From 4be8cf3538a9da33a931b4bd336ca53ee3ab81a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Tue, 3 Dec 2024 18:24:32 +0100 Subject: [PATCH] Added algebra_dm{1,2}, combinatorics, fourier, suites and topology_dm1 --- contents/algebra_dm1.tex | 113 +++++++++++++ contents/algebra_dm2.tex | 70 ++++++++ contents/combinatorics.tex | 20 +++ contents/fourier.tex | 49 ++++++ contents/suites.tex | 335 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ contents/topology_dm1.tex | 182 ++++++++++++++++++++ main.tex | 15 +- packages/macros.sty | 8 + 8 files changed, 789 insertions(+), 3 deletions(-) create mode 100644 contents/algebra_dm1.tex create mode 100644 contents/algebra_dm2.tex create mode 100644 contents/combinatorics.tex create mode 100644 contents/fourier.tex create mode 100644 contents/suites.tex create mode 100644 contents/topology_dm1.tex diff --git a/contents/algebra_dm1.tex b/contents/algebra_dm1.tex new file mode 100644 index 0000000..21f71ef --- /dev/null +++ b/contents/algebra_dm1.tex @@ -0,0 +1,113 @@ +\pagebreak +\columnratio{0.5} + +\begin{paracol}{2} +Pierre Saunders + +\switchcolumn +\begin{flushright} +L3 Math 2024-25 + +Université Côte d'Azûr +\end{flushright} +\end{paracol} + +\begin{center} +\section*{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire} +\end{center} + +\bigskip + +\subsubsection*{Exercice 1} + +Soit $(E,\innerproduct{.}{.})$ un espace euclidien. On définit + +$$\function{i}{E \setminus \{0\}}{E \setminus \{0\}}$$ +$$\functiondef{x}{\frac{x}{\norm{x}^2}}$$ + +qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1. + +\begin{enumerate} + \item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$} + + \begin{proof}\par + Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve. + + $$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$ + \end{proof} + + \item{Montrer $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ On dit que $i$ est une application \textit{conforme}.} + + \begin{proof}\par + Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$ + $$\frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{y}{\norm{y}^2}}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}\norm{\frac{y}{\norm{y}^2}}} = \frac{\frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}}{\frac{\norm{x}\norm{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ + \end{proof} + + \item{Démontrer que $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \norm{i(x) - i(y)} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$} + + \begin{proof}\par + Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$ + $$\norm{i(x) - i(y)} = \norm{\frac{x}{\norm{x}^2} - \frac{y}{\norm{y}^2}} = \norm{\frac{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\norm{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$ + $$= \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{y}^2 x} - 2 \innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{x}^2 y} - \innerproduct{\norm{x}^2 y}{\norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\norm{y}^4 \norm{x}^2 - 2\norm{y}^2 \norm{x}^2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^4\norm{y}^2}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$ + $$= \frac{\sqrt{\norm{y}^2 \norm{x}^2 (\norm{y}^2 - 2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^2)}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x}\norm{y}\sqrt{\innerproduct{x - y}{x - y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ + \end{proof} + + \item{En déduire que pour tous $x,y,z \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$} + + \begin{proof}\par + Posons $a,b \in E \setminus \{0\}$ tel que $a := i(y) - i(x)$ et $b := i(x) - i(z)$, puis utilisons l'inégalité triangulaire $\norm{a + b} \le \norm{a} + \norm{b}$ et développons. + $$\norm{(i(y) - i(x)) + (i(x) - i(z))} = \norm{i(y) - i(z)} \le \norm{i(x) - i(z)} + \norm{i(x) - i(y)}$$ + Par le résultat de (3). + $$\frac{\norm{y - z}}{\norm{y}\norm{z}} \le \frac{\norm{x - z}}{\norm{x}\norm{z}} + \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ + En multipliant par $\norm{x}\norm{y}\norm{z}$ + $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$ + \end{proof} + + \item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.