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@ -10,10 +10,12 @@
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Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
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\end{definition_sq}
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Typiquement, pour éviter d'inventer des nouvelles notations pour chaque loi de composition interne, on utilisera des notations déjà familières telles que \textbf{la notation additive (+)} directement héritée de l'addition des entiers naturels, ainsi que \textbf{la notation multiplicative ($\cartesianProduct$)}.
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\langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
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\begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$.
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} s'il existe un élément appelé \textbf{élément neutre} tel que si combiné avec n'importe quel élément ne le change pas, c'est-à-dire $$\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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@ -106,11 +108,9 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsubsection
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\pagebreak
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\subsection{Inverse}
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\begin{theorem_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:matrix_product_monoid}
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Le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde.
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\end{theorem_sq}
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@ -132,17 +132,17 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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$MA = MB = \begin{pmatrix} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$ alors que $M \ne 0 \land A \ne B$
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\end{proof}
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% \begin{theorem_sq}
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% $\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
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% \end{theorem_sq}
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\begin{theorem_sq}
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$\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
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\end{theorem_sq}
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% \begin{proof}
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% Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
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%
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% $A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
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%
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% $AB = 0$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
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% \end{proof}
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\begin{proof}
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Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
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$A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
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$AB = 0_2$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement s'il existe une matrice dite \textbf{inverse} $B \in M_n(\K)$ tel que $AB = \Identity_n = BA$.
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@ -156,25 +156,27 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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- Les matrices de dilatation $D_i(a)$ sont inversibles : $(D_i(a))^{-1} = D_i(a^{-1})$
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- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{i, j}$
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- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{j, i}$
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\begin{definition_sq} \label{definition:linear_group}
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L'ensemble des matrices inversibles est appelé \textbf{groupe linéaire} et est noté $GL_n(\K)$.
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Également, le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
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\end{definition_sq}
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Par la théorie des groupes :
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\begin{theorem_sq}
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Le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
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\end{theorem_sq}
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\begin{itemize}
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\item{L'inverse est unique : $AB = AC = \Identity_n \implies B = C = A^{-1}$}
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\item{L'inverse d'un inverse est l'identité : $(A^{-1})^{-1} = A$}
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\item{Le produit de deux matrices inversibles est inversible : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$}
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\end{itemize}
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\begin{proof}
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L'ensemble des matrices inversibles sont également des matrices, donc $GL_n(\K) \subseteq M_n(\K)$ or le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde \ref{theorem:matrix_product_monoid} et $GL_n(\K)$ ne garde que les matrices qui sont inversibles et cela constitue la définition d'un groupe \ref{definition:group}.
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\end{proof}
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La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée : $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
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\begin{theorem_sq}
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La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée c.-à-d. : $\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
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\end{theorem_sq}
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$(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
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\begin{proof}
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$\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n \land A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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$\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \forall M \in GL_n(\K), (MA = MB) \equivalence A = B$
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@ -195,14 +197,19 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
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\begin{proof}
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Par récurrence sur $n$. Le cas d'initialisation $n = 1$ est immédiat.
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Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$. On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss.
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Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
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Si $a_{11} \ne 1$, alors il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ (ou l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + \frac{1 - a_{11}}{a_{i1}}L_i$) permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
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Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$.
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Appliquons l'algorithme du pivot de Gauss.
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Comme A est inversible, sa première colonne est nécessairement non nulle.
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Si $a_{11} \ne 1$, s'il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
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Dans le cas ou $a_{11} \ne 1$ et qu'il s'agit du seul coefficient non nul de la colonne, nous pouvons ajouter la matrice de transvection $T_{2, 1}(1)$ pour nous ramener au cas précédent.
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Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
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colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
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des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
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colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne, cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
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$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$
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où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
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où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$.
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En appliquant l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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@ -225,48 +232,74 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
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Supposons que la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = \Identity_n$.
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% TODO Fix proof...
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Alors, $\rank{A} = n$.
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% \Limpliespart
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En effet, si $\rank{A} = n$, ainsi, il existe une matrice colonne de taille $n$ qui est un multiple scalaire des colonnes de $A$, ce qui signifie que les vecteurs colonnes de $A$ sont linéairement indépendants.
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% Supposons que $\rank{A} = n$.
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% Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
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% alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
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% Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
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\Limpliespart
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% On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$.
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Supposons que $\rank{A} = n$.
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Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
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alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
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Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
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On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$.
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Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
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% Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
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% TODO Fix garbage AI proof...
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Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
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alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
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% Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
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% alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
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%
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% Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
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%
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% Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
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%
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% Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
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% Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
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% la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
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% Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
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%
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% Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
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%
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% Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
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% On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
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% \[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
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% Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
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% Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
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Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
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Ok
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Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
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Ok
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Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
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Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
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la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
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Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
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Ok
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Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
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\impliespart
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Since $AA^{-1} = I_n$, the columns of $A$ must be linearly independent.
