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\chapter{Sujet thèse : Le Paradigme Gaussien}
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%TODO Complete chapter
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%\section{A propos de moi}
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%J'ai conclu septembre dernier ma seconde année de master à la MIAGE \citeannexes{miage_website} spécialité IA2 \citeannexes{ia2_website} et je suis actuellement en recherche d'un poste de doctorant en intelligence artificielle sur les modèles génératifs (GAN \citereferences{generative_adversarial_nets}, auto-encodeur variationnel \citereferences{vae_paper}, etc.).
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%Malheureusement, il n'y que très peu sujets dans ce domaine en France, c'est pourquoi, je suis dans l'optique de proposer mon propre sujet.
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%Le sujet que je propose est mi-mathématiques théoriques (théorie de la mesure, théorie de l'information, etc.) et mi-informatique (modèles génératifs, processus gaussien, etc.) et vise à unifier les différents paradigmes de l'apprentissage profond (i.e. deep learning).
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\section{Abstract}
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La mode actuelle dans l'apprentissage profond en termes de classification est d'établir un hyperplan qui sépare le mieux possible les points d'un set de données de façon déterministique.
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Cette méthodologie héritée des machines à vecteurs de supports (i.e. SVM \citereferences{Weston1999SupportVM}) maximise la marge (e.g. hinge loss), pourtant, cette approche s'éloigne énormément de l'anthropomorphisme recherché par les réseaux neuronaux.
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Car cette approche vise à différencier les classes entre toutes les autres (duel $1$ vs $N-1$ classes) ce qui résulte un hyperplan dont on ne peut que difficilement interpréter les résultats.
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De plus, si on rajoute des classes, on doit entraîner à nouveau le modèle ou, au minima, entraîner à nouveau la dernière couche avec l'apprentissage par transfert \citereferences{transfer_learning_survey}.
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Une approche plus anthropomorphiste serait d'entraîner un modèle qu'y se base non sur les différences, mais sur les similitudes. Cela permettra également d'unifier plusieurs paradigmes de l'apprentissage automatique tel que la classification, la détection d'anomalie, la génération d'échantillons ainsi que l'apprentissage semi-supervisée.
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Plusieurs tentatives d'unification des paradigmes ont été tentées comme le fait d'utiliser un modèle génératif de type GAN \citereferences{generative_adversarial_nets} pour faire de la classification \citereferences{semi-supervised_learning_with_deep_generative_models}. Pourtant le fait que tout les modèles entraînées par descente de gradient sont des approximations de machine de kernel \citereferences{every_model_learned_by_gradient_descent_is_approximately_a_kernel_machine} montre que le problème est intrinsèque au paradigme et donc qu'il peut être intéréssant de changer d'approche.
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\section{Sujet}
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Le but du sujet est de créer un modèle caractériser comme un réseau de neurones probabilistes qui, sur un set de données défini tel que :
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$D = \{ (x_1, y_1),\dots, (x_n, y_n)\} \subseteq \mathcal{R}^d * \mathcal{C}$
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\begin{itemize}
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\item $\mathcal{C}$ est l'espace vectoriel des labels
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\item $x_i$ est le i-ème vecteur du set
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\item $y_i$ est le i-ème label du set
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\item $\mathcal{R}^d$ est l'espace vectoriel à $d$ dimensions
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\end{itemize}
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Le modèle maximisera une approximation de la distribution de $P(X)$, sachant que grâce au théorème central limite, nous pouvons raisonnablement prédire que la distribution sera gaussienne, ce qui est essentiel pour ce qui suit.
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Et à partir de cette distribution, nous pouvons assigner un point $x_i$ du set à son label $y_i$ et donc estimer de manière fractale (comme le permet le théorème centrale limite) chaque sous distribution $P(X|Y)$. Cette approche permet, si on dispose de nouvelles données, d'uniquement utiliser celle-ci et non le set entier, ce qui réduit considérablement le temps d'entraînement.
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\section{Applications}
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Avec ce changement intrinsèque dans la manière d'entraîner les modèles nous avons avec ces distributions, plusieurs choix possibles comme :
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\begin{itemize}
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\item Classification : on peux inférer le label en calculant l'argmin de chaque divergence de Kullback-Leibler \citereferences{kl_divergence} pour toutes les distributions
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\item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie
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\item Génération d'échantillons : avec les paramètres estimés de chaque distribution, nous pouvons utiliser un vecteur $\mathcal{N}(\mu',\sigma')$ pour générer de nouveaux vecteurs dans l'espace vectoriel estimé
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\item Apprentissage semi-supervisée : l'entraînement du modèle ne dépend pas de $Y$ donc nous pouvons entraîner le modèle avec le maximum de données non labellisé. Ensuite, en labellisant que certains points $X$ le modèle pourra déduire quels points sont les plus similaires et en conséquence les plus susceptibles d'être du même label.
