B$
@@ -195,14 +197,19 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
 \begin{proof}
 	Par récurrence sur $n$. Le cas d'initialisation $n = 1$ est immédiat.
 
-	Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$. On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss.
+	Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$.
-	Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
+	Appliquons l'algorithme du pivot de Gauss.
-	Si $a_{11} \ne 1$, alors il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ (ou l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + \frac{1 - a_{11}}{a_{i1}}L_i$) permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
+	Comme A est inversible, sa première colonne est nécessairement non nulle.
+
+	Si $a_{11} \ne 1$, s'il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$  permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
+
+	Dans le cas ou $a_{11} \ne 1$ et qu'il s'agit du seul coefficient non nul de la colonne, nous pouvons ajouter la matrice de transvection $T_{2, 1}(1)$ pour nous ramener au cas précédent.
+
 	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
-	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
+	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne, cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
-	des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
 	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$
-	où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
+	où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$.
+	En appliquant l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -225,48 +232,74 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
 
 	Supposons que la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = \Identity_n$.
 
-	% TODO Fix proof...
+	% \Limpliespart
-	Alors, $\rank{A} = n$.
 
-	En effet, si $\rank{A} = n$, ainsi, il existe une matrice colonne de taille $n$ qui est un multiple scalaire des colonnes de $A$, ce qui signifie que les vecteurs colonnes de $A$ sont linéairement indépendants.
+	% Supposons que $\rank{A} = n$.
+	% Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
+	% alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
+	% Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
 
-	\Limpliespart
+	% On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k  \Identity_n = \Identity_n$.
 
-	Supposons que $\rank{A} = n$.
+	% Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
-	Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
-	alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
-	Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
-
-	On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k  \Identity_n = \Identity_n$.
-
-	Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
 
 
 % TODO Fix garbage AI proof...
-Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
+% Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
-alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
+% alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
+%
+% Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
+%
+% Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
+%
+% Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
+% Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
+% la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
+% Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
+%
+% Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
+%
+% Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
+% On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
+% \[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
+% Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
+% Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
 
-Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
+Ok
 
-Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
+Ok
 
-Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
+Ok
-Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
-la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
-Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
 
-Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
+	\impliespart
+Since $AA^{-1} = I_n$, the columns of $A$ must be linearly independent.
 
-Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
+To see this, suppose the columns of $A$ are linearly dependent. Then there exist scalars $c_1, c_2, ..., c_n$, not all zero, such that
-On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
+$$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + \dots + c_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}$$
-\[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
+where $\mathbf{a}_i$ are the columns of $A$. This can be written as $A\mathbf{c} = \mathbf{0}$, where $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ is a non-zero vector.
-Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
+
-Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
+If $A$ is invertible, then we can multiply both sides by $A^{-1}$:
+$$A^{-1}A\mathbf{c} = A^{-1}\mathbf{0} \implies \mathbf{c} = \mathbf{0}$$
+But this contradicts our assumption that $\mathbf{c}$ is a non-zero vector. Therefore, the columns of $A$ must be linearly independent.
+
+Since $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent columns, the column space of $A$ has dimension $n$. Therefore, rank$(A) = n$.
+
+	\Limpliespart
+
+	$\rank{A} = n$ implies that $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent rows.
+Since the columns of $A$ are linearly independent and span $\K^n$, any vector $\mathbf{b} \in \K^n$ can be written as a linear combination of the columns of $A$. In other words, for any $\mathbf{b} \in \K^n$, the equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ has a solution. Since the columns are linearly independent, the solution is unique.
+
+Consider the system $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{e}_i$ is the $i$-th standard basis vector in $\K^n$ (i.e., a vector with a 1 in the $i$-th position and 0s elsewhere). Since rank$(A) = n$, this system has a unique solution for each $i = 1, 2, ..., n$. Let $\mathbf{x}_i$ be the unique solution to $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$.
+
+Now, construct a matrix $B$ whose columns are the vectors $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n$.  Then $AB$ is a matrix whose $i$-th column is $A\mathbf{x}_i = \mathbf{e}_i$. Therefore, $AB = I_n$.
+
+Since $AB = I_n$, we have shown that $A$ has a right inverse. For square matrices, if a right inverse exists, then it is also a left inverse. Therefore, $BA = I_n$ as well. Thus, $B = A^{-1}$, and $A$ is invertible.
 