} + + \bigskip + Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme : + \begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry} + $\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$ + \begin{proof}\par + Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $e,f \in E$. + + Comme $\exists (-1_K) \in \K(+, \cartesianProduct) \suchas (-1_K) \cartesianProduct (-1_K) = 1_K$. + + $$\norm{e - f} = \norm{-1_\K(f - e)} = \abs{-1_\K}\norm{f - e} = \norm{f - e}$$ + \end{proof} + \end{lemme_sq} + + \begin{proof}\par + Soit $a,b,c,d \in E$. + + Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$. + + Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$. + + Ainsi, par le résultat (4). + + $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$ + + Par le lemme (\ref{norm_diff_symetry}). + + $$\norm{x}\norm{z - y} \le \norm{y}\norm{z - x} + \norm{z}\norm{y - x}$$ + + En développant $x$, $y$ et $z$ on obtient + + $$\norm{a - c}\norm{(a - d) - (a - b)} \le \norm{a - b}\norm{(a - d) - (a - c)} + \norm{a - d}\norm{(a - b) - (a - c)}$$ + + $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ + \end{proof} + + Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$. + + \item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$} + % TODO Complete 6. + + Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$. + + \item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$} + % TODO Complete 7. +\end{enumerate} + diff --git a/contents/algebra_dm2.tex b/contents/algebra_dm2.tex new file mode 100644 index 0000000..6d5a728 --- /dev/null +++ b/contents/algebra_dm2.tex @@ -0,0 +1,70 @@ +\pagebreak +\columnratio{0.5} + +\begin{paracol}{2} +Pierre Saunders + +\switchcolumn +\begin{flushright} +L3 Math 2024-25 + +Université Côte d'Azûr +\end{flushright} +\end{paracol} + +\begin{center} +\section*{Devoir Maison 2 : Algèbre multilinéaire} +\subsection*{Thème : Dualité linéaire, Bases duales et antéduales} +\end{center} + +\bigskip + +\subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \L(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$, + +$$\Delta(P)(X) = P(X) - P(X - 1)$$ + +On introduit la famille de polynômes ($P_0, \cdots, P_n$) définie par + +$$P_0 = 1 \text{ et } \forall k \in \discreteInterval{0, n - 1}, P_{k + 1}(X) = \frac{1}{(k + 1)!} \prod\limits^k_{i = 0}(X + i) = \frac{X(X + 1) \cdots (X + k)}{(k + 1)!}$$ + +On note enfin $\phi_0 \in E^*$ la forme linéaire $\phi_0(P) = P(0)$ et pour tout $k \in \discreteInterval{1,n}, \phi_k(P) = {}^t(\Delta)^k(\phi_0)$. + +\begin{enumerate} + \item{Montrer que pour tout $k \in \discreteInterval{1, n}, \Delta(P_k) = P_{k - 1}$. + \begin{proof} + $$\Delta(P_k) = P_k(X) - P_k(X - 1) = \frac{1}{(k + 1)!}\left[\prod\limits^k_{i = 0}(X + i) - \prod\limits^k_{i = 0}((X - 1) - i)\right] $$ + $$= \frac{1}{(k + 1)!}\left[(X + k) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i) - (X - 1) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]$$ + $$= \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]\left[(X + k) - (X + i)\right] = \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right](k + i) = P_{k - 1}$$ + \end{proof} + } + + \item{En déduire que ($P_0, \cdots, P_n$) est une base $E$, dont ($\phi_0, \cdots, \phi_n$) est la base duale. + \begin{proof} + + \end{proof} + } + + \item{Si $P \in \R_n[X]$, exprimer les coordonnées dans la base ($P_0, \cdots, P_n$) d'un polynôme $Q \in \R_{n + 1}[X]$ tel que $\Delta(Q) = P$. + } + + \item{Justifier que deux polynômes $Q_1, Q_2 \in \R_n[X]$ tels que $\Delta(Q_1) = \Delta(Q_2)$ différent d'une constante. + } + + \bigskip + {\setlength\parindent{-25pt}\par\textit{Application :}} + \bigskip + + \item{Justifier que si $\Delta(Q) = P$, alors $P(1) + \cdots + P(n) = Q(n) - Q(0)$. + } + + \item{On suppose $n \ge 3$. Exprimer les coordonnées des polynômes $X, X^2$ et $X^3$ dans la base ($P_0, \cdots, P_n$). + } + + \item{En déduire des expressions simples en fonction de $n$ des sommes suivantes + \begin{enumerate} + \item{$\sum\limits^n_{k = 1} k = 1 + 2 + \cdots + n$} + \item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^2 = 1 + 2^2 + \cdots + n^2$} + \item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^3 = 1 + 2^3 + \cdots + n^3$} + \end{enumerate} + } +\end{enumerate} diff --git a/contents/combinatorics.tex b/contents/combinatorics.tex new file mode 100644 index 0000000..fc07a2e --- /dev/null +++ b/contents/combinatorics.tex @@ -0,0 +1,20 @@ +\langchapter{Combinatoire}{Combinatorics} +%TODO Complete chapter + +\langsection{Formules}{Formulas} + +$\prod\limits_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n = n!$ + +$\prod\limits_{k=1}^{n} 2k = 2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n = 2^n n!$ + +$\prod\limits_{k=1}^{n} (2k - 1) = 1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n + 1) = \frac{(2n + 1)!}{2^n n!}$ + +$\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ + +$\binom{n}{k}=\left\{\begin{aligned} &\frac{n!}{k!(n - k)!} & & \text{si } k \in \discreteInterval{0,n} \\ &0 & &\text{sinon} \end{aligned}\right.