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\end{itemize}
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\section{Travaux}
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J'ai déjà fait plusieurs projets sur de l'intelligence artificielle dont notamment :
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\begin{itemize}
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\item Auto encodeur variationnel (i.e. VAE \citereferences{variational_lossy_autoencoder}) avec PyTorch \citeannexes{pytorch_website} \citeannexes{project_vae}
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\item Wasserstein GAN avec pénalité de gradient (i.e. WGAN-GP \citereferences{wgan-gp_paper}) avec TensorFlow \citeannexes{tf_website} et Keras \citeannexes{keras_website} \citeannexes{project_wgan-gp}
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||||
\item Régression linéaire en utilisant plusieurs algorithmes d'optimisations comme le momentum \citereferences{momentum_paper}, le gradient accéléré de Nesterov \citereferences{nesterov_gradient_paper}, Adagrad \citereferences{adagrad_paper}, Adadelta \citereferences{adadelta_paper}, RMSprop \citereferences{rmsprop_lecture} et Adam \citereferences{adam_paper} avec Numpy \citeannexes{numpy_website} \citeannexes{project_reglin}
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\end{itemize}
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Vous pouvez également trouver mes autres travaux directement sur mon portfolio \citeannexes{personnal_portfolio}.
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\langchapter{Algèbre}{Algebra}
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%TODO Complete chapter
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\section{Structures}
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%TODO Complete section
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\subsection{Monoïd}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Corps}{Field}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Anneau}{Ring}
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%TODO Complete subsection
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\section{Matrices}
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%TODO Complete section
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Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
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\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
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Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
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La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
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\end{definition_sq}
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\subsection{Trace}
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%TODO Complete subsection
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$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=1}^na_{kk}$
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$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$
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$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\times\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
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\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
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%TODO Complete subsection
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\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}
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Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$
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$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$
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\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
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%%TODO Complete subsubsection
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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%%TODO Complete subsection
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m\times n}(\R)}{R}$
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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%%TODO Complete subsubsection
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m\times n}$
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\begin{itemize}
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\item{$M' = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \end{pmatrix}M$}
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\item{$\forall \lambda \in K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
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\item{}
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\end{itemize}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsubsection
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$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsubsection
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\subsection{Inverse}
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%TODO Complete subsection
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$det(M) \neq 0$
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$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
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\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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%TODO Complete subsection
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$det(M) \in \{-1,1\}$
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\subsection{Triangulation}
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%TODO Complete subsection
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$a \in Tr_n$
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\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
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%TODO Complete section
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\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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%TODO Complete subsubsection
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2 = b$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
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\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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%TODO Complete subsubsection
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsection
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
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= b \Leftrightarrow X^TAX$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{3} & \frac{a_4}{3} \\\frac{a_2}{3} & a_2 & \frac{a_3}{3} \\\frac{a_3}{3} & \frac{a_4}{3} & a_3\end{bmatrix}
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||||
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
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= b \Leftrightarrow X^TAX$
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\langsubsection{Cas général}{General case}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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%TODO Complete subsubsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
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\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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%TODO Complete subsubsection
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$X \in \mathcal{M}_{1,n}$
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$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
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$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$
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$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
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%TODO Complete section
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Soit $(E,+)$ un groupe abélien (i.e. commutatif) de $\mathbb{K}$
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\begin{itemize}
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\item{muni d'une loi de composition interne notée $+$}
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\item{muni d'une loi de composition externe $\mathbb{K}*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
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\end{itemize}
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\bigskip
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Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \mathbb{K}, \forall(a,b,c) \in E$