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Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
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On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
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\[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
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Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
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Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
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To see this, suppose the columns of $A$ are linearly dependent. Then there exist scalars $c_1, c_2, ..., c_n$, not all zero, such that
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$$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + \dots + c_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}$$
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where $\mathbf{a}_i$ are the columns of $A$. This can be written as $A\mathbf{c} = \mathbf{0}$, where $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ is a non-zero vector.
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If $A$ is invertible, then we can multiply both sides by $A^{-1}$:
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$$A^{-1}A\mathbf{c} = A^{-1}\mathbf{0} \implies \mathbf{c} = \mathbf{0}$$
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But this contradicts our assumption that $\mathbf{c}$ is a non-zero vector. Therefore, the columns of $A$ must be linearly independent.
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Since $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent columns, the column space of $A$ has dimension $n$. Therefore, rank$(A) = n$.
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\Limpliespart
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$\rank{A} = n$ implies that $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent rows.
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Since the columns of $A$ are linearly independent and span $\K^n$, any vector $\mathbf{b} \in \K^n$ can be written as a linear combination of the columns of $A$. In other words, for any $\mathbf{b} \in \K^n$, the equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ has a solution. Since the columns are linearly independent, the solution is unique.
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Consider the system $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{e}_i$ is the $i$-th standard basis vector in $\K^n$ (i.e., a vector with a 1 in the $i$-th position and 0s elsewhere). Since rank$(A) = n$, this system has a unique solution for each $i = 1, 2, ..., n$. Let $\mathbf{x}_i$ be the unique solution to $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$.
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Now, construct a matrix $B$ whose columns are the vectors $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n$. Then $AB$ is a matrix whose $i$-th column is $A\mathbf{x}_i = \mathbf{e}_i$. Therefore, $AB = I_n$.
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Since $AB = I_n$, we have shown that $A$ has a right inverse. For square matrices, if a right inverse exists, then it is also a left inverse. Therefore, $BA = I_n$ as well. Thus, $B = A^{-1}$, and $A$ is invertible.
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:special_linear_group}
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L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1.
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L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1, c'est-à-dire
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$$SL_n(\K) := \{ A \in GL_n(\K) \suchthat \det(A) = 1\}$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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@ -274,11 +307,17 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Vérifions chaque axiome d'un groupe. $\det(\Identity_n) = 1 \equivalence \Identity_n \in SL_n(\K)$.
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Grâce aux propriétés du déterminant, on peut vérifier chaque axiome d'un sous-groupe \ref{definition:subgroup}
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La propriété du déterminant $\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B)$ permet de montrer les propositions suivantes :
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$$\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 * 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$$
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$$\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$$
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\begin{itemize}
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\item{Magma : $\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$}
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||||
\item{Présence de l'identité : $\det(\Identity_n) = 1 \implies \Identity_n \in SL_n(\K)$}
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||||
\item{Présence de l'inverse : $\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$}
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\end{itemize}
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Pour montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe distingué, posons $x \in GL_n(\K)$ et $y \in SL_n(\K)$, nous pouvons en conclure
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$\det(xyx^{-1}) = \det(x)\det(y)\det(x)^{-1} = 1 \implies xyx^{-1} \in SL_n(\K)$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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@ -290,13 +329,12 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
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$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$
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\end{proof}
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\pagebreak
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\begin{theorem_sq}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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@ -332,7 +370,7 @@ $a \in Tr_n$
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\begin{proof}
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Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.
