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 La topologie traite de l'étude des applications continues.
 
-\langsection{Espaces topologique}{Topologic spaces}
+\langsection{Espaces topologique}{Topological spaces}
 
-A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$.
+\begin{definition_sq} \label {definition:topological_space}
+	\lang{Un espace topologique est un ensemble $E$ avec une topologie $\tau_E$ noté comme une paire $(E, \tau_E)$ vérifiant les axiomes suivants}%
+	{A topology space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted as a pair $(E,\tau_E)$ satisfying the following axioms} :
 
-\langsubsection{Axiomes}{Axioms}
-
-\begin{itemize}
-	\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
-	\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
-	\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
-\end{itemize}
+	\begin{itemize}
+		\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
+		\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
+		\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
 \langsection{Espaces métrique}{Metric spaces}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:metric_space}
-	A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted $(E,d)$ satisfaing the following axioms :
+	\lang{Un espace métrique est un ensemble $E$ avec une fonction de distance $\function{d}{E^2}{\R_+}$ notée comme une paire $(E, d)$ vérifiant les axiomes suivants}%
+		{A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted as a pair $(E, d)$ satisfying the following axioms} :
 	\begin{itemize}
-		\item{$\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
-		\item{Symetry: $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
-		\item{Triangular inegality: $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
+		\item{\lang{Non-dégénérescence}{Non-degenerative} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
+		\item{\lang{Symétrie}{Symetry} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
+		\item{\lang{Inégalité triangulaire}{Triangular inegality} : $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
 	\end{itemize}
 \end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension finie}{Vector spaces in finite dimensions}
 
-Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
-
 \langsubsubsection{Normes}{Norms}
 
-Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés.
+\begin{definition_sq}
+	Une norme sur $E$ est une application continue notée $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui vérifie les axiomes suivants :
 
-\smallskip
-
-$\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$
-
-\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
-
-\begin{itemize}
-	\item{$\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
-	\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
-	\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
-\end{itemize}
-
-\smallskip
+	\begin{itemize}
+		\item{Non-dégénérescence : $\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
+		\item{Homothétie positive : $\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
+		\item{Inégalité triangulaire : $\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
 On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
 
 \langsubsubsubsection{Exemples}{Examples}
 
-$n \in \N^*, E = \R^n$
+Soit $n \in \N^*, E = \R^n$
 
 \begin{itemize}
 	\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n \abs{x_i}$}