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\begin{itemize}
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\item{Commutativité $a + b = b + a$}
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\item{Associativité $(a + b) + c = a + (b + c)$}
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||||
\item{Élement neutre de $+ \Leftrightarrow \exists 0_E \in E : a + 0_E = a$}
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||||
\item{Élement neutre de $* \Leftrightarrow \exists 1_K \in K : a \cdot 1_K = a$}
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\item{Élement opposé $\forall a \in E, \exists b \in E : a + b = b + a = 0_E$}
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\item{Stabilité par $+ \Leftrightarrow a + b \in E$}
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||||
\item{Distributivité $+$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
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\item{Distributivité $*$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces}
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%TODO Complete subsection
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Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F \subset E$
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\begin{itemize}
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\item{$F \ne \emptyset$}
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\item{$0_E \in F$}
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\item{$\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}, \forall(x,y)\in F, \alpha x+\beta y\in F$}
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||||
\end{itemize}
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contents/category_theory.tex
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\langchapter{Théorie des Catégories}{Category theory}
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%TODO Complete chapter
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\section{Morphismes}
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%TODO Complete section
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\section{Functors}
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%TODO Complete section
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\subsection{Monads}
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%TODO Complete subsection
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\langsection{Argument diagonal}{Diagonal argument}
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%TODO Complete section
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56
contents/computer_science.tex
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contents/computer_science.tex
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\langchapter{Science informatique}{Computer Science}
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%TODO Complete chapter
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\langsection{Algorithmes}{Algorithms}
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%TODO Complete section
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\index{Algorithms}
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\begin{algorithm}[H]
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\KwIn{This is some input}
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\KwOut{This is some output}
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\SetAlgoLined
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||||
\SetNoFillComment
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||||
\tcc{This is a comment}
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||||
\vspace{3mm}
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||||
some code here\;
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||||
$x \leftarrow 0$\;
|
||||
$y \leftarrow 0$\;
|
||||
\uIf{$ x > 5$} {
|
||||
x is greater than 5 \tcp*{This is also a comment}
|
||||
}
|
||||
\Else {
|
||||
x is less than or equal to 5\;
|
||||
}
|
||||
\ForEach{y in 0..5} {
|
||||
$y \leftarrow y + 1$\;
|
||||
}
|
||||
\For{$y$ in $0..5$} {
|
||||
$y \leftarrow y - 1$\;
|
||||
}
|
||||
\While{$x > 5$} {
|
||||
$x \leftarrow x - 1$\;
|
||||
}
|
||||
\Return Return something here\;
|
||||
\caption{what}
|
||||
\end{algorithm}
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\langsection{Exemple en Python}{Python example}
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||||
\begin{lstlisting}[language=Python]
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||||
def fnc(a, b):
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||||
return a + b
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
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||||
\langsection{Exemple en C}{C example}
|
||||
\begin{lstlisting}[language=C]
|
||||
int fnc(int a, int b){
|
||||
return a + b;
|
||||
}
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
\langsection{Intelligence artificiel}{Artificial Intelligence}
|
||||
%TODO Complete section
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||||
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||||
\langsubsection{Thèse orthogonal (et stupidité)}{Orthogonal Thesis (and stupidity)}
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||||
% TODO Complete subsection
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||||
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||||
9
contents/differentiability.tex
Normal file
9
contents/differentiability.tex
Normal file
@ -0,0 +1,9 @@
|
||||
\langchapter{Différentiabilité}{Differentiability}
|
||||
%TODO Complete chapter
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||||
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||||
\langsection{Axiomes}{Axioms}
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||||
%TODO Complete section
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||||
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||||
\section{Extremums}
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%TODO Complete section
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||||
9
contents/differential_equations.tex
Normal file
9
contents/differential_equations.tex
Normal file
@ -0,0 +1,9 @@
|
||||
\langchapter{Équations Différentiel}{Differential Equations}
|
||||
%TODO Complete chapter
|
||||
|
||||
\section{Linéaire homogéne}
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||||
%TODO Complete section
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||||
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||||
\section{Non-linéaire homogéne}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
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||||
198
contents/latex.tex
Normal file
198
contents/latex.tex
Normal file
@ -0,0 +1,198 @@
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||||
\chapter{LaTeX}
|
||||
%TODO Complete chapter
|
||||
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||||
\langsection{Méta-données}{Metadata}
|
||||
%TODO Complete section
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||||
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||||
\begin{verbatim}
|
||||
\maketitle
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Titre}{Title}
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\title{Sections and Chapters}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Auteur(es)}{Author(s)}
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\author{Pierre Saunders}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\subsection{Date}
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\date{\today}
|
||||
\date{\tomorrow}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
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||||
\langsubsection{Table des matières}{Contents}
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\end{verbatim}
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||||
|
||||
\langsection{Segmentation du document}{Document sectioning}
|
||||
%TODO Complete section
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||||
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||||
\lang{Ces parties seront répertoriées dans la table des matières}{These part will be linked to the contents}.
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item{-1 part}
|
||||
\item{0 chapter}
|
||||
\item{1 section}
|
||||
\item{2 subsection}
|
||||
\item{3 subsubsection}
|
||||
\item{4 paragraph}
|
||||
\item{5 subparagraph}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Ajouter une partie numéroté}{Add a labeled part}
|
||||
|
||||
% TODO Find a way to localize verbatim
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\part{Nom de la partie}
|
||||
\chapter{Nom du chapitre}
|
||||
etc.