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$$\forall n \in \N, \matrixnorm{\frac{A^n}{n!}} \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
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$$\forall n \in \N, \left\lVert \frac{A^n}{n!} \right\rVert \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
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||||
\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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@ -388,36 +426,34 @@ $a \in Tr_n$
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Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
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\end{proof}
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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%TODO Complete section
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
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Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
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\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space}
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Un espace vectoriel $(E(\K), +, \cartesianProduct)$ sur un corps $\K$ est un tuple
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||||
Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
|
||||
\bigskip
|
||||
Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Unital en $(\cdot)$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
|
||||
$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in \K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Unital en $(\cdot)$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_free_family}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si la seule combinaison linéaire qui annule \suite{e} est la combinaison linéaire nulle, c'est-à-dire
|
||||
$$\forall \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
|
||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_generating_family}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} d'un espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ si pour tout vecteur $v$ de $E$ il existe une combinaison linéaire de \suite{e} égale à $v$, c'est-à-dire
|
||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
|
||||
@ -484,7 +520,7 @@ $\implies F \subset G \lor G \subset F$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{defintion:linear_map}
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:linear_map}
|
||||
Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}
|
||||
|
||||
@ -1,9 +1,61 @@
|
||||
\pagebreak
|
||||
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||||
%\documentclass{article}
|
||||
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||||
%\usepackage{paracol}
|
||||
\columnratio{0.5}
|
||||
|
||||
% Défini la longueur des marges du document (défault à 4.8cm)
|
||||
%\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
|
||||
|
||||
%\usepackage{xcolor}
|
||||
% mode sombre
|
||||
%\definecolor{colour_bg} {HTML} {222324}
|
||||
%\definecolor{colour_fg} {HTML} {FFFFFF}
|
||||
% mode par défaut
|
||||
% \definecolor{colour_bg} {RGB} {255, 255, 255}
|
||||
% \definecolor{colour_fg} {RGB} {0, 0, 0}
|
||||
% \pagecolor{colour_bg}
|
||||
% \color{colour_fg}
|
||||
% \usepackage{mdframed}
|
||||
% \mdfsetup{linecolor = colour_fg, innerlinecolor = colour_fg, middlelinecolor = colour_fg, outerlinecolor = colour_fg, %
|
||||
% backgroundcolor = colour_bg, fontcolor = colour_fg}
|
||||
|
||||
% Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
|
||||
% \usepackage{amsfonts}
|
||||
%\usepackage{amssymb} % for '\blacksquare' macro
|
||||
% \usepackage{amsthm} % for 'proof' environment
|
||||
% \usepackage{mathtools}
|
||||
|
||||
% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
|
||||
% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
|
||||
% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ} % New symbol composing morphisms
|
||||
% \newcommand{\suchthat}{\mid}
|
||||
% \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
|
||||
% \newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natural numbers symbol
|
||||
% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Real numbers symbol
|
||||
% \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
|
||||
% \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
|
||||
% \DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
|
||||
|
||||
% \newtheorem{definition}{Définition}
|
||||
% \newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
|
||||
% \newtheorem{theorem}{Théorème}
|
||||
% \newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
|
||||
|
||||
% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
|
||||
% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
|
||||
% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
|
||||
% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
|
||||
|
||||
%\begin{document}
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||||
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||||
%\maketitle
|
||||
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||||
\begin{paracol}{2}
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||||
Pierre Saunders
|
||||
|
||||
William De Canteloube
|
||||
\switchcolumn
|
||||
\begin{flushright}
|
||||
L3 Math 2024-25
|
||||
@ -37,7 +89,25 @@ Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
|
||||
$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
|
||||
$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
|
||||
|
||||
Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
|
||||
\begin{prop_sq}
|
||||
$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
|
||||
Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
|
||||
$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
|
||||
Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
|
||||
$$x
|
||||
= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
|
||||
= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
|
||||
@ -76,6 +146,12 @@ Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudie
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
|
||||
Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
ANNEXE
|
||||
|
||||
TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}
|
||||
|
||||
%\end{document}
|
||||
|
||||
|
||||
@ -97,6 +97,32 @@
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\langsection{Tableau}{Table}
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\begin{mdframed}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\langsection{Paquets additionnels}{Additional packages}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
|
||||
@ -126,6 +126,53 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Tous les entiers relatifs sont soit pairs ou impairs.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Procédons par induction. L'initialisation $n = 0$ est directe, car $2 \cdot 0 = 0$ ce qui montre que $0$ est pair.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% \begin{leancode}
|
||||
\begin{lstlisting}[language=lean]
|
||||
theorem every_integer_is_even_or_odd (n : ℤ) : Even n ∨ Odd n := by
|
||||
induction n with
|
||||
| hz =>
|
||||
left
|
||||
use 0
|
||||
group
|
||||
| hp n' hz =>
|
||||
cases hz with
|
||||
| inl hl =>
|
||||
right
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hl
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a
|
||||
group
|
||||
| inr hr =>
|
||||
left
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hr
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a + 1
|
||||
group
|
||||
| hn n' hz =>
|
||||
cases hz with
|
||||
| inl hl =>
|
||||
right
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hl
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a - 1
|
||||
group
|
||||
| inr hr =>
|
||||
left
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hr
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a
|
||||
group
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
% \end{leancode}
|
||||
|
||||
\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
@ -136,7 +183,7 @@ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
|
||||
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \Z^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -254,7 +301,7 @@ Lors d'une longue division, on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par défin
|
||||
|
||||
\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -262,7 +309,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_complex_number}
|
||||
|
||||
$\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
|
||||
|
||||
@ -304,7 +351,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
|
||||
|
||||
\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -326,7 +373,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
|
||||
\section{Construction des octonions $(\Ot)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_octonion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -362,9 +409,9 @@ $e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\de
|
||||
|
||||
Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
|
||||
|
||||
\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
|
||||
\langsection{Construction des sédénions $(\Se)$}{Construction of the sedenions $(\Se)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -381,70 +428,55 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
|
||||
\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
|
||||
Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
|
||||
\lang{Un nombre $n \in \N \land n \ge 2$ est dit \textbf{premier} si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit \textbf{composé}.}%
|
||||
{A number $n \in \N \land n \ge 2$ is \textbf{prime} if, and only if, its factors are 1 and itself. Otherwise this number is \textbf{composé}.}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Infinité}{Infinity}
|
||||
Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier, mais cela n'a pas toujours été le cas.
