diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index 32cd032..fcb8d3a 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -13,7 +13,7 @@ \langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma} - Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists 0_E \in E, \forall a \in E, 0_E \star a = a \star 0_E = a$. + Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$. \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} @@ -33,7 +33,11 @@ \langsubsection{Groupe}{Group} \begin{definition_sq} \label{definition:group} - Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_G$. + Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} tous les éléments sont inversibles i.e. $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = \Identity_G$. +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} \label{definition:order_group} + Le cardinal d'un groupe $(G, \star)$ est appelé \textbf{ordre du groupe}, dans le cas d'un cardinal fini, on parlera de \textbf{groupe fini}. \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} @@ -41,19 +45,37 @@ \end{theorem_sq} \begin{proof} - Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = 0_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star 0_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$. + Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = \Identity_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star \Identity_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$. \end{proof} \langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group} - Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}. + Un groupe est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}. \end{definition_sq} -\langsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated sub-group} +\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup} + +\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup} + Soit $(G, \star) \in \Grp$. Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un \textbf{sous-groupe} de $G$ si $H$ est également un groupe, dans ce cas on notera $H \leqslant G$. + + Les sous-groupes tels que $H = G$ ou $H = \{ \Identity_G \}$ sont appelées les \textbf{sous-groupes triviaux} de $G$. +\end{definition_sq} + +\langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup} \begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup} - Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $ := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$ + Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$ +\end{definition_sq} + +\begin{proof} + Soit un groupe $(G, \star)$ ainsi que $x \in G$. Comme $\generator{x} \subseteq G$, il suffit de vérifier l'élément neutre et l'inversibilité. Ce qui est immédiat avec la proposition suivante : $\forall y \in G, \forall p \in \Z, y^p \star y^{-p} = \Identity$. +\end{proof} + +\langsubsubsection{Produit direct de groupe}{Direct product of groups} + +\begin{definition_sq} \label{definition:direct_product_group} + Le \textbf{produit direct} ou \textbf{groupe produit} de deux groupes $(G, \star)$ et $(H, +)$ est l'ensemble $G \cartesianProduct H$ muni de l'opération $\function{\triangle}{(G \cartesianProduct H)^2}{G \cartesianProduct H} \hspace{1mm} \functiondef{(x_1, x_2) \cartesianProduct (y_1, y_2)}{(x_1 \star y_1, x_2 + y_2)}$ \end{definition_sq} \langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism} @@ -73,6 +95,34 @@ \end{tikzcd}\] \end{definition_sq} +\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:honomorphism}. + + $$f(\Identity_G) = \Identity_H$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$. + + $$\forall x \in G, \left[ f(x) = f(x + \Identity_G) = f(x) \star f(\Identity_G) \right] \land \left[ f(x) = f(\Identity_G + x) = f(\Identity_G) \star f(x) \right] \equivalence f(\Identity_G) = \Identity_H$$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:honomorphism}. + + $$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$. + + $$\forall x \in G, f(\Identity_G) = f(x + x^{-1}) = f(x) \star f(x^{-1})$$ + + Par définition d'un morphisme $\exists y \in H, y = f(x)$ et par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity} + + $$y \star f(x^{-1}) = \Identity_H \implies f(x^{-1}) = y^{-1} \implies f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$ +\end{proof} + \begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab} Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}. @@ -119,14 +169,57 @@ $(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab}) \end{proof} +\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \mid \phi(g) = \Identity_G \}$. +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ le noyau d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$ est un sous-groupe de $X$ et $\phi$ est injectif si et seulement si $\ker(\phi) = \{ \Identity_X \}$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. + + \begin{itemize} + \item{$\Identity_G \in \ker(\phi)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}} + \item{$\forall (x, y) \in (\ker(\phi))^2, \phi(x \star y) = \phi(x) + \phi(y) = \Identity_H + \Identity_H = \Identity_H \implies x \star y \in \ker(\phi)$} + \item{(Version longue) $\forall x \in \ker(\phi), \phi(x \star x^{-1}) = \phi(x) + \phi(x^{-1}) = \Identity_H + \phi(x^{-1}) = \phi(x^{-1}) = \Identity \implies x^{-1} \in \ker(\phi)$} + \item{$\forall x \in \ker(\phi), \phi(x^{-1}) = \phi^{-1}(x) \equivalence \Identity_H^{-1} = \Identity_H$ (par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} et \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}) $\implies x^{-1} \in \ker(\phi)$} + \end{itemize} + + $\implies \ker(\phi) \subgroup G$ + + Soit $(x, y) \in G$ + + $$\phi(x) = \phi(y) \implies \phi(x \star y^{-1}) = \phi(x) + \phi(y^{-1}) = \phi(x) + \phi^{-1}(y)$$ + + Par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} + + $$\phi(x) + \phi^{-1}(y) = \phi(x) + \phi(x) = \Identity_H \implies x \star y^{-1} = \Identity_G \in \ker(\phi) \implies x = y$$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. Alors l'image $f(X) \subseteq Y$ est un sous-groupe de $Y$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. + + \begin{itemize} + \item{$\Identity_H \in \phi(X)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}} + \item{$\forall (a', b') \in \phi(X)^2, \exists (a, b) \in X^2, a' = \phi(a) \land b' = \phi(b) \implies \phi(a) + \phi(b) = \phi(a \star b) \in \phi(X)$} + \item{$\forall a \in \phi(X), \exists b \in X, a = \phi(b) \implies a^{-1} = \phi(b)^{-1} = \phi(b^{-1})$ par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} $\implies a^{-1} \in \phi(X)$} + \end{itemize} +\end{proof} + \langsubsection{Corps}{Field} \begin{definition_sq} \label{definition:field} Un corps $(F, +, \star)$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\star)$. \begin{itemize} - \item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$} - \item{$(F\backslash\{0_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}} + \item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $\Identity_E$} + \item{$(F\backslash\{\Identity_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}} \end{itemize} \end{definition_sq} @@ -135,6 +228,7 @@ \begin{definition_sq} \label{definition:commutative_field} Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}. \end{definition_sq} + \langsubsection{Anneau}{Ring} Source : \citeannexes{wikipedia_ring} @@ -189,14 +283,15 @@ $Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2 - det(A)}$ \langsubsection{Déterminant}{Determinant} %%TODO Complete subsection -$\function{D}{\mathcal{M}_{m, n}(\R)}{R}$ +$\function{\det}{\mathcal{M}_{m, n}(\K)}{\R}$ \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} %%TODO Complete subsubsection -$\forall M \in \mathcal{M}_{m, n}$ +$\forall (A, B) \in \mathcal{M}_{m, n}(\K)^2$ \begin{itemize} - \item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$} + \item{$\forall \lambda \in \K, \det(\lambda A) = \lambda \det(A)$} + \item{$\det(AB) = \det(A) \det(B)$} \end{itemize} \langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case} @@ -207,13 +302,173 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$ \langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case} %TODO Complete subsubsection +\pagebreak + \subsection{Inverse} +\begin{theorem_sq} + Le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Par définition la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est un magma. + %TODO Complete proof part of associativity + La matrice $\Identity_n$ est l'élément neutre. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + $\lnot(\forall (A, B, M) \in M_n(\K)^3, (M \ne 0 \land MA = MB) \equivalence A = B)$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(A, B, M) \in M_2(\K)^3$ tel que + + $M := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ \hspace{3mm} $A := \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ \hspace{3mm} $B := \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ + + $MA = MB = \begin{pmatrix} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$ alors que $M \ne 0 \land A \ne B$ +\end{proof} + +% \begin{theorem_sq} +% $\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$ +% \end{theorem_sq} + +% \begin{proof} +% Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que +% +% $A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ +% +% $AB = 0$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$ +% \end{proof} + \begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix} - Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$. + Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement s'il existe une matrice dite \textbf{inverse} $B \in M_n(\K)$ tel que $AB = \Identity_n = BA$. + + Nous pourrons noter cette inverse $A^{-1}$. \end{definition_sq} -$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ +- La matrice identité est son propre inverse : $\Identity_n \cartesianProduct \Identity_n = \Identity_n$ + +- Les matrices de transvection $T_{i, j}(a)$ sont inversibles : $(T_{i, j}(a))^{-1} = T_{i, j}(-a)$ + +- Les matrices de dilatation $D_i(a)$ sont inversibles : $(D_i(a))^{-1} = D_i(a^{-1})$ + +- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{i, j}$ + +\begin{definition_sq} \label{definition:linear_group} + L'ensemble des matrices inversibles est appelé \textbf{groupe linéaire} et est noté $GL_n(\K)$. + + Également, le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}. +\end{definition_sq} + +Par la théorie des groupes : + +\begin{itemize} + \item{L'inverse est unique : $AB = AC = \Identity_n \implies B = C = A^{-1}$} + \item{L'inverse d'un inverse est l'identité : $(A^{-1})^{-1} = A$} + \item{Le produit de deux matrices inversibles est inversible : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$} +\end{itemize} + +La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée : $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ + +$(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ + +\begin{theorem_sq} + $\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \forall M \in GL_n(\K), (MA = MB) \equivalence A = B$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(A, B) \in M_n(\K)^2, M \in GL_n(\K)$ tel que $MA = MB$ + + $\exists M^{-1} \in GL_n(\K), M^{-1}M = \Identity_n \implies M^{-1}(MA) = M^{-1}(MB) \equivalence (M^{-1}M)A = (M^{-1}M)B \equivalence A = B$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + L'ensemble des matrices de transvection et de dilatation engendre le groupe $GL_n(\K)$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $A \in GL_n(\K)$. + On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss, nous allons transformer A en une matrice de dilatation, mais en utilisant uniquement des transvections. + Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle. + S'il existe $i > 1$ tel que $a_{i1} \ne 0$, alors l'opération $L_1 \leftarrow L_1 - \frac{a_{11}}{a_{i1}}L_i$ permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$. + Sinon, nécessairement $a_{11} \ne 0$ et on fait $L_1 \leftarrow L_2$ et $L_2 \leftarrow -L_1$ pour se ramener au cas précédent. + Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les + colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe + des matrices de transvection $M1, \dots , Mp$ et $N1, \dots , Nq$ telles que + + $$\left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i\right) A \left(\prod\limits_{i = 1}^q N_i\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$$ + + où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$. + + On itère ce procédé sur $A_1$ et ainsi de suite jusqu'à $\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ & & & \alpha \end{pmatrix}$ + + où $\alpha = \prod_{v \in sp(A)} v$. + + Ainsi, il existe des matrices de transvection $U_1, \dots, U_r$ et $V_1, \dots, V_r$ telles que $A = U_r \dots U_1 D_n(\alpha) V_1 \dots V_s$ + + Ainsi, tout matrice de $GL_n(\K)$ s'écrit comme produit de matrices de transvection et de dilatation. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible si et seulement si son rang est égal à son ordre (c'est-à-dire $\rank{A} = n$) +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $A \in M_n(\K)$ + + \impliespart + + Supposons que la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = \Identity_n$. + + % TODO Fix proof... + Alors, $\rank{A} = n$. + + En effet, si $\rank{A} = n$, ainsi, il existe une matrice colonne de taille $n$ qui est un multiple scalaire des colonnes de $A$, ce qui signifie que les vecteurs colonnes de $A$ sont linéairement indépendants. + + \Limpliespart + + Supposons que $\rank{A} = n$. + Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$ + alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$. + Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$. + + On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$. + + Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse. + + +% TODO Fix garbage AI proof... +Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille), +alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires. + +Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$. + +Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires. + +Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$. +Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes), +la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$. +Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang. + +Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$ + +Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro). +On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires : +\[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \] +Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$. +Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires. + +\end{proof} + +\pagebreak + +\begin{theorem_sq} + Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + % TODO Complete proof +\end{proof} \langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization} %TODO Complete subsection @@ -309,14 +564,14 @@ $a \in Tr_n$ Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$ \begin{itemize} - \item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$} + \item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$} \end{itemize} \bigskip Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$ \begin{itemize} - \item{Unital en $*$} + \item{Unital en $(\cdot)$} \item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$} \item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$} \end{itemize} @@ -349,7 +604,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = \begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank} Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$. - $\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = rg(\phi)$ + $\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = \rank{\phi}$ \end{theorem_sq} \langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space} @@ -359,7 +614,7 @@ Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous \begin{itemize} \item{$F \ne \emptyset$} - \item{$0_E \in F$} + \item{$\Identity_E \in F$} \item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(x, y)\in F^2, \alpha x + \beta y \in F$} \end{itemize}