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Ajouter une partie non-numéroté}{Add a non labeled part}
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\part*{Nom de la partie}
|
||||
\chapter*{Nom du chapitre}
|
||||
etc.
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\langsection{Listes}{Lists}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item{Item 1}
|
||||
\item{Item 2}
|
||||
\item{Item 3}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\begin{mdframed}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item{Item 1}
|
||||
\item{Item 2}
|
||||
\item{Item 3}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Item 1}
|
||||
\item{Item 2}
|
||||
\item{Item 3}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\begin{mdframed}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Item 1}
|
||||
\item{Item 2}
|
||||
\item{Item 3}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\langsection{Paquets additionnels}{Additional packages}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\langsection{Mathématiques}{Mathematics}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\subsection{Matrices}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}
|
||||
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
|
||||
\begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix}
|
||||
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}
|
||||
\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
$\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$
|
||||
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
|
||||
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
|
||||
$\begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix}$
|
||||
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$
|
||||
$\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}$
|
||||
|
||||
|
||||
\langsection{Informatique}{Computer science}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\subsection{LaTex}
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\title{Sections and Chapters}
|
||||
\end{verbatim }
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Algorithmes}{Algorithms}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{algorithm}[H]
|
||||
\KwIn{This is some input}
|
||||
\KwOut{This is some output}
|
||||
\SetAlgoLined
|
||||
\SetNoFillComment
|
||||
\tcc{This is a comment}
|
||||
\vspace{3mm}
|
||||
some code here\;
|
||||
$x \leftarrow 0$\;
|
||||
$y \leftarrow 0$\;
|
||||
\uIf{$ x > 5$} {
|
||||
x is greater than 5 \tcp*{This is also a comment}
|
||||
}
|
||||
\Else {
|
||||
x is less than or equal to 5\;
|
||||
}
|
||||
\ForEach{y in 0..5} {
|
||||
$y \leftarrow y + 1$\;
|
||||
}
|
||||
\For{$y$ in $0..5$} {
|
||||
$y \leftarrow y - 1$\;
|
||||
}
|
||||
\While{$x > 5$} {
|
||||
$x \leftarrow x - 1$\;
|
||||
}
|
||||
\Return Return something here\;
|
||||
\caption{what}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\begin{algorithm}[H]
|
||||
\KwIn{This is some input}
|
||||
\KwOut{This is some output}
|
||||
\SetAlgoLined
|
||||
\SetNoFillComment
|
||||
\tcc{This is a comment}
|
||||
\vspace{3mm}
|
||||
some code here\;
|
||||
$x \leftarrow 0$\;
|
||||
$y \leftarrow 0$\;
|
||||
\uIf{$ x > 5$} {
|
||||
x is greater than 5 \tcp*{This is also a comment}
|
||||
}
|
||||
\Else {
|
||||
x is less than or equal to 5\;
|
||||
}
|
||||
\ForEach{y in 0..5} {
|
||||
$y \leftarrow y + 1$\;
|
||||
}
|
||||
\For{$y$ in $0..5$} {
|
||||
$y \leftarrow y - 1$\;
|
||||
}
|
||||
\While{$x > 5$} {
|
||||
$x \leftarrow x - 1$\;
|
||||
}
|
||||
\Return Return something here\;
|
||||
\caption{what}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
76
contents/linguistic.tex
Normal file
76
contents/linguistic.tex
Normal file
@ -0,0 +1,76 @@
|
||||
\langchapter{Linguistiques}{Lingustics}
|
||||
%TODO Complete chapter
|
||||
|
||||
\langsection{Grecque}{Greek}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\subsection{Alphabet}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
NA & $\alpha$ & Alpha \\
|
||||
\hline
|
||||
NA & $\beta$ & Beta \\
|
||||
\hline
|
||||
$\Gamma$ & $\gamma$ & Gamma \\
|
||||
\hline
|
||||
$\Delta$ & $\delta$ & Delta \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
|
||||
Upper case Greek letters
|
||||
|
||||
Lower case Greek letters
|
||||
|
||||
Misc Greek letters
|
||||
|
||||
$\Gamma$
|
||||
$\Delta$
|
||||
$\Lambda$
|
||||
$\Phi$
|
||||
$\Pi$
|
||||
$\Psi$
|
||||
$\Sigma$
|
||||
$\Theta$
|
||||
|
||||
$\Upsilon$
|
||||
$\Xi$
|
||||
$\Omega$
|
||||
|
||||
$\alpha $
|
||||
$\beta $
|
||||
$\gamma $
|
||||
$\delta $
|
||||
$\epsilon $
|
||||
$\zeta $
|
||||
$\eta $
|
||||
$\theta $
|
||||
|
||||
$\iota $
|
||||
$\kappa $
|
||||
$\lambda $
|
||||
$\mu $
|
||||
$\nu $
|
||||
$\xi $
|
||||
$\pi $
|
||||
$\rho $
|
||||
|
||||
$\sigma $
|
||||
$\tau $
|
||||
$\upsilon $
|
||||
$\phi $
|
||||
$\chi $
|
||||
$\psi $
|
||||
$\omega $
|
||||
|
||||
%$\digamma $
|
||||
%$\varepsil$on
|
||||
%$\varkappa$
|
||||
%$\varphi $
|
||||
%$\varpi $
|
||||
%$\varrho $
|
||||
%$\varsigma$
|
||||
%$\vartheta$
|
||||
|
||||
145
contents/logic.tex
Normal file
145
contents/logic.tex
Normal file
@ -0,0 +1,145 @@
|
||||
\langchapter{Logique}{Logic}
|
||||
%TODO Complete chapter
|
||||
|
||||
La logique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des variables (notées $P,Q,R$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).