$ + +$\forall n \in \N,\forall k \in \Z, \binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$ + +Formule de Pascal + +$\forall n \in \N, \forall k \in \Z, \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k}$ diff --git a/contents/fourier.tex b/contents/fourier.tex new file mode 100644 index 0000000..8136eba --- /dev/null +++ b/contents/fourier.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +\langchapter{Séries de Fourier}{Fourier Series} + +\section{Les fonctions $2\pi$-périodiques et leurs coefficients de Fourier} + +\subsection{Espaces de fonctions $2\pi$-périodiques} + +$$\function{f}{\R}{\C}$$ +$$\functiondef{t}{\sum\limits_{n \in \K} c_n(f)e^{int}}$$ + +avec + +$$c_n(f) = \frac{1}{T} \int\limits_0^{T} f(t)e^{\frac{-int2\pi}{T}}dt$$ + +\section*{Révisions} + +\subsection*{TD3} + +- On considère la fonction $\function{f}{\R}{\C}$, $2\pi$-périodique, telle que $f(x) = \abs{x}$ si $x \in [-\pi, \pi[$, cette fonction est $C^1$ par morceaux, continue et continue par morceaux. Son coefficient de Fourier vaut $c_2 = \int\limits_{-\pi}^\pi \abs{x}e^{-2ix}dx$ + +- Lorsqu'une fonction $2\pi$-périodiques $f$ est à valeurs réels alors ses sommes de fourier $S_N(f)$ sont des fonctions à valeurs réelles, et ses coefficients de Fourier $a_n$ et $b_n$ sont tous des nombres réels. + +- Soit $f$ une fonction $C^2$, $2\pi$-périodique. Si je connais les coefficients de Fourier de $f$ je peux retrouver facilement ceux de $f'$ ainsi que ceux de $f''$, également on a $c_n(f) = O_{\abs{n} \to +\infty}(c_n(f'))$ + +\subsection*{TD4} + +- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. La suite $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n(f) = 0$, la suite $c_n(f)$ est bornée, la somme $\sum\limits_{n \in \Z} \abs{c_n(f)}^2$ est convergente. + +- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. Si $S_N(f)$ converge simplement, alors sa limite simple est la fonction $f$. $\forall x \in \R$ la suite $((S_N(f))(x))$ converge au sens de Cesàro. + +- Soit $f$ une fonction $C^1$ par morceaux et $2\pi$ périodique. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent vers $f(x)$ pour tout $x$, sauf ceux où $f$ est discontinue. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent pour tout $x \in \R$. + +- $S_N(f) = D_N \star f$. Le noyau de Fejér est une fonction paire. + +\subsection*{TD4} + +- Soit $f$ une fonction continue et 1-périodique. $(S_N(f))(x) = \sum\limits_{n = -N}^N (\int\limits_0^1 f(t)e^{-2i\pi nt}dt)e^{2i\pi nx}$ + +- Soit $u = u(t,x)$ une fonction $C^2$ sur $[0, +\infty[\times\R$, on suppose que $u$ est la solution de l'équation aux dérivées partielles $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=\sin(x) \implies u(t,x) = \sin(x)e^{-t}$ + +- Soit $u_0 \in C^\infty([0, \pi])$ telle que $u_0(0) = u_0(\pi) = 0$, et soit $u = u(t,x)$ la solution de l'équation $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=u_0 \land u(t,0) = u(t,\pi) = 0$. La quantité $u(t,x)$ représente la température à l'instant $t$ et à la position $x$ d'une barre de métal de longueur $\pi$, maintenue à la température nulle à ses extrémités, et dont la distribution initiale de température est $u_0$. $\forall x \in [0, \pi]$, on a $\lim\limits_{t \to +\infty} u(t,x) = 0$ + +- Soit $f$ une fonction $C^1$ et 2-périodique. $c_n(f') = in\pi c_n(f)$ + +\subsection*{TD6} + +- $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n!\times\sqrt{n}}{\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\cdots\times(n + \frac{1}{2})} = \Gamma(\frac{1}{2})$ + +- Pour calculer $\zeta(2)$ on peut utiliser les séries de Fourier, en particulier la formule de Parseval pour une fonction $2\pi$-périodique bien choisie, pour calculer $\zeta(n)$ lorsque $n \mod 2 = 0$ + diff --git a/contents/suites.tex b/contents/suites.tex new file mode 100644 index 0000000..ae9aa81 --- /dev/null +++ b/contents/suites.tex @@ -0,0 +1,335 @@ +\langchapter{Suites}{Sequence} + +\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est noté \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être défini de plusieurs manières :}% +{A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :} + +\begin{itemize} + \item{\lang{Par énumeration}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$} + \item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$} + \item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$} +\end{itemize} + +\begin{definition_sq} + \lang{Une suite dite \textbf{arithmétique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la raison de la suite.}% + {An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.