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
|
||||
Il existe une infinité de nombres premiers.
|
||||
Il existe une infinité de nombres premiers.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
|
||||
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
|
||||
|
||||
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
|
||||
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
|
||||
|
||||
Let $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
|
||||
|
||||
$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
|
||||
|
||||
$\implies (\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn) \implies \bot$
|
||||
|
||||
$\implies \card{P} = \infty$
|
||||
\lang{Soit}{Let} $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^*, p$ \lang{ est premier}{ is prime} $\}$ \lang{et}{and} $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
|
||||
|
||||
$\implies \forall p \in \Pn, \omega = 1 \mod p \implies \forall p \in \Pn, \lnot(p \divides \omega) \implies \omega$ \lang{est premier}{is prime} $\implies \omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn \implies \bot \implies \card{P} = \infty$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Irrationalité}{Irrationality}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
|
||||
$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
|
||||
$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime_is_irrational}
|
||||
\lang{La racine carrée d'un nombre premier est irrationnel.}%
|
||||
{The square root of a prime number is irrational.}
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
|
||||
The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime_is_irrational}.
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
|
||||
By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
|
||||
|
||||
$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
|
||||
$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a, b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
|
||||
|
||||
$\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
|
||||
$\implies p = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \implies b^2p = a^2 \implies p \divides a$
|
||||
|
||||
$\implies b^2p = a^2$
|
||||
Let $c \in \N^*, a = pc$
|
||||
|
||||
$\implies p \divides a$
|
||||
|
||||
Let $c \in \N^*$, $a = pc$
|
||||
|
||||
$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
|
||||
|
||||
$\implies b^2 = pc^2$
|
||||
|
||||
$\implies p \divides b$
|
||||
|
||||
$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a,b)=1) \implies \bot$
|
||||
|
||||
$\implies \sqrt{p} \notin \Q$
|
||||
$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2 \implies b^2 = pc^2 \implies p \divides b \implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a, b) = 1) \implies \bot \implies \sqrt{p} \notin \Q$
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
\lang{La racine carrée d'un nombre naturel est soit un nombre premier ou un carré parfait.}%
|
||||
{The square root of a natural number is either a prime number or a perfect square.}
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lipsum[2]
|
||||
% TODO Complete proof
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
@ -129,6 +129,7 @@ Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lipsum[2]
|
||||
% TODO Complete proof
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
289
packages/lstlean.tex
Normal file
289
packages/lstlean.tex
Normal file
@ -0,0 +1,289 @@
|
||||
% Listing style definition for the Lean Theorem Prover.
|
||||
% Defined by Jeremy Avigad, 2015, by modifying Assia Mahboubi's SSR style.
|
||||
% Unicode replacements taken from Olivier Verdier's unixode.sty
|
||||
|
||||
\lstdefinelanguage{lean} {
|
||||
|
||||
% Anything between $ becomes LaTeX math mode
|
||||
mathescape=false,
|
||||
% Comments may or not include Latex commands
|
||||
texcl=false,
|
||||
|
||||
% keywords, list taken from lean-syntax.el
|
||||
morekeywords=[1]{
|
||||
import, prelude, protected, private, noncomputable, definition, meta, renaming,
|
||||
hiding, parameter, parameters, begin, constant, constants,
|
||||
lemma, variable, variables, theory,
|
||||
print, theorem, example,
|
||||
open, as, export, override, axiom, axioms, inductive, with,
|
||||
structure, record, universe, universes,
|
||||
alias, help, precedence, reserve, declare_trace, add_key_equivalence,
|
||||
match, infix, infixl, infixr, notation, postfix, prefix, instance,
|
||||
eval, reduce, check, end, this,
|
||||
using, using_well_founded, namespace, section,
|
||||
attribute, local, set_option, extends, include, omit, class,
|
||||
raw, replacing,
|
||||
calc, have, show, suffices, by, in, at, let, forall, Pi, fun,
|
||||
exists, if, dif, then, else, assume, obtain, from, register_simp_ext, unless, break, continue,
|
||||
mutual, do, def, run_cmd, const,
|
||||
partial, mut, where, macro, syntax, deriving,
|
||||
return, try, catch, for, macro_rules, declare_syntax_cat, abbrev},
|
||||
|
||||
% Sorts
|
||||
morekeywords=[2]{Sort, Type, Prop},
|
||||
|
||||
% tactics, list taken from lean-syntax.el
|
||||
morekeywords=[3]{
|
||||
assumption,
|
||||
apply, intro, intros, allGoals,
|
||||
generalize, clear, revert, done, exact,
|
||||
refine, repeat, cases, rewrite, rw,
|
||||
simp, simp_all, contradiction,
|
||||
constructor, injection,
|
||||
induction, group, right, left, use
|
||||
},
|
||||
|
||||
% modifiers, taken from lean-syntax.el
|
||||
% note: 'otherkeywords' is needed because these use a different symbol.