|
||||
%Logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.
|
||||
|
||||
\langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\langsubsection{Réflexion}{Reflexivity}
|
||||
% TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E, a \Rel a$.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Transitivité}{Transitivity}
|
||||
% TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b \land b \Rel c \equivalance a \Rel c$.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Associativité}{Associativity}
|
||||
% TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, (a \Rel b) \Rel c \equivalance a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Commutativité}{Commutativity}
|
||||
% TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b = b \Rel a$.
|
||||
|
||||
\langsection{Opérateurs}{Operators}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\langsubsection{NON}{NOT}
|
||||
% TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
P & $\lnot P$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\langsubsection{ET}{AND}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c||c|}
|
||||
\hline
|
||||
P & Q & P $\land$ Q \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \false & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \false & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \true & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \true & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\langsubsection{OU}{OR}
|
||||
% TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$P \lor Q \equivalance \lnot P \land \lnot Q$
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c||c|}
|
||||
\hline
|
||||
P & Q & P $\lor$ Q \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \false & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \false & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \true & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \true & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\subsection{Implication}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c||c|}
|
||||
\hline
|
||||
P & Q & P $\Rightarrow$ Q \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \false & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \false & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \true & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \true & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\lang{Contraposée}{Contraposition } : \
|
||||
$\lnot Q \implies \lnot P$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Équivalence}{Equivalence}
|
||||
% TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c||c|}
|
||||
\hline
|
||||
P & Q & P $\equivalance$ Q \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \false & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \false & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \true & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \true & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\langsubsection{OU exclusif / XOR}{Exclusive OR / XOR}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$P \oplus Q \equivalance (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c||c|}
|
||||
\hline
|
||||
P & Q & $P \oplus Q$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \false & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \false & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\false & \true & \true \\
|
||||
\hline
|
||||
\true & \true & \false \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
12
contents/measure_theory.tex
Normal file
12
contents/measure_theory.tex
Normal file
@ -0,0 +1,12 @@
|
||||
\langchapter{Théorie de la mesure}{Measure theory}
|
||||
%TODO Complete chapter
|
||||
|
||||
\section{Mesure de Lebesgue}
|
||||
%TODO Complete section
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||||
|
||||
\subsection{Tribu de Lebesgue}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\subsection{Tribu Borélienne}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
9
contents/music_theory.tex
Normal file
9
contents/music_theory.tex
Normal file
@ -0,0 +1,9 @@
|
||||
\langchapter{Théorie Musicale}{Music Theory}
|
||||
%TODO Complete chapter
|
||||
|
||||
\section{Notes}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\langsection{Accords}{Chords}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
334
contents/number_theory.tex
Normal file
334
contents/number_theory.tex
Normal file
@ -0,0 +1,334 @@
|
||||
\langchapter{Théorie des nombres}{Number theory}
|
||||
%TODO Complete chapter
|
||||
|
||||
\langsection{Construction des entiers naturels $(\N)$}{Construction of natural numbers $(\N)$}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
\langsubsection{Axiomes de Peano}{Peano's Axioms}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
|
||||
|
||||
$0 := \emptyset$
|
||||
|
||||
$1 := \{0\} = \{\emptyset\}$
|
||||
|
||||
$2 := \{1, 0\} = \{\{\}\}$
|
||||
|
||||
\subsection{Construction de ??}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
|
||||
|
||||
$0 := \emptyset$
|
||||
|
||||
Using recursion, we can define all the following integers.
|
||||
|
||||
$1 := \{\emptyset\}$
|
||||
|
||||
$2 := \{\{\emptyset\}\}$
|
||||
|
||||
$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
|
||||
|
||||
Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly.