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:special_linear_group}
-	L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1.
+	L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1, c'est-à-dire
+	$$SL_n(\K) := \{ A \in GL_n(\K) \suchthat \det(A) = 1\}$$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -274,11 +307,17 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Vérifions chaque axiome d'un groupe. $\det(\Identity_n) = 1 \equivalence \Identity_n \in SL_n(\K)$.
+	Grâce aux propriétés du déterminant, on peut vérifier chaque axiome d'un sous-groupe \ref{definition:subgroup}
 
-	La propriété du déterminant $\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B)$ permet de montrer les propositions suivantes :
+	\begin{itemize}
-	$$\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 * 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$$
+		\item{Magma : $\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$}
-	$$\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$$
+		\item{Présence de l'identité : $\det(\Identity_n) = 1 \implies \Identity_n \in SL_n(\K)$}
+		\item{Présence de l'inverse : $\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$}
+	\end{itemize}
+
+	Pour montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe distingué, posons $x \in GL_n(\K)$ et $y \in SL_n(\K)$, nous pouvons en conclure
+
+	$\det(xyx^{-1}) = \det(x)\det(y)\det(x)^{-1} = 1 \implies xyx^{-1} \in SL_n(\K)$
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -290,13 +329,12 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 	$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$
 \end{proof}
 
-\pagebreak
-
 \begin{theorem_sq}
 	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
+	\lipsum[2]
 	% TODO Complete proof
 \end{proof}
 
@@ -332,7 +370,7 @@ $a \in Tr_n$
 \begin{proof}
 	Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.
 
-	$$\forall n \in \N, \matrixnorm{\frac{A^n}{n!}} \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
+	$$\forall n \in \N, \left\lVert \frac{A^n}{n!} \right\rVert \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -388,36 +426,34 @@ $a \in Tr_n$
 	Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
 \end{proof}
 
-\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
+\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
-%TODO Complete section
 
-Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
+\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space}
+	Un espace vectoriel $(E(\K), +, \cartesianProduct)$ sur un corps $\K$ est un tuple
+	Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
 
-\begin{itemize}
+	\begin{itemize}
-	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
+		\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
-\end{itemize}
+	\end{itemize}
 
-\bigskip
+	\bigskip
-Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
+	Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
 
-\begin{itemize}
+	\begin{itemize}
-	\item{Unital en $(\cdot)$}
+		\item{Unital en $(\cdot)$}
-	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
+		\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
-	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
+		\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
-\end{itemize}
+	\end{itemize}
-
-\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
-
-\begin{definition_sq}
-Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
-$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in \K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
 \end{definition_sq}
 
-\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
+\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_free_family}
+	Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si la seule combinaison linéaire qui annule \suite{e} est la combinaison linéaire nulle, c'est-à-dire
+	$$\forall \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
+\end{definition_sq}
 
-\begin{definition_sq}
+\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_generating_family}
-Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
+	Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} d'un espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ si pour tout vecteur $v$ de $E$ il existe une combinaison linéaire de \suite{e} égale à $v$, c'est-à-dire
-$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
+	$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
 \end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
@@ -484,7 +520,7 @@ $\implies F \subset G \lor  G \subset F$
 
 \langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}
 
-\begin{definition_sq} \label{defintion:linear_map}
+\begin{definition_sq} \label{definition:linear_map}
 	Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
 	\begin{itemize}
 		\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}

contents/dynamic_systems.tex

@@ -1,9 +1,61 @@
 \pagebreak
+
+%\documentclass{article}
+
+%\usepackage{paracol}
 \columnratio{0.5}
 
+% Défini la longueur des marges du document (défault à 4.8cm)
+%\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
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+% Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
+% \usepackage{amsfonts}
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+% \usepackage{amsthm}   % for 'proof' environment
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+
+% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
+% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
+% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ}		% New symbol composing morphisms
+% \newcommand{\suchthat}{\mid}
+% \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
+% \newcommand{\N}{\mathbb{N}}			% Natural numbers symbol
+% \newcommand{\R}{\mathbb{R}}			% Real numbers symbol
+% \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
+% \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
+% \DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
+
+% \newtheorem{definition}{Définition}
+% \newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
+% \newtheorem{theorem}{Théorème}
+% \newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
+
+% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
+% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
+% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
+% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
+
+%\begin{document}
+
+%\maketitle
+
 \begin{paracol}{2}
 Pierre Saunders
 
