From 4dedc60bd7a939f7d047f4814cd330e08a7d75eb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Sun, 9 Feb 2025 22:12:01 +0100 Subject: [PATCH] contents/suites.tex : Added elementary remarks --- contents/suites.tex | 43 +++++++++++++++++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 33 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/contents/suites.tex b/contents/suites.tex index 1e26bc7..93fa58f 100644 --- a/contents/suites.tex +++ b/contents/suites.tex @@ -16,12 +16,17 @@ \textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire. +Il est possible d'exprimer une suite arithmétique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison de la manière suivante : $r$, $u_n = u_p + (n - p)r$. + \begin{definition_sq} \lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}% + {A \textbf{geometric} sequence is defined by an initial value $u_p$ et a recurring relationship $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ with $q \in E(\cartesianProduct)$ called the \textbf{ratio} of the sequence. } \end{definition_sq} \textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle. +Il est possible d'exprimer une suite géométrique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison $r$ de la manière suivante : $u_n = u_p \cartesianProduct r^{n - p}$. + \begin{definition_sq} \lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}% {A geometric sequence is defined by $$ } @@ -29,6 +34,15 @@ \langsection{Limite de suite}{Limit of sequences} +Lorsque $E = \R$ ou $\C$, une suite géométrique \suite{u} de raison $q$ a plusieurs comportements asymptotiques possibles selon la raison : + +\begin{itemize} + \item{$\abs{q} < 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$} + \item{$q = 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 1$} + \item{$q > 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = +\infty$} + \item{$q \le 1$ alors la limite n'existe pas.} +\end{itemize} + \begin{definition_sq} \label{definition:cauchy_sequence} Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{suite de Cauchy} si $$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$ @@ -36,6 +50,22 @@ \lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.} +\begin{theorem_sq} + Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite a au moins un point d'adhérence + + Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$. + + Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$. + + Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$. + Hors comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence. + Il ne peut donc pas y avoir deux points d'adhérence différents dans une suite de Cauchy. +\end{proof} + \begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence} Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$ @@ -51,20 +81,13 @@ \end{proof} \begin{theorem_sq} - Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique. + Toute suite convergente est bornée. \end{theorem_sq} \begin{proof} - Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite à au moins un point d'adhérence + Soit \suite{X} une suite convergente en $l$. - Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$. - - Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$. - - Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$ - mais comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence. - - Il ne peux donc pas y avoir deux points différents adhérence dans une suite de Cauchy. + % TODO Complete proof \end{proof} \begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}