|
||||
|
||||
\subsection{Relations binaries}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\subsection{Opérateurs}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\subsection{Dénombrabilité}
|
||||
%\subsection{Countability}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:countability}
|
||||
Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Infini}{Infinity}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:smallest_infity}
|
||||
L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Démonstration}
|
||||
|
||||
La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$
|
||||
|
||||
Ou
|
||||
|
||||
$\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
|
||||
|
||||
$\functiondef{n}{2n}$
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
|
||||
|
||||
$\function{g}{\N,\N}{\N_c}$
|
||||
|
||||
$\functiondef{n,c}{cn}$
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".
|
||||
|
||||
\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\begin{itemize} \label{theorem:totally_ordered_natural_numbers}
|
||||
\item{L'ensemble est totalement ordonnée : $\forall n \in \N, \exists k \suchas k = n + 1 \land n < k$}
|
||||
\item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{pair} \\ 2k+1 & \text{Impair} \end{cases}$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$
|
||||
|
||||
\subsection{Relations binaries}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\subsection{Opérateurs}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
\subsection{Dénombrabilité}
|
||||
|
||||
De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_integers}
|
||||
L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Démonstration}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
$\function{f}{\Z}{\N}$
|
||||
|
||||
$\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
$p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$
|
||||
|
||||
$PGCD(p,q) := 1$
|
||||
|
||||
\subsection{Relations binaries}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
|
||||
|
||||
\subsection{Opérateurs}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
|
||||
|
||||
$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
|
||||
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
|
||||
|
||||
\subsection{Dénombrabilité}
|
||||
|
||||
De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_rationals}
|
||||
L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Démonstration}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
$P_i$ sont des nombres premiers.
|
||||
|
||||
$\function{f}{\Q}{\N}$
|
||||
|
||||
$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
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\medskip
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\langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
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%TODO Complete section
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\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
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%\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
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||||
\citeannexes{project_vae}
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\subsection{Coupes de Dedekind}
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%TODO Complete subsection
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\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
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%TODO Complete section
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\citeannexes{wikipedia_complex_numbers}
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||||
$\C = (a,b) \in R^2, a + ib ~= \R^2 $
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||||
$i^2 = -1$
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\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
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%TODO Complete subsection
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||||
\begin{tabular}{|c||c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
& 1 & i \\
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
1 & 1 & i \\
|
||||
\hline
|
||||
i & i & -1 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
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||||
\subsection{Relations binaries}
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||||
%TODO Complete subsection
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||||
$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
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||||
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\subsection{Opérateurs}
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||||
%TODO Complete subsection
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||||
Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique.
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||||
\subsubsection{Ordre lexicographique}
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||||
$\forall((a,b),(c,d)) \in \C^2, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
|
||||
a < c & \implies a + ib < c + id \\
|
||||
\otherwise & \begin{cases}
|
||||
b < d & \implies a + ib < c + id \\
|
||||
\otherwise & \implies a + ib > c + id
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{cases}$
|
||||
|
||||
\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
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||||
\citeannexes{wikipedia_quaternion}
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\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
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||||
%TODO Complete subsection
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||||
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||||
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
& 1 & i & j & k \\
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
1 & 1 & i & j & k \\
|
||||
\hline
|
||||
i & i & -1 & k & -j \\
|
||||
\hline
|
||||
j & j & -k & -1 & i \\
|
||||
\hline
|
||||
k & k & j & -i & -1 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
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|
||||
\section{Construction des octonions $(\Ot)$}
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||||
\citeannexes{wikipedia_octonion}
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||||
\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
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||||
%TODO Complete subsection
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||||
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$e_i/e_j $ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
$e_0$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$e_1$ & $e_1$ & $-e_0$ & $e_3$ & $-e_2$ & $e_5$ & $-e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$e_2$ & $e_2$ & $-e_3$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_6$ & $e_7$ & $-e_4$ & $-e_5$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$e_3$ & $e_3$ & $e_2$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $-e_4$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$e_4$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_6$ & $-e_7$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$e_5$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $-e_3$ & $e_2$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$e_6$ & $e_6$ & $e_7$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_2$ & $e_3$ & $-e_0$ & $-e_1$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$e_7$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_3$ & $-e_2$ & $e_1$ & $-e_0$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
$e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\delta_{ij}e_0 + \epsilon_{ijk}e_k, & \text{otherwise}\end{cases}$
|
||||
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
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||||
\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
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||||
\citeannexes{wikipedia_sedenion}
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||||
\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
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||||
%TODO Complete subsection
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||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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||||
\hline
|
||||
& i & j & k \\
|
||||
\hline
|
||||
i & -1 & k & -j \\
|
||||
\hline
|
||||
j & -k & -1 & i \\
|
||||
\hline
|
||||
k & j & -i & -1 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
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||||
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||||
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||||
\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
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%TODO Complete section
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
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||||
Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
|
||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
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||||
\langsubsection{Infinité}{Infinity}
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||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
|
||||
Il existe une infinité de nombres premiers.
