From 4cbadb17a4566c249e506356168b3515541d1d63 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Mon, 5 Aug 2024 00:48:54 +0200 Subject: [PATCH] Added union s.e.v proof and irrationality of sqrt --- contents/algebra.tex | 108 +++++++++++++++++++++++++++---------- contents/number_theory.tex | 37 +++++++++++++ 2 files changed, 117 insertions(+), 28 deletions(-) diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index e6bbcbb..a0f9625 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -4,22 +4,45 @@ \section{Structures} %TODO Complete section -\subsection{Monoïd} -%TODO Complete subsection +\subsection{Magma} \label{definition:magma} -\langsubsection{Corps}{Field} -%TODO Complete subsection +Soit une structure $S$ avec une loi de composition interne $(+)$ notée $(S,+)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a + b \in S$. -\langsubsection{Anneau}{Ring} +\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma} + +Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,+)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e + a = a$. + +\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid} + +Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,+)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}. + +\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group} + +Soit un monoid \ref{definition:monoid} $(G,+)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a + a^{-1} = 0_e$. + +\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group} + +Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}. + +\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field} + +Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\times)$ notée $(F,+,\times)$. + +\begin{itemize} + \item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$} + \item{$(F\backslash\{0_e\},\times)$ est un groupe \ref{definition:group}} +\end{itemize} + +\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring} %TODO Complete subsection \section{Matrices} %TODO Complete section -Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. +Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix} - Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$. + Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$. \end{definition_sq} \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix} @@ -29,7 +52,7 @@ Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un c \subsection{Trace} %TODO Complete subsection -$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=1}^na_{kk}$ +$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=0}^na_{kk}$ $tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$ @@ -58,12 +81,9 @@ $\function{D}{\mathcal{M}_{m\times n}(\R)}{R}$ \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} %%TODO Complete subsubsection - $\forall M \in \mathcal{M}_{m\times n}$ \begin{itemize} - \item{$M' = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \end{pmatrix}M$} - \item{$\forall \lambda \in K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$} - \item{} + \item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$} \end{itemize} \langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case} @@ -148,38 +168,70 @@ $A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$ $A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$ -\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} +\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space} %TODO Complete section -Soit $(E,+)$ un groupe abélien (i.e. commutatif) de $\mathbb{K}$ +Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$ \begin{itemize} - \item{muni d'une loi de composition interne notée $+$} - \item{muni d'une loi de composition externe $\mathbb{K}*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$} + \item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$} \end{itemize} \bigskip -Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \mathbb{K}, \forall(a,b,c) \in E$ +Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$ \begin{itemize} - \item{Commutativité $a + b = b + a$} - \item{Associativité $(a + b) + c = a + (b + c)$} - \item{Élement neutre de $+ \Leftrightarrow \exists 0_E \in E : a + 0_E = a$} - \item{Élement neutre de $* \Leftrightarrow \exists 1_K \in K : a \cdot 1_K = a$} - \item{Élement opposé $\forall a \in E, \exists b \in E : a + b = b + a = 0_E$} - \item{Stabilité par $+ \Leftrightarrow a + b \in E$} - \item{Distributivité $+$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$} - \item{Distributivité $*$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$} + \item{Unital en $*$} + \item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$} + \item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$} \end{itemize} -\langsubsection{sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} +\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space} %TODO Complete subsection -Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F \subset E$ +Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes : \begin{itemize} \item{$F \ne \emptyset$} \item{$0_E \in F$} - \item{$\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}, \forall(x,y)\in F, \alpha x+\beta y\in F$} + \item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$} \end{itemize} +\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces} + Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalance (F \subset G) \lor (G \subset F)$. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + +Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. + +\begin{centering} +$\implies$ +\end{centering} + +$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$. + +\begin{centering} +$\Leftarrow$ +\end{centering} + +$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$ + +Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$ + +$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$ + +B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$ + +$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$ + +$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$ + +By a similar argument $y \notin G \setminus F$ + +$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$ + +$\implies F \subset G \lor G \subset F$ + +\end{proof} + diff --git a/contents/number_theory.tex b/contents/number_theory.tex index 2eae9e0..08ed667 100644 --- a/contents/number_theory.tex +++ b/contents/number_theory.tex @@ -333,3 +333,40 @@ $\rightarrow\leftarrow$ $\implies |P| = \infty$ Il existe une infinité de nombre premiers. + +\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality} + +\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square} + +\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime} +$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}. +$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$ +\end{theorem_sq} + +The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}. + +\begin{proof} + +By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$ + +$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$ + +$\Rightarrow p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$ + +$\Rightarrow b^2p = a^2$ + +$\Rightarrow p|a$ + +Let $c \in \N^*$, $a = pc$ + +$\Rightarrow b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$ + +$\Rightarrow b^2 = pc^2$ + +$\Rightarrow p|b$ + +$\Rightarrow (p|b \land p|a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \Rightarrow \bot$ + +$\Rightarrow \sqrt{p} \notin \Q$ + +\end{proof}