} +\end{definition_sq} + +Remarque: Une suite arithmétique est le phénoméne discret d'une progression linéaire. + +\begin{definition_sq} + \lang{Une suite dite \textbf{géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \times q$ avec $q \in E(\times)$ appelé la raison de la suite.}% + {A geometric sequence is defined by $$ } +\end{definition_sq} + +Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression exponentielle. + +\begin{definition_sq} + \lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \times u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\times) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}% + {A geometric sequence is defined by $$ } +\end{definition_sq} + +\langsection{Limite de suite}{Limit of sequences} + +\begin{definition_sq} \label{definition:cauchy_sequence} + Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{suite de Cauchy} si + $$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$ +\end{definition_sq} + +\lang{Lorsque l'on tends $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.} + +\begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence} + Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si + $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$ + $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$ + Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$. +\end{definition_sq} + +Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition. + +\begin{proof} + Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$. + \suite{u} est une suite de Cauchy mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$ +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite à au moins un point d'adhérence + + Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$. + + Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$. + + Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$ + mais comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence. + + Il ne peux donc pas y avoir deux points différents adhérence dans une suite de Cauchy. +\end{proof} + +\begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence} + Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si + $$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$ + Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. +\end{definition_sq} + +Remarque: une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$. + +\begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence} + Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si + $$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$ +\end{definition_sq} + +Remarque: une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$. + +\begin{definition_sq} + Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\times)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \times u_{n + 1}$. +\end{definition_sq} + +\langsubsection{Critére de convergence}{Convergence criteria} + +Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$ + +Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} < 1$ (strictement décroissante) et $\forall n \in \N, u_n > 0$ alors $u_n$ converge vers 0. + +Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1$ (strictement croissante) et $\forall n \in \N, u_n < 0$ alors $u_n$ converge vers 0. + +Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est trivialement convergente en $u_{n_0}$. + +\langsection{Séries}{Series} + +Une série est la somme infini d'une suite donné \suite{u} et est noté $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$ + +Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commencant à un rang $N \in \N$ peut être représenter par la forme suivante : + +$\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$ + +\begin{proof} +Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commencant à un rang $N \in \N$ +$$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$ +Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$ +$$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$ +$$\implies l = \frac{ar^N}{1 - r}$$ +\end{proof} + +Corollaire : Pour $N = 0$ et $u_0 = 1$ qui la forme la plus commune $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ + +\langsubsection{Représentation en séries}{Power series expansion} + +Soit $x \in ]-1, 1], \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{x^n}{n}$ + +\begin{proof} + Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-r)^n = \frac{1}{1 + r}$ + $$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-x)^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 + x} dx$$ + Par le théorème de convergence monotone + $$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r (-x)^n dx = \ln(1 + r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = \ln(1 + r)$$ + Soit $n := n - 1$ + $$\implies \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{r^n}{n} = \ln(1 + r)$$ +\end{proof} + +$\ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$ + +\begin{proof} + Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ + $$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} x^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 - x} dx$$ + Par le théorème de convergence monotone + $$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r x^n dx = -\ln(1 - r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = -\ln(1 - r)$$ + Soit $n := n - 1$ + $$\implies -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{r^n}{n} = \ln(1 - r)$$ +\end{proof} + +\langsubsection{Règle de d'Alembert}{Alembert's criteria} + +Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert} + +\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert} + +Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors : + +\begin{itemize} + \item{si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.} + \item{si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.} + \item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} +\end{itemize} + +\end{theorem_sq} + +\langsubsection{Règle de Cauchy}{Chauchy's criteria} + +Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy} + +\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_cauchy} + +Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors : + +\begin{itemize} + \item{si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).} + \item{si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.} + \item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} +\end{itemize} + +\end{theorem_sq} + +\langsubsection{Lemme de Cesàro}{Cesàro's lemma} + +\begin{theorem_sq} \label{lemme:cesaro} + Soit \suite{a} une suite de nombres complexes convergeant vers une limite $l$. Alors la suite \suite{u} défini comme $u_n := \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k$ converge vers $l$. +\end{theorem_sq} + +Lorsqu'une suite est convergente, elle est convergente au sens de Cesàro. + +Il existe des exemples de suites qui ne sont ni convergentes, ni convergentes au sens de Cesàro. + +\langsubsection{Transformation et critère d'Abel}{Abel's transformation and criteria} + +\langsubsection{Critère d'Abel}{Abel's criteria} + +Source : \citeannexes{bibmaths_transformation_critere_abel} + +\begin{theorem_sq} \label{critere:abel} + +Soit \suite{a} et \suite{b} deux suites de nombres complexes vérifiant les propriétés suivantes : + +\begin{itemize} + \item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.} + \item{$\exists! l \in \C, \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} \abs{b_k - b_{k + 1}} \converges l$.} + \item{$(b_n) \converges 0$.} +\end{itemize} + +$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente. + +\end{theorem_sq} + +\langsubsection{Théoreme d'Abel}{Abel's theorem} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:abel} + +Soit $\function{f}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^1$, et $\function{g}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^0$ sur $[a, b[$ vérifiant + +\begin{itemize} + \item{$f$ est décroissante.} + \item{$\lim\limits_{x \to b}f(x) = 0$.} + \item{$\exists M > 0$ tel que, $\forall x \in [a, b[, \abs{\int\limits_a^x g(t)dt} \ge M$.} +\end{itemize} + +Alors $\int\limits_a^b f(t)g(t)dt$ converge. + +\end{theorem_sq} + +\langsubsection{Critère de Dirichlet}{Dirichlet's criteria} + +Source : \citeannexes{bibmaths_critere_dirichlet} + +\begin{theorem_sq} \label{critere:dirichlet} + +Soit \suite{a} une suite de nombres complexes et \suite{b} une suite de nombres réels vérifiant les propriétés suivantes : + +\begin{itemize} + \item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.} + \item{$(b_n)$ est monotone.} + \item{$(b_n) \converges 0$.