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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||||
\langsubsubsection{Démonstration}{Demonstration}
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||||
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||||
Par preveue par contradiction, supposons qu'il existe un nombre fini de nombre premiers.
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||||
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||||
$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$
|
||||
|
||||
$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$
|
||||
|
||||
$\forall p \in \Pn, \omega \div p$
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||||
|
||||
$\omega \notin \Pn \land \omega$ est premier
|
||||
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||||
$\rightarrow\leftarrow$
|
||||
|
||||
$\implies$ Il existe une infinité de nombre premiers.
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||||
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\chapter{Philosophy}
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%TODO Complete chapter
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\section{Aphorisms}
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%TODO Complete section
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\subsection{Ludwig Wittgenstein}
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\subsubsection{Uber Geweissheit (About uncertainty)}
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||||
\begin{quote}
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||||
Der Zweifel setzt die Geweißheit voraus
|
||||
\end{quote}
|
||||
(Doubt presupposes certainty)
|
||||
|
||||
\subsubsection{Tractatus Logico-Philosophicus}
|
||||
|
||||
\begin{quote}
|
||||
STUFFS
|
||||
\end{quote}
|
||||
(Whereof one cannot speak, thereof one must be silent)
|
||||
|
||||
\begin{quote}
|
||||
Stuffs
|
||||
\end{quote}
|
||||
(The limits of my language means the limits of my world)
|
||||
|
||||
\subsection{Friedrich Nietzsche}
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%TODO Complete subsection
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||||
\subsection{Immanuel Kant}
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%TODO Complete subsection
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78
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||||
\langchapter{Théorie des ensembles}{Set theory} \label{set_theory}
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%TODO Complete chapter
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||||
Un ensemble est une construction mathématiques qui réuni plusieurs objets en une même instance.
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||||
%A set is a mathematical construct to assemble multiple objects in a single instance.
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||||
$S = \{a,b,c\}$
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||||
\langsection{Axiomes}{Axioms}
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%TODO Complete section
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||||
\langsubsection{Extensionnalité}{Extensionality}
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||||
$\forall A\forall B(\forall X(X \in A \Leftrightarrow X \in B) \Rightarrow A = B)$
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||||
\langsubsection{Spécification}{Specification}
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%TODO Complete subsection
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||||
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||||
\langsubsection{Paire}{Pairing}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Réunion}{Union}
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%TODO Complete section
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||||
Unite all elements of two given sets into one.
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||||
$n,m \in \N^+$
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$A = \{a_1, \cdots, a_n\}$
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||||
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||||
$B = \{b_1, \cdots, b_m\}$
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||||
|
||||
$A \cup B = \{a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_m\}$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Scheme of replacement}{Scheme of replacement}
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%TODO Complete subsection
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||||
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||||
\langsubsection{Infini}{Infinity}
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%TODO Complete subsection
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||||
\subsection{Power set}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Choix}{Choice}
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%TODO Complete subsection
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||||
\section{Intersection}
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%TODO Complete subsection
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\langsection{Différence des sets}{Set difference}
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%TODO Complete section
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||||
|
||||
\langsection{Fonction}{Function}
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||||
%TODO Complete section
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||||
|
||||
Une fonction $f$ est un opération qui permet de transformer un ou plusieurs éléments d'un set $A$ en d'autres éléments d'un set $B$.
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||||
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||||
\subsection{Notation}
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%TODO Complete subsection
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$A \longrightarrow B$
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||||
$ x \longrightarrow f(x)$
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||||
\langsubsection{Injectivité}{Injectivity}
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||||
%TODO Complete subsection
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||||
|
||||
Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity}
|
||||
%TODO Complete subsection
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||||
|
||||
Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective et surjective ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.
|
||||
248
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248
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|
||||
\langchapter{Topologie}{Topology}
|
||||
%TODO Complete chapter
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||||
|
||||
La topologie traite de l'étude des applications continues.
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||||
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||||
\langsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
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||||
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||||
Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
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||||
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||||
\langsubsection{Normes}{Norms}
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||||
|
||||
Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés.