|
||||
% this command doesn't allow us to specify a number -- they are put with [1]
|
||||
% otherkeywords={
|
||||
% [persistent], [notation], [visible], [instance], [trans_instance],
|
||||
% [class], [parsing-only], [coercion], [unfold_full], [constructor],
|
||||
% [reducible], [irreducible], [semireducible], [quasireducible], [wf],
|
||||
% [whnf], [multiple_instances], [none], [decl], [declaration],
|
||||
% [relation], [symm], [subst], [refl], [trans], [simp], [congr], [unify],
|
||||
% [backward], [forward], [no_pattern], [begin_end], [tactic], [abbreviation],
|
||||
% [reducible], [unfold], [alias], [eqv], [intro], [intro!], [elim], [grinder],
|
||||
% [localrefinfo], [recursor]
|
||||
% },
|
||||
|
||||
% Various symbols
|
||||
literate=
|
||||
{α}{{\ensuremath{\mathrm{\alpha}}}}1
|
||||
{β}{{\ensuremath{\mathrm{\beta}}}}1
|
||||
{γ}{{\ensuremath{\mathrm{\gamma}}}}1
|
||||
{δ}{{\ensuremath{\mathrm{\delta}}}}1
|
||||
{ε}{{\ensuremath{\mathrm{\varepsilon}}}}1
|
||||
{ζ}{{\ensuremath{\mathrm{\zeta}}}}1
|
||||
{η}{{\ensuremath{\mathrm{\eta}}}}1
|
||||
{θ}{{\ensuremath{\mathrm{\theta}}}}1
|
||||
{ι}{{\ensuremath{\mathrm{\iota}}}}1
|
||||
{κ}{{\ensuremath{\mathrm{\kappa}}}}1
|
||||
{μ}{{\ensuremath{\mathrm{\mu}}}}1
|
||||
{ν}{{\ensuremath{\mathrm{\nu}}}}1
|
||||
{ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\xi}}}}1
|
||||
{π}{{\ensuremath{\mathrm{\mathnormal{\pi}}}}}1
|
||||
{ρ}{{\ensuremath{\mathrm{\rho}}}}1
|
||||
{σ}{{\ensuremath{\mathrm{\sigma}}}}1
|
||||
{τ}{{\ensuremath{\mathrm{\tau}}}}1
|
||||
{φ}{{\ensuremath{\mathrm{\varphi}}}}1
|
||||
{χ}{{\ensuremath{\mathrm{\chi}}}}1
|
||||
{ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\psi}}}}1
|
||||
{ω}{{\ensuremath{\mathrm{\omega}}}}1
|
||||
|
||||
{Γ}{{\ensuremath{\mathrm{\Gamma}}}}1
|
||||
{Δ}{{\ensuremath{\mathrm{\Delta}}}}1
|
||||
{Θ}{{\ensuremath{\mathrm{\Theta}}}}1
|
||||
{Λ}{{\ensuremath{\mathrm{\Lambda}}}}1
|
||||
{Σ}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
|
||||
{Φ}{{\ensuremath{\mathrm{\Phi}}}}1
|
||||
{Ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\Xi}}}}1
|
||||
{Ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\Psi}}}}1
|
||||
{Ω}{{\ensuremath{\mathrm{\Omega}}}}1
|
||||
|
||||
{ℵ}{{\ensuremath{\aleph}}}1
|
||||
|
||||
{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
|
||||
{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
|
||||
{≠}{{\ensuremath{\neq}}}1
|
||||
{≈}{{\ensuremath{\approx}}}1
|
||||
{≡}{{\ensuremath{\equiv}}}1
|
||||
{≃}{{\ensuremath{\simeq}}}1
|
||||
|
||||
{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
|
||||
{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
|
||||
|
||||
{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
|
||||
{∆}{{\ensuremath{\triangle}}}1 % or \laplace?