+William De Canteloube
 \switchcolumn
 \begin{flushright}
 L3 Math 2024-25
@@ -37,7 +89,25 @@ Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
 $$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
 $$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
 
-Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
+\begin{prop_sq}
+	$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
+\end{prop_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
+	Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
+	$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
+\end{proof}
+
+\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
+	Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
+\end{prop_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
+\end{proof}
+
+En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
 $$x
 	= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
 	= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
@@ -76,6 +146,12 @@ Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudie
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq}
-	Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
+	Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
 \end{definition_sq}
 
+ANNEXE
+
+TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}
+
+%\end{document}
+

contents/latex.tex

@@ -97,6 +97,32 @@
 \end{itemize}
 \end{mdframed}
 
+\langsection{Tableau}{Table}
+
+\begin{verbatim}
+	\begin{tabular}{|c|c|c|}
+	    \hline
+	    $C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
+	    \hline
+	\end{tabular}
+\end{verbatim}
+
+\begin{mdframed}
+	\begin{tabular}{|c|c|c|}
+	    \hline
+	    $C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
+	    \hline
+	\end{tabular}
+\end{mdframed}
+
 \langsection{Paquets additionnels}{Additional packages}
 %TODO Complete section
 

contents/number_theory.tex

@@ -126,6 +126,53 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
 
 \end{proof}
 
+\begin{theorem_sq}
+	Tous les entiers relatifs sont soit pairs ou impairs.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Procédons par induction. L'initialisation $n = 0$ est directe, car $2 \cdot 0 = 0$ ce qui montre que $0$ est pair.
+\end{proof}
+
+% \begin{leancode}
+\begin{lstlisting}[language=lean]
+theorem every_integer_is_even_or_odd (n : ℤ) : Even n ∨ Odd n := by
+    induction n with
+    | hz =>
+        left
+        use 0
+        group
+    | hp n' hz =>
+        cases hz with
+        | inl hl =>
+            right
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hl
+            rw [ha]
+            use a
+            group
+        | inr hr =>
+            left
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hr
+            rw [ha]
+            use a + 1
+            group
+    | hn n' hz =>
+        cases hz with
+        | inl hl =>
+            right
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hl
+            rw [ha]
+            use a - 1
+            group
+        | inr hr =>
+            left
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hr
+            rw [ha]
+            use a
+            group
+\end{lstlisting}
+% \end{leancode}
+
 \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
 %TODO Complete section
 
@@ -136,7 +183,7 @@ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
+$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \Z^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
 
 \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete subsection
@@ -254,7 +301,7 @@ Lors d'une longue division, on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par défin
 
 \langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
+Source : \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
 
 \langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
 %TODO Complete subsection
@@ -262,7 +309,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
 \langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
 %TODO Complete section
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}
+Source : \citeannexes{wikipedia_complex_number}
 
 $\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
 
@@ -304,7 +351,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
 
 \section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
+Source : \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
 \langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
@@ -326,7 +373,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
 \section{Construction des octonions $(\Ot)$}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
+Source : \citeannexes{wikipedia_octonion}
 
 \langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
@@ -362,9 +409,9 @@ $e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\de
 
 Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
 
-\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
+\langsection{Construction des sédénions $(\Se)$}{Construction of the sedenions $(\Se)$}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
+Source : \citeannexes{wikipedia_sedenion}
 
 \langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
@@ -381,70 +428,55 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
 	\hline
 \end{tabular}
 
-
 \langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
-%TODO Complete section
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
-Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
+	\lang{Un nombre $n \in \N \land n \ge 2$ est dit \textbf{premier} si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit \textbf{composé}.}%
+	{A number $n \in \N \land n \ge 2$ is \textbf{prime} if, and only if, its factors are 1 and itself. Otherwise this number is \textbf{composé}.}
 \end{definition_sq}
 
-Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
+Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier, mais cela n'a pas toujours été le cas.
-
-\langsubsection{Infinité}{Infinity}
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
-Il existe une infinité de nombres premiers.
+	Il existe une infinité de nombres premiers.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
+	\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
+	     {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
 