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||||
|
||||
\smallskip
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||||
|
||||
$\function{\norm{.}}{E}{\R}$
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$}
|
||||
\item{$\norm{x} \equivalance x = 0$}
|
||||
\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = |\lambda|\norm{x}$}
|
||||
\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Exemples}{Examples}
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||||
|
||||
$n \in \N^*, E = \R^n$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n |x_i|$}
|
||||
\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n x^2_i}$}
|
||||
\item{$\norm{x}_\infty = \max\{|x_0|, \dots, |x_n|\}$}
|
||||
\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 |P(x)|dx$}
|
||||
\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
|
||||
\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Équivalence des normes}
|
||||
|
||||
Deux normes $\norm{.}_1$ et $\norm{.}_2$ sont dites \textbf{équivalentes} si $\exists \alpha, \beta \in \R^*_+ \suchas \forall x \in E, \alpha\norm{x}_1 \le \norm{x}_2 \le \beta\norm{x}_1$
|
||||
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
Note : On remarque que la relation \textit{être équivalentes} est bien une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes sur $E$.
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||||
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||||
\langsubsection{Boules}{Balls}
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||||
Soit $x \in E$ et $r \in \R^*_+$
|
||||
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\subsubsection{Ouverte}
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||||
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||||
La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r) = \{ y \in E, \norm{x - y} < r\}$.
|
||||
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
Note : la seule différence avec une boule fermée est la non inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
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||||
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||||
\subsubsection{Fermée}
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||||
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||||
La \textbf{boule fermée} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r) = \{ y \in E, \norm{x - y} \le r\}$.
|
||||
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
Note : la seule différence avec une boule fermée est l'inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
|
||||
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||||
\subsubsection{Voisinage}
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||||
On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\epsilon)$ pour un certain $\epsilon \in \R^*_+$
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\langsection{Limite}{Limit}
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||||
Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou a une application.
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||||
\subsection{Suite}
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||||
Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
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||||
|
||||
On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim(x_n) = l$ ou $x_n \rightarrow l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
|
||||
|
||||
\subsection{Application}
|
||||
|
||||
Soit $(E, \norm{.}_E)$, $(F, \norm{.}_F)$, $A \subset E$, $\function{f}{A}{F}$, $t,x \in A$ et $l \in F$.
|
||||
|
||||
On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim_{t\rightarrow x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
|
||||
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||||
\subsection{Exercice 1}
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||||
Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
|
||||
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||||
\subsubsection{1.a} \label{sec:ex1a}
|
||||
Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
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||||
\\
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||||
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||||
Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
|
||||
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||||
$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
|
||||
\\
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||||
|
||||
Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
|
||||
|
||||
$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
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||||
\\
|
||||
|
||||
Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$.
|
||||
|
||||
Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem_1}
|
||||
Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsubsection{1.b} \label{sec:ex1b}
|
||||
Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Sachant que $(x_n) \ in E$ converge vers $l \in E$ \&\& $\epsilon > 0$.
|
||||
|
||||
$\Leftrightarrow \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
|
||||
|
||||
$\Leftrightarrow (x_n)$ est fermée.
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem_2}
|
||||
Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \|.\|)$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsection{Exercice 2}
|
||||
Soit $(E, \|.\|)$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
|
||||
|
||||
Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
|
||||
Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \|.\|)$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{lemme_sq}
|
||||
$K$ est compact $\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation.
|
||||
\end{lemme_sq}
|
||||
|
||||
$K$ est compact
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Soit $\epsilon > 0$ \&\& $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow \exists l \in K$ tel que $\lim_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
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$\Rightarrow \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
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$\Rightarrow l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
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$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
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\begin{lemme_sq}
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$K$ possède un point d'accumulation. $\Rightarrow K$ est compact.
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\end{lemme_sq}
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Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
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\paragraph{Si $X$ est fini}
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$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
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$\Rightarrow X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
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$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
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\paragraph{Si $X$ est infini}
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$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
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En fixant $l \in X$,
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$\Rightarrow$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
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$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
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\begin{theorem_sq}
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$K \subset (E, \|.\|)$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \Leftrightarrow K$ est compact.
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\end{theorem_sq}
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\subsection{Exercice 3}
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Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
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Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
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Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
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$\Rightarrow$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
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$\Rightarrow$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
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\begin{theorem_sq}
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Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
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\end{theorem_sq}
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\subsection{Exercice 4}
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Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
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$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \|x_{n_1} - x_{n_2} \| \le \epsilon$$
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Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
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\\
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\begin{lemme_sq}
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Si une suite est de Cauchy $\Rightarrow$ la suite est convergente.
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\end{lemme_sq}
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En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
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$\Rightarrow \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
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$\Rightarrow \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N$ \&\& $j \le N$, $\|x_i - x_j\| > \epsilon$
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$\Rightarrow$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
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\begin{lemme_sq}
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Si une suite est convergente $\Rightarrow$ la suite est