|
||||
|
||||
{∫}{{\ensuremath{\int}}}1
|
||||
{∑}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
|
||||
{Π}{{\ensuremath{\mathrm{\Pi}}}}1
|
||||
|
||||
{⊥}{{\ensuremath{\perp}}}1
|
||||
{∞}{{\ensuremath{\infty}}}1
|
||||
{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
|
||||
|
||||
{∓}{{\ensuremath{\mp}}}1
|
||||
{±}{{\ensuremath{\pm}}}1
|
||||
{×}{{\ensuremath{\times}}}1
|
||||
|
||||
{⊕}{{\ensuremath{\oplus}}}1
|
||||
{⊗}{{\ensuremath{\otimes}}}1
|
||||
{⊞}{{\ensuremath{\boxplus}}}1
|
||||
|
||||
{∇}{{\ensuremath{\nabla}}}1
|
||||
{√}{{\ensuremath{\sqrt}}}1
|
||||
|
||||
{⬝}{{\ensuremath{\cdot}}}1
|
||||
{•}{{\ensuremath{\cdot}}}1
|
||||
{∘}{{\ensuremath{\circ}}}1
|
||||
|
||||
%{⁻}{{\ensuremath{^{\textup{\kern1pt\rule{2pt}{0.3pt}\kern-1pt}}}}}1
|
||||
{⁻}{{\ensuremath{^{-}}}}1
|
||||
{▸}{{\ensuremath{\blacktriangleright}}}1
|
||||
|
||||
{∧}{{\ensuremath{\wedge}}}1
|
||||
{∨}{{\ensuremath{\vee}}}1
|
||||
{¬}{{\ensuremath{\neg}}}1
|
||||
{⊢}{{\ensuremath{\vdash}}}1
|
||||
|
||||
%{⟨}{{\ensuremath{\left\langle}}}1
|
||||
%{⟩}{{\ensuremath{\right\rangle}}}1
|
||||
{⟨}{{\ensuremath{\langle}}}1
|
||||
{⟩}{{\ensuremath{\rangle}}}1
|
||||
|
||||
{↦}{{\ensuremath{\mapsto}}}1
|
||||
{←}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
|
||||
{<-}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
|
||||
{→}{{\ensuremath{\rightarrow}}}1
|
||||
{↔}{{\ensuremath{\leftrightarrow}}}1
|
||||
{⇒}{{\ensuremath{\Rightarrow}}}1
|
||||
{⟹}{{\ensuremath{\Longrightarrow}}}1
|
||||
{⇐}{{\ensuremath{\Leftarrow}}}1
|
||||
{⟸}{{\ensuremath{\Longleftarrow}}}1
|
||||
|
||||
{∩}{{\ensuremath{\cap}}}1
|
||||
{∪}{{\ensuremath{\cup}}}1
|
||||
{⊂}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
|
||||
{⊆}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
|
||||
{⊄}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
|
||||
{⊈}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
|
||||
{⊃}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
|
||||
{⊇}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
|
||||
{⊅}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
|
||||
{⊉}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
|
||||
{∈}{{\ensuremath{\in}}}1
|
||||
{∉}{{\ensuremath{\notin}}}1
|
||||
{∋}{{\ensuremath{\ni}}}1
|
||||
{∌}{{\ensuremath{\notni}}}1
|
||||
{∅}{{\ensuremath{\emptyset}}}1
|
||||
|
||||
{∖}{{\ensuremath{\setminus}}}1
|
||||
{†}{{\ensuremath{\dag}}}1
|
||||
|
||||
{ℕ}{{\ensuremath{\mathbb{N}}}}1
|
||||
{ℤ}{{\ensuremath{\mathbb{Z}}}}1
|
||||
{ℝ}{{\ensuremath{\mathbb{R}}}}1
|
||||
{ℚ}{{\ensuremath{\mathbb{Q}}}}1
|
||||
{ℂ}{{\ensuremath{\mathbb{C}}}}1
|
||||
{⌞}{{\ensuremath{\llcorner}}}1
|
||||
{⌟}{{\ensuremath{\lrcorner}}}1
|
||||
{⦃}{{\ensuremath{\{\!|}}}1
|
||||
{⦄}{{\ensuremath{|\!\}}}}1
|
||||
|
||||
{‖}{{\ensuremath{\|}}}1
|
||||
{₁}{{\ensuremath{_1}}}1
|
||||
{₂}{{\ensuremath{_2}}}1
|
||||
{₃}{{\ensuremath{_3}}}1
|
||||
{₄}{{\ensuremath{_4}}}1
|
||||
{₅}{{\ensuremath{_5}}}1
|
||||
{₆}{{\ensuremath{_6}}}1
|
||||
{₇}{{\ensuremath{_7}}}1
|
||||
{₈}{{\ensuremath{_8}}}1
|
||||
{₉}{{\ensuremath{_9}}}1
|
||||
{₀}{{\ensuremath{_0}}}1
|
||||
{ᵢ}{{\ensuremath{_i}}}1
|
||||
{ⱼ}{{\ensuremath{_j}}}1
|
||||
{ₐ}{{\ensuremath{_a}}}1
|
||||
|
||||
{¹}{{\ensuremath{^1}}}1
|
||||
|
||||
{ₙ}{{\ensuremath{_n}}}1
|
||||
{ₘ}{{\ensuremath{_m}}}1
|
||||
{ₚ}{{\ensuremath{_p}}}1
|
||||
{↑}{{\ensuremath{\uparrow}}}1
|
||||
{↓}{{\ensuremath{\downarrow}}}1
|
||||
|
||||
{...}{{\ensuremath{\ldots}}}1
|
||||
{·}{{\ensuremath{\cdot}}}1
|
||||
|
||||
{▸}{{\ensuremath{\triangleright}}}1
|
||||
|
||||
{Σ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Sigma}}}1
|
||||
{Π}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Pi}}}1
|
||||
{∀}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\forall}}}1
|
||||
{∃}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\exists}}}1
|
||||
{λ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\mathrm{\lambda}}}}1
|
||||
{\$}{{\color{symbolcolor}\$}}1
|
||||
|
||||
{:=}{{\color{symbolcolor}:=}}1
|
||||
{=}{{\color{symbolcolor}=}}1
|
||||
{<|>}{{\color{symbolcolor}<|>}}1
|
||||
{<\$>}{{\color{symbolcolor}<\$>}}1
|
||||