-\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
+	\lang{Soit}{Let} $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^*, p$ \lang{ est premier}{ is prime} $\}$ \lang{et}{and} $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
-{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
-
-Let $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
-
-$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
-
-$\implies (\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn) \implies \bot$
-
-$\implies \card{P} = \infty$
 
+	$\implies \forall p \in \Pn, \omega = 1 \mod p \implies \forall p \in \Pn, \lnot(p \divides \omega) \implies \omega$ \lang{est premier}{is prime} $\implies \omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn \implies \bot \implies \card{P} = \infty$
 \end{proof}
 
-\langsubsection{Irrationalité}{Irrationality}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime_is_irrational}
-
+	\lang{La racine carrée d'un nombre premier est irrationnel.}%
-\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
+	     {The square root of a prime number is irrational.}
-
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
-$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
-$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
 \end{theorem_sq}
 
-The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
+The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime_is_irrational}.
 
 \begin{proof}
 
 By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
 
-$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
+$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a, b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
 
-$\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
+$\implies p = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \implies b^2p = a^2 \implies p \divides a$
 
-$\implies b^2p = a^2$
+Let $c \in \N^*, a = pc$
 
-$\implies p \divides a$
+$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2 \implies b^2 = pc^2 \implies p \divides b \implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a, b) = 1) \implies \bot \implies \sqrt{p} \notin \Q$
-
-Let $c \in \N^*$, $a = pc$
-
-$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
-
-$\implies b^2 = pc^2$
-
-$\implies p \divides b$
-
-$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a,b)=1) \implies \bot$
-
-$\implies \sqrt{p} \notin \Q$
 
 \end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	\lang{La racine carrée d'un nombre naturel est soit un nombre premier ou un carré parfait.}%
+	     {The square root of a natural number is either a prime number or a perfect square.}
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}

contents/topology.tex

@@ -129,6 +129,7 @@ Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 \end{prop_sq}
 