} +\end{itemize} + +$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente. + +\end{theorem_sq} + +\langsubsection{Séries alternées}{Alternating Series} + +\begin{definition_sq} + Une série de terme général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$. +\end{definition_sq} + +Source : \citeannexes{maths_adultes_series_numerique_1} + +\begin{theorem_sq} \label{critere:series_alternees} + +Soit \suite{a} $\in \R$ une suite monotone, et tendant vers $0 \implies \sum\limits_{n \in \N} (-1)^n a_n$ converge. + +De plus, $S_n := \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k a_k$, la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n := \sum\limits_{k = n + 1}^{+\infty} (-1)^k a_k$, le reste d'ordre $n$. + +$\implies \forall n \in \N, S_{2n + 1} \le S \le S_{2n}, \abs{R_n} \le a_{n + 1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n + 1}$. + +\end{theorem_sq} + +Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est converge $\equivalence$ si $\alpha > 0$ + +\section{Zeta} + +\begin{definition_sq} \label{definition:zeta_function} +The Riemman's Zeta function is defined as follows + +$$\function{\zeta}{\R}{\R_+}$$ +$$\functiondef{s}{\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}}$$ + +\end{definition_sq} + +The Zeta function as several notable identities. + +With the Gamma function $\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^{s - 1}}{e^x - 1}dx$ + +\begin{proof} + Let $s \in \R$, and knowing that + $$\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} x^{s - 1}e^{-x} dx$$ + Let do a changement of variable such that $n \in \N^*, x = nt \implies dx = n dt$ + $$\implies \Gamma(s) = \int\limits_{u = 0}^{u = \infty} nt^{s - 1} e^{-nt} ndt = \int\limits_{0}^{\infty} n^{s}t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$ + $$\implies \forall n \in \N^*, \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$ + $$\implies \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \Gamma(s) \zeta(s)$$ + Par le théoréme de convergence monotone + $$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n} dt$$ + Pour un $t$ donné, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n}$ est une série géométrique + $$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t} e^{t}}{(1 - e^{-t})e^{t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{1}{e^{t} - 1} dt$$ + $$\implies \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{t^{s - 1}}{e^{t} - 1} dt$$ +\end{proof} + +With prime numbers, $\Pn$ is the set of prime numbers +$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$ + +We can also write this equality as a double sum +$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$ + +\begin{proof} +Let $s \in \R \suchas s > 1$ and using the Euler product $\zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$ +$$\implies \ln \composes \zeta(s) = \ln \left(\prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \sum\limits_{p \in \Pn} -\ln(1 - p^{-s})$$ +Using the following power series $x \in \R \land -1 \le x < 1, \ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$ +$$\ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{p^{-sm}}{m} = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$ +\end{proof} + +\section*{Révisions} + +%TODO Remainders to change location + +La somme converge $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a$ quand $a < -1$ (critère de Riemann). + +$x \in \R \backslash \pi \backslash \Z, \sum\limits_{k=1}^N e^{2ikx} = \frac{e^{2i(N+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} - 1$ + +Soit $a < b \in \R$ et soit $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'integrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge des que + +\begin{itemize} + \item{$f$ se prolonge en une fonction continue en $a$} + \item{$\lim\limits_{t \to a} (t - a)^{\frac{1}{2}} f(t) = 0$} + \item{$\int\limits_a^b \abs{f(t)}dt < +\infty$} +\end{itemize} + +Une série est soit convergente ou divergente. + +Les séries suivantes convergent simplement sur $[0, 1]$ : + +\begin{itemize} + \item{$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$} + \item{$f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}$} + \item{$f_n(x) = x^n$} +\end{itemize} + +La série de fonction $f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$ est une série uniformément convergente sur $[0, 1]$. + +$\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge simplement, uniformément et normalement sur $\R$ + +Pour montrer qu'une série de fonctions $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} f_n(x)$ est dérivable sur un intervalle $I$, on doit impérativement montrer que + +\begin{itemize} + \item{chacune des fonctions $f_n$ est dériable sur $I$} + \item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tout compact de $I$} + \item{la série $\sum\limits_{n \ge 1} f_n(x)$ converge pour au moins un $x \in I$} +\end{itemize} diff --git a/contents/topology_dm1.tex b/contents/topology_dm1.tex new file mode 100644 index 0000000..550c459 --- /dev/null +++ b/contents/topology_dm1.tex @@ -0,0 +1,182 @@ +\pagebreak +\columnratio{0.5} + +\begin{paracol}{2} +Pierre Saunders + +\switchcolumn +\begin{flushright} +L3 Math 2022-23 + +Université Côte d'Azûr +\end{flushright} +\end{paracol} + +\begin{center} +\section*{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés} +\end{center} + +\bigskip + + +\subsubsection{Exercice 1} +Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$. + +\subsubsubsection{1.a} +Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$. +\\ + +Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$ + +$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ +\\ + +Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que + +$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$ +\\ + +Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$ + +$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$ + +$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$ + +$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ + +$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$. + +Par unicité de la limite nous pouvons conclure. + +\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1} +Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$. +\end{theorem_sq} + +\subsubsubsection{1.b} +Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné. +\\ + +Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$. + +$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \closure{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$. + +$\equivalence (x_n)$ est fermée. + +\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2} +Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée. +\end{theorem_sq} + +\subsubsection{Exercice 2} +Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble. + +Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$. + +\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1] +Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$. +\end{definition_sq} + +\begin{lemme_sq} +$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation. +\end{lemme_sq} + +$K$ est compact +\\ + +Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$ + +$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$ + +$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$ + +$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$ + +$\implies K$ possède un point d'accumulation + +\begin{lemme_sq} +$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact. +\end{lemme_sq} + +Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$ + +\paragraph{Si $X$ est fini} + +$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur. + +$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$ + +$\implies K$ possède un point d'accumulation + +\paragraph{Si $X$ est infini} + +$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$ + +En fixant $l \in X$, + +$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$ + +$\implies K$ possède un point d'accumulation + +\begin{theorem_sq} +$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact. +\end{theorem_sq} + +\subsubsection{Exercice 3} +Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum. + +Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$ + +Selon le \textbf{Théorème \ref{topology_dm1:theorem_1}} et \textbf{\ref{topology_dm1:theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée + +$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$ + +$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants. + +\begin{theorem_sq} +Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum. +\end{theorem_sq} + +\subsubsection{Exercice 4} +Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si + +$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$ + +Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}). +\\ + +\begin{lemme_sq} +Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente. +\end{lemme_sq} + +\begin{proof} + +En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas. + +$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \B(l, \epsilon)$ + +$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$ + +$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy. + +\end{proof} + +\begin{lemme_sq} +Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy. +\end{lemme_sq} + +\begin{proof} + +Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$ + +$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$ + +$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ + +$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$ + +$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy. + +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} +Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente. +\end{theorem_sq} diff --git a/main.tex b/main.tex index d40aeb0..29739ff 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -5,18 +5,19 @@ %\usepackage{helvet} % Add the Helvet font \renewcommand{\familydefault}{\rmdefault} % Change default font to serif font family (default) %\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault} % Change default font to monospace font family - %\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family +%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family \usepackage[T1]{fontenc} % Set the font (output) encoding \usepackage[french]{packages/language_selector} % Allow to the language the document is written to ([french], english) %\usepackage[autolanguage]{numprint} % for the \nombre command \usepackage{hyphenat} % Hyphenation rules +\usepackage{tikz-cd} % Use for commutative diagram (Category Theory) \hyphenation{mate-mática recu-perar} \usepackage{setspace} % Sets the line spacing. \setstretch{1.0} \usepackage{multibib} % Allow multiple separates bibliography citations \langnewcites{annexes}{Annexes}{Annexes} \langnewcites{references}{Références}{References} -%\usepackage{lipsum} % Command to generate temporary dummy text +\usepackage{lipsum} % Command to generate temporary dummy text \usepackage[ruled,vlined,linesnumbered]{algorithm2e} % Add the algorithm environnement \usepackage[codedark]{packages/themes} % Include many colours themes ([default], codedark or dracula) \pagecolor{theme_colour_background} @@ -31,6 +32,8 @@ \usepackage{packages/macros} % Customs macros \usepackage{graphicx} \usepackage{makeidx}[intoc] % Make a word index +\usepackage{enumerate} % Allow (1) index for enumerate +\usepackage{paracol} % The paracol package lets you typeset columns of text in parallel \makeindex @@ -42,7 +45,7 @@ \maketitle -%\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} +%\renewcommand{\contentsname}{\lang{Sommaire}{Summary}} \tableofcontents \langchapter{Préambule}{Stuffings} @@ -66,12 +69,18 @@ De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tout lecteurs de ce n \input{contents/logic} \input{contents/set_theory} \input{contents/number_theory} +\input{contents/combinatorics} \input{contents/algebra} +\input{contents/algebra_dm1} +\input{contents/algebra_dm2} \input{contents/trigonometry} \input{contents/differentiability} \input{contents/differential_equations} \input{contents/measure_theory} +\input{contents/suites} +\input{contents/fourier} \input{contents/topology} +\input{contents/topology_dm1} \input{contents/category_theory} \input{contents/GaussianParadigm} \input{contents/music_theory} diff --git a/packages/macros.sty b/packages/macros.sty index 1390b63..8d9a609 100644 --- a/packages/macros.sty +++ b/packages/macros.sty @@ -2,7 +2,9 @@ \RequirePackage{amsfonts} % Include missing symbols s.a "Natural Numbers" +\usepackage{amssymb} % for '\blacksquare' macro \usepackage{amsthm} % for 'proof' environment +\usepackage{mathtools} % Snippet to add dots to TOC % Thanks to "user11232" at https://tex.stackexchange.com/questions/53898/how-to-get-lines-with-dots-in-the-table-of-contents-for-sections @@ -22,6 +24,7 @@ \newcommand{\Ot}{\mathbb{O}} % Octonions numbers symbol \newcommand{\Se}{\mathbb{S}} % Sedenions numbers symbol \newcommand{\Pn}{\mathbb{P}} % Sets of all the prime numbers +\newcommand{\B}{\mathbf{B}} % Topological Ball \newcommand{\false}{F} % New symbol for false value \newcommand{\true}{V} % New symbol for true value \DeclareMathOperator{\Rel}{\mathcal{R}} % New symbol for binary relations @@ -39,6 +42,8 @@ \newenvironment{definition_sq}{\begin{mdframed}\begin{definition}}{\end{definition}\end{mdframed}} \newenvironment{theorem_sq}{\begin{mdframed}\begin{theorem}}{\end{theorem}\end{mdframed}} \newenvironment{lemme_sq}{\begin{mdframed}\begin{lemme}}{\end{lemme}\end{mdframed}} +\newtheorem{prop}{Proposition} +\newenvironment{prop_sq}{\begin{mdframed}\begin{prop}}{\end{prop}\end{mdframed}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert} \newcommand{\Norm}[1]{\lVert #1\rVert} \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} % Power set @@ -48,6 +53,8 @@ \newcommand{\Limplies}{\Longleftarrow} \newcommand{\impliespart}{\fbox{$\implies$}} \newcommand{\Limpliespart}{\fbox{$\Limplies$}} +\newcommand{\subseteqpart}{\fbox{$\subseteq$}} +\newcommand{\Lsubseteqpart}{\fbox{$\supseteq$}} \DeclareMathOperator{\divides}{\mid} \DeclareMathOperator{\suchas}{\text{\lang{tel que}{such as}}} \renewcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3} @@ -60,6 +67,7 @@ \DeclareMathOperator{\cartesianProduct}{\times} \DeclareMathOperator{\CartesianProduct}{\bigtimes} \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]} +\newcommand{\closure}[1]{\overline{#1}} \renewcommand{\smallskip}{\vspace{3pt}} \renewcommand{\medskip}{\vspace{6pt}}