{+}{{\color{symbolcolor}+}}1
|
||||
{*}{{\color{symbolcolor}*}}1,
|
||||
|
||||
% Comments
|
||||
%comment=[s][\itshape \color{commentcolor}]{/-}{-/},
|
||||
morecomment=[s][\color{commentcolor}]{/-}{-/},
|
||||
morecomment=[l][\itshape \color{commentcolor}]{--},
|
||||
|
||||
% Spaces are not displayed as a special character
|
||||
showstringspaces=false,
|
||||
|
||||
% keep spaces
|
||||
keepspaces=true,
|
||||
|
||||
% String delimiters
|
||||
morestring=[b]",
|
||||
morestring=[d],
|
||||
|
||||
% Size of tabulations
|
||||
tabsize=3,
|
||||
|
||||
% Enables ASCII chars 128 to 255
|
||||
extendedchars=false,
|
||||
|
||||
% Case sensitivity
|
||||
sensitive=true,
|
||||
|
||||
% Automatic breaking of long lines
|
||||
breaklines=true,
|
||||
breakatwhitespace=true,
|
||||
|
||||
% Default style fors listingsred
|
||||
basicstyle=\ttfamily\small,
|
||||
|
||||
% Position of captions is bottom
|
||||
captionpos=b,
|
||||
|
||||
% Full flexible columns
|
||||
columns=[l]fullflexible,
|
||||
|
||||
|
||||
% Style for (listings') identifiers
|
||||
identifierstyle={\ttfamily\color{identifiercolor}},
|
||||
% Note : highlighting of Coq identifiers is done through a new
|
||||
% delimiter definition through an lstset at the beginning of the
|
||||
% document. Don't know how to do better.
|
||||
|
||||
% Style for declaration keywords
|
||||
keywordstyle=[1]{\ttfamily\color{keywordcolor}},
|
||||
|
||||
% Style for sorts
|
||||
keywordstyle=[2]{\ttfamily\color{sortcolor}},
|
||||
|
||||
% Style for tactics keywords
|
||||
keywordstyle=[3]{\ttfamily\color{tacticcolor}},
|
||||
|
||||
% Style for attributes
|
||||
keywordstyle=[4]{\ttfamily\color{attributecolor}},
|
||||
|
||||
% Style for strings
|
||||
stringstyle={\ttfamily\color{white}},
|
||||
|
||||
% Style for comments
|
||||
commentstyle={\ttfamily\footnotesize },
|
||||
|
||||
}
|
||||
@ -20,6 +20,7 @@
|
||||
\newcommand{\Cat}{\mathcal{C}} % Category
|
||||
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} % Set category
|
||||
\newcommand{\Grp}{\mathbf{Grp}} % Group category
|
||||
\newcommand{\Ring}{\mathbf{Ring}} % Ring category
|
||||
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} % Abelian category
|
||||
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} % Topological spaces category
|
||||
\newcommand{\K}{\mathbb{K}} % Corps
|
||||
@ -43,15 +44,18 @@
|
||||
\newtheorem{definition}{\lang{Définition}{Definition}}
|
||||
\newtheorem{theorem}{\lang{Théorème}{Theoreme}}
|
||||
\newtheorem{lemme}{Lemme}
|
||||
\newtheorem{exercise}{\lang{Exercice}{Exercise}}
|
||||
\newcommandx{\suite}[3][1=n,2=n]{$(#3_{#1})_{#2 \in \N}$}
|
||||
\newcommand{\innerproduct}[2]{\langle #1, #2 \rangle}
|
||||
\newenvironment{definition_sq}{\begin{mdframed}\begin{definition}}{\end{definition}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{theorem_sq}{\begin{mdframed}\begin{theorem}}{\end{theorem}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{lemme_sq}{\begin{mdframed}\begin{lemme}}{\end{lemme}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{lemme_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{lemme}[#1]}{\end{lemme}\end{mdframed}}
|
||||
\newtheorem{prop}{Proposition}
|
||||
\newenvironment{prop_sq}{\begin{mdframed}\begin{prop}}{\end{prop}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{prop_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{prop}[#1]}{\end{prop}\end{mdframed}}
|
||||
\newtheorem{corollary}{Corollaire}
|
||||
\newenvironment{corollary_sq}{\begin{mdframed}\begin{corollary}}{\end{corollary}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{corollary_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{corollary}[#1]}{\end{corollary}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{exercise_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{exercise}[#1]}{\end{exercise}\end{mdframed}}
|
||||
\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
|
||||
\DeclarePairedDelimiter{\generator}{\langle}{\rangle}
|
||||
\DeclareMathOperator{\subgroup}{\leqslant}
|
||||
\DeclareMathOperator{\normalSubgroup}{\trianglelefteq}
|
||||
@ -74,6 +78,7 @@
|
||||
\newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
|
||||
\newcommand{\otherwise}{\text{\lang{Sinon}{Otherwise}}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\union}{\cup}
|
||||
\DeclareMathOperator{\distinctUnion}{\sqcup}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Union}{\bigcup}
|
||||
\DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Intersection}{\bigcap}
|
||||
|
||||
@ -2,11 +2,12 @@
|
||||
|
||||
% Add many functions for colour themes
|
||||
\RequirePackage{xcolor}
|
||||
% Code highlighting
|
||||
\RequirePackage{listings}
|
||||
|
||||
\DeclareOption{default}{\OptionNotUsed}
|
||||
\definecolor{theme_colour_background} {RGB} {255, 255, 255}
|
||||
\definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {0, 0, 0 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_cl} {RGB} {68, 71, 90 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_comment} {RGB} {98, 114, 164}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cyan} {RGB} {139, 233, 253}
|
||||
\definecolor{theme_colour_green} {RGB} {0, 255, 0 }
|
||||
@ -16,10 +17,17 @@
|
||||
\definecolor{theme_colour_red} {RGB} {255, 0, 0 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_yellow} {RGB} {255, 255, 0 }
|
||||
|
||||
\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{keywordcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{tacticcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{symbolcolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{sortcolor} {named} {theme_colour_green}
|
||||
\definecolor{attributecolor} {named} {theme_colour_cyan}
|
||||
\definecolor{commentcolor} {named} {theme_colour_comment}
|
||||
|
||||
\DeclareOption{codedark}{
|
||||
\definecolor{theme_colour_background} {HTML} {222324}
|
||||
\definecolor{theme_colour_foreground} {HTML} {FFFFFF}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cl} {RGB} {68, 71, 90 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_comment} {RGB} {98, 114, 164}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cyan} {RGB} {139, 233, 253}
|
||||
\definecolor{theme_colour_green} {RGB} {80, 250, 123}
|
||||
@ -28,12 +36,19 @@
|
||||
\definecolor{theme_colour_purple} {RGB} {189, 147, 249}
|
||||
\definecolor{theme_colour_red} {RGB} {255, 85, 85 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_yellow} {RGB} {241, 250, 140}
|
||||
|
||||
\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{keywordcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{tacticcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{symbolcolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{sortcolor} {named} {theme_colour_green}
|
||||
\definecolor{attributecolor} {named} {theme_colour_cyan}
|
||||
\definecolor{commentcolor} {named} {theme_colour_comment}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\DeclareOption{dracula}{
|
||||
\definecolor{theme_colour_background} {RGB} {40, 42, 54 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {248, 248, 242}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cl} {RGB} {68, 71, 90 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_comment} {RGB} {98, 114, 164}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cyan} {RGB} {139, 233, 253}
|
||||
\definecolor{theme_colour_green} {RGB} {80, 250, 123}
|
||||
@ -42,6 +57,16 @@
|
||||
\definecolor{theme_colour_purple} {RGB} {189, 147, 249}
|
||||
\definecolor{theme_colour_red} {RGB} {255, 85, 85 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_yellow} {RGB} {241, 250, 140}
|
||||
|
||||
\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{keywordcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{tacticcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{symbolcolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{sortcolor} {named} {theme_colour_green}
|
||||
\definecolor{attributecolor} {named} {theme_colour_cyan}
|
||||
\definecolor{commentcolor} {named} {theme_colour_comment}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\edef\lstlanguagefiles{\lstlanguagefiles,packages/lstlean.tex}
|
||||
|
||||
\ProcessOptions\relax
|
||||
|
||||
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