 \begin{proof}
+	\lipsum[2]
 	% TODO Complete proof
 \end{proof}
 

packages/lstlean.tex

@@ -0,0 +1,289 @@
+% Listing style definition for the Lean Theorem Prover.
+% Defined by Jeremy Avigad, 2015, by modifying Assia Mahboubi's SSR style.
+% Unicode replacements taken from Olivier Verdier's unixode.sty
+
+\lstdefinelanguage{lean} {
+
+% Anything between $ becomes LaTeX math mode
+mathescape=false,
+% Comments may or not include Latex commands
+texcl=false,
+
+% keywords, list taken from lean-syntax.el
+morekeywords=[1]{
+import, prelude, protected, private, noncomputable, definition, meta, renaming,
+hiding, parameter, parameters, begin, constant, constants,
+lemma, variable, variables, theory,
+print, theorem, example,
+open, as, export, override, axiom, axioms, inductive, with,
+structure, record, universe, universes,
+alias, help, precedence, reserve, declare_trace, add_key_equivalence,
+match, infix, infixl, infixr, notation, postfix, prefix, instance,
+eval, reduce, check, end, this,
+using, using_well_founded, namespace, section,
+attribute, local, set_option, extends, include, omit, class,
+raw, replacing,
+calc, have, show, suffices, by, in, at, let, forall, Pi, fun,
+exists, if, dif, then, else, assume, obtain, from, register_simp_ext, unless, break, continue,
+mutual, do, def, run_cmd, const,
+partial, mut, where, macro, syntax, deriving,
+return, try, catch, for, macro_rules, declare_syntax_cat, abbrev},
+
+% Sorts
+morekeywords=[2]{Sort, Type, Prop},
+
+% tactics, list taken from lean-syntax.el
+morekeywords=[3]{
+assumption,
+apply, intro, intros, allGoals,
+generalize, clear, revert, done, exact,
+refine, repeat, cases, rewrite, rw,
+simp, simp_all, contradiction,
+constructor, injection,
+induction, group, right, left, use
+},
+
+% modifiers, taken from lean-syntax.el
+% note: 'otherkeywords' is needed because these use a different symbol.
+% this command doesn't allow us to specify a number -- they are put with [1]
+% otherkeywords={
+% [persistent], [notation], [visible], [instance], [trans_instance],
+% [class], [parsing-only], [coercion], [unfold_full], [constructor],
+% [reducible], [irreducible], [semireducible], [quasireducible], [wf],
+% [whnf], [multiple_instances], [none], [decl], [declaration],
+% [relation], [symm], [subst], [refl], [trans], [simp], [congr], [unify],
+% [backward], [forward], [no_pattern], [begin_end], [tactic], [abbreviation],
+% [reducible], [unfold], [alias], [eqv], [intro], [intro!], [elim], [grinder],
+% [localrefinfo], [recursor]
+% },
+
+% Various symbols
+literate=
+{α}{{\ensuremath{\mathrm{\alpha}}}}1
+{β}{{\ensuremath{\mathrm{\beta}}}}1
+{γ}{{\ensuremath{\mathrm{\gamma}}}}1
+{δ}{{\ensuremath{\mathrm{\delta}}}}1
+{ε}{{\ensuremath{\mathrm{\varepsilon}}}}1
+{ζ}{{\ensuremath{\mathrm{\zeta}}}}1
+{η}{{\ensuremath{\mathrm{\eta}}}}1
+{θ}{{\ensuremath{\mathrm{\theta}}}}1
+{ι}{{\ensuremath{\mathrm{\iota}}}}1
+{κ}{{\ensuremath{\mathrm{\kappa}}}}1
+{μ}{{\ensuremath{\mathrm{\mu}}}}1
+{ν}{{\ensuremath{\mathrm{\nu}}}}1
+{ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\xi}}}}1
+{π}{{\ensuremath{\mathrm{\mathnormal{\pi}}}}}1
+{ρ}{{\ensuremath{\mathrm{\rho}}}}1
+{σ}{{\ensuremath{\mathrm{\sigma}}}}1
+{τ}{{\ensuremath{\mathrm{\tau}}}}1
+{φ}{{\ensuremath{\mathrm{\varphi}}}}1
+{χ}{{\ensuremath{\mathrm{\chi}}}}1
+{ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\psi}}}}1
+{ω}{{\ensuremath{\mathrm{\omega}}}}1
+
+{Γ}{{\ensuremath{\mathrm{\Gamma}}}}1
+{Δ}{{\ensuremath{\mathrm{\Delta}}}}1
+{Θ}{{\ensuremath{\mathrm{\Theta}}}}1
+{Λ}{{\ensuremath{\mathrm{\Lambda}}}}1
+{Σ}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
+{Φ}{{\ensuremath{\mathrm{\Phi}}}}1
+{Ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\Xi}}}}1
+{Ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\Psi}}}}1
+{Ω}{{\ensuremath{\mathrm{\Omega}}}}1
+
+{ℵ}{{\ensuremath{\aleph}}}1
+
+{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
+{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
+{≠}{{\ensuremath{\neq}}}1
+{≈}{{\ensuremath{\approx}}}1
+{≡}{{\ensuremath{\equiv}}}1
+{≃}{{\ensuremath{\simeq}}}1
+
+{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
+{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
+
+{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
+{∆}{{\ensuremath{\triangle}}}1 % or \laplace?
+
+{∫}{{\ensuremath{\int}}}1
+{∑}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
+{Π}{{\ensuremath{\mathrm{\Pi}}}}1
+
+{⊥}{{\ensuremath{\perp}}}1
+{∞}{{\ensuremath{\infty}}}1
+{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
+
+{∓}{{\ensuremath{\mp}}}1
+{±}{{\ensuremath{\pm}}}1
+{×}{{\ensuremath{\times}}}1
+
+{⊕}{{\ensuremath{\oplus}}}1
+{⊗}{{\ensuremath{\otimes}}}1
+{⊞}{{\ensuremath{\boxplus}}}1
+
+{∇}{{\ensuremath{\nabla}}}1
+{√}{{\ensuremath{\sqrt}}}1
+
+{⬝}{{\ensuremath{\cdot}}}1
+{•}{{\ensuremath{\cdot}}}1
+{∘}{{\ensuremath{\circ}}}1
+
+%{⁻}{{\ensuremath{^{\textup{\kern1pt\rule{2pt}{0.3pt}\kern-1pt}}}}}1
+{⁻}{{\ensuremath{^{-}}}}1
+{▸}{{\ensuremath{\blacktriangleright}}}1
+
+{∧}{{\ensuremath{\wedge}}}1
+{∨}{{\ensuremath{\vee}}}1
+{¬}{{\ensuremath{\neg}}}1
+{⊢}{{\ensuremath{\vdash}}}1
+
+%{⟨}{{\ensuremath{\left\langle}}}1
+%{⟩}{{\ensuremath{\right\rangle}}}1
+{⟨}{{\ensuremath{\langle}}}1
+{⟩}{{\ensuremath{\rangle}}}1
+
+{↦}{{\ensuremath{\mapsto}}}1
+{←}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
+{<-}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
+{→}{{\ensuremath{\rightarrow}}}1
+{↔}{{\ensuremath{\leftrightarrow}}}1
+{⇒}{{\ensuremath{\Rightarrow}}}1
+{⟹}{{\ensuremath{\Longrightarrow}}}1
+{⇐}{{\ensuremath{\Leftarrow}}}1
+{⟸}{{\ensuremath{\Longleftarrow}}}1
+
+{∩}{{\ensuremath{\cap}}}1
+{∪}{{\ensuremath{\cup}}}1
+{⊂}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
+{⊆}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
+{⊄}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
+{⊈}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
+{⊃}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
+{⊇}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
+{⊅}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
+{⊉}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
+{∈}{{\ensuremath{\in}}}1
+{∉}{{\ensuremath{\notin}}}1
+{∋}{{\ensuremath{\ni}}}1
+{∌}{{\ensuremath{\notni}}}1
+{∅}{{\ensuremath{\emptyset}}}1
+
+{∖}{{\ensuremath{\setminus}}}1
+{†}{{\ensuremath{\dag}}}1
+
+{ℕ}{{\ensuremath{\mathbb{N}}}}1
+{ℤ}{{\ensuremath{\mathbb{Z}}}}1
+{ℝ}{{\ensuremath{\mathbb{R}}}}1
+{ℚ}{{\ensuremath{\mathbb{Q}}}}1
+{ℂ}{{\ensuremath{\mathbb{C}}}}1
+{⌞}{{\ensuremath{\llcorner}}}1
+{⌟}{{\ensuremath{\lrcorner}}}1
+{⦃}{{\ensuremath{\{\!|}}}1
+{⦄}{{\ensuremath{|\!\}}}}1
+
+{‖}{{\ensuremath{\|}}}1
+{₁}{{\ensuremath{_1}}}1
+{₂}{{\ensuremath{_2}}}1
+{₃}{{\ensuremath{_3}}}1
+{₄}{{\ensuremath{_4}}}1
+{₅}{{\ensuremath{_5}}}1
+{₆}{{\ensuremath{_6}}}1
+{₇}{{\ensuremath{_7}}}1
+{₈}{{\ensuremath{_8}}}1
+{₉}{{\ensuremath{_9}}}1
+{₀}{{\ensuremath{_0}}}1
+{ᵢ}{{\ensuremath{_i}}}1
+{ⱼ}{{\ensuremath{_j}}}1
+{ₐ}{{\ensuremath{_a}}}1
+
+{¹}{{\ensuremath{^1}}}1
+
+{ₙ}{{\ensuremath{_n}}}1
+{ₘ}{{\ensuremath{_m}}}1
+{ₚ}{{\ensuremath{_p}}}1
+{↑}{{\ensuremath{\uparrow}}}1
+{↓}{{\ensuremath{\downarrow}}}1
+
+{...}{{\ensuremath{\ldots}}}1
+{·}{{\ensuremath{\cdot}}}1
+
+{▸}{{\ensuremath{\triangleright}}}1
+
+{Σ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Sigma}}}1
+{Π}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Pi}}}1
+{∀}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\forall}}}1
+{∃}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\exists}}}1
+{λ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\mathrm{\lambda}}}}1
+{\$}{{\color{symbolcolor}\$}}1
+
+{:=}{{\color{symbolcolor}:=}}1
+{=}{{\color{symbolcolor}=}}1
+{<|>}{{\color{symbolcolor}<|>}}1
+{<\$>}{{\color{symbolcolor}<\$>}}1
+{+}{{\color{symbolcolor}+}}1
+{*}{{\color{symbolcolor}*}}1,
+
+% Comments
+%comment=[s][\itshape \color{commentcolor}]{/-}{-/},
+morecomment=[s][\color{commentcolor}]{/-}{-/},
+morecomment=[l][\itshape \color{commentcolor}]{--},
+
+% Spaces are not displayed as a special character
+showstringspaces=false,
+
+% keep spaces
+keepspaces=true,
+
+% String delimiters
+morestring=[b]",
+morestring=[d]’,
+
+% Size of tabulations
+tabsize=3,
+
+% Enables ASCII chars 128 to 255
+extendedchars=false,
+
+% Case sensitivity
+sensitive=true,
+
+% Automatic breaking of long lines
+breaklines=true,
+breakatwhitespace=true,
+
+% Default style fors listingsred
+basicstyle=\ttfamily\small,
+
+% Position of captions is bottom
+captionpos=b,
+
+% Full flexible columns
+columns=[l]fullflexible,
+
+
+% Style for (listings') identifiers
+identifierstyle={\ttfamily\color{identifiercolor}},
+% Note : highlighting of Coq identifiers is done through a new
+% delimiter definition through an lstset at the beginning of the
+% document. Don't know how to do better.
+
+% Style for declaration keywords
+keywordstyle=[1]{\ttfamily\color{keywordcolor}},
+
+% Style for sorts
+keywordstyle=[2]{\ttfamily\color{sortcolor}},
+
+% Style for tactics keywords
+keywordstyle=[3]{\ttfamily\color{tacticcolor}},
+
+% Style for attributes
+keywordstyle=[4]{\ttfamily\color{attributecolor}},
+
+% Style for strings
+stringstyle={\ttfamily\color{white}},
+
+% Style for comments
+commentstyle={\ttfamily\footnotesize },
+
+}

packages/macros.sty

@@ -20,6 +20,7 @@
 \newcommand{\Cat}{\mathcal{C}}			% Category
 \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}			% Set category
 \newcommand{\Grp}{\mathbf{Grp}}			% Group category
+\newcommand{\Ring}{\mathbf{Ring}}		% Ring category
 \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}			% Abelian category
 \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}			% Topological spaces category
 \newcommand{\K}{\mathbb{K}}			% Corps
@@ -43,15 +44,18 @@
 \newtheorem{definition}{\lang{Définition}{Definition}}
 \newtheorem{theorem}{\lang{Théorème}{Theoreme}}
 \newtheorem{lemme}{Lemme}
+\newtheorem{exercise}{\lang{Exercice}{Exercise}}
 \newcommandx{\suite}[3][1=n,2=n]{$(#3_{#1})_{#2 \in \N}$}
 \newcommand{\innerproduct}[2]{\langle #1, #2 \rangle}
-\newenvironment{definition_sq}{\begin{mdframed}\begin{definition}}{\end{definition}\end{mdframed}}
+\newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
-\newenvironment{theorem_sq}{\begin{mdframed}\begin{theorem}}{\end{theorem}\end{mdframed}}
+\newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
-\newenvironment{lemme_sq}{\begin{mdframed}\begin{lemme}}{\end{lemme}\end{mdframed}}
+\newenvironment{lemme_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{lemme}[#1]}{\end{lemme}\end{mdframed}}
 \newtheorem{prop}{Proposition}
-\newenvironment{prop_sq}{\begin{mdframed}\begin{prop}}{\end{prop}\end{mdframed}}
+\newenvironment{prop_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{prop}[#1]}{\end{prop}\end{mdframed}}
 \newtheorem{corollary}{Corollaire}
-\newenvironment{corollary_sq}{\begin{mdframed}\begin{corollary}}{\end{corollary}\end{mdframed}}
+\newenvironment{corollary_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{corollary}[#1]}{\end{corollary}\end{mdframed}}
+\newenvironment{exercise_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{exercise}[#1]}{\end{exercise}\end{mdframed}}
+\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
 \DeclarePairedDelimiter{\generator}{\langle}{\rangle}
 \DeclareMathOperator{\subgroup}{\leqslant}
 \DeclareMathOperator{\normalSubgroup}{\trianglelefteq}
@@ -74,6 +78,7 @@
 \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
 \newcommand{\otherwise}{\text{\lang{Sinon}{Otherwise}}}
 \DeclareMathOperator{\union}{\cup}
+\DeclareMathOperator{\distinctUnion}{\sqcup}
 \DeclareMathOperator{\Union}{\bigcup}
 \DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
 \DeclareMathOperator{\Intersection}{\bigcap}

packages/themes.sty

@@ -2,11 +2,12 @@
 
 % Add many functions for colour themes
 \RequirePackage{xcolor}
+% Code highlighting
+\RequirePackage{listings}
 
 \DeclareOption{default}{\OptionNotUsed}
 \definecolor{theme_colour_background} {RGB} {255, 255, 255}
 \definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {0,   0,   0  }
-\definecolor{theme_colour_cl}	      {RGB} {68,  71,  90 }
 \definecolor{theme_colour_comment}    {RGB} {98,  114, 164}
 \definecolor{theme_colour_cyan}	      {RGB} {139, 233, 253}
 \definecolor{theme_colour_green}      {RGB} {0,   255, 0  }
@@ -16,10 +17,17 @@
 \definecolor{theme_colour_red}	      {RGB} {255, 0,   0  }
 \definecolor{theme_colour_yellow}     {RGB} {255, 255, 0  }
 
+\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
+\definecolor{keywordcolor}    {named} {theme_colour_purple}
+\definecolor{tacticcolor}     {named} {theme_colour_purple}
+\definecolor{symbolcolor}     {named} {theme_colour_foreground}
+\definecolor{sortcolor}       {named} {theme_colour_green}
+\definecolor{attributecolor}  {named} {theme_colour_cyan}
+\definecolor{commentcolor}    {named} {theme_colour_comment}
+
 \DeclareOption{codedark}{
 	\definecolor{theme_colour_background} {HTML} {222324}
 	\definecolor{theme_colour_foreground} {HTML} {FFFFFF}
-	\definecolor{theme_colour_cl}	      {RGB}  {68,  71,  90 }
 	\definecolor{theme_colour_comment}    {RGB}  {98,  114, 164}
 	\definecolor{theme_colour_cyan}	      {RGB}  {139, 233, 253}
 	\definecolor{theme_colour_green}      {RGB}  {80,  250, 123}
@@ -28,12 +36,19 @@
 	\definecolor{theme_colour_purple}     {RGB}  {189, 147, 249}
 	\definecolor{theme_colour_red}	      {RGB}  {255, 85,  85 }
 	\definecolor{theme_colour_yellow}     {RGB}  {241, 250, 140}
+
+	\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
+	\definecolor{keywordcolor}    {named} {theme_colour_purple}
+	\definecolor{tacticcolor}     {named} {theme_colour_purple}
+	\definecolor{symbolcolor}     {named} {theme_colour_foreground}
+	\definecolor{sortcolor}       {named} {theme_colour_green}
+	\definecolor{attributecolor}  {named} {theme_colour_cyan}
+	\definecolor{commentcolor}    {named} {theme_colour_comment}
 }
 
 \DeclareOption{dracula}{
 	\definecolor{theme_colour_background} {RGB} {40,  42,  54 }
 	\definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {248, 248, 242}
-	\definecolor{theme_colour_cl}	      {RGB} {68,  71,  90 }
 	\definecolor{theme_colour_comment}    {RGB} {98,  114, 164}
 	\definecolor{theme_colour_cyan}	      {RGB} {139, 233, 253}
 	\definecolor{theme_colour_green}      {RGB} {80,  250, 123}
@@ -42,6 +57,16 @@
 	\definecolor{theme_colour_purple}     {RGB} {189, 147, 249}
 	\definecolor{theme_colour_red}	      {RGB} {255, 85,  85 }
 	\definecolor{theme_colour_yellow}     {RGB} {241, 250, 140}
+
+	\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
+	\definecolor{keywordcolor}    {named} {theme_colour_purple}
+	\definecolor{tacticcolor}     {named} {theme_colour_purple}
+	\definecolor{symbolcolor}     {named} {theme_colour_foreground}
+	\definecolor{sortcolor}       {named} {theme_colour_green}
+	\definecolor{attributecolor}  {named} {theme_colour_cyan}
+	\definecolor{commentcolor}    {named} {theme_colour_comment}
 }
 
+\edef\lstlanguagefiles{\lstlanguagefiles,packages/lstlean.tex}
+
 \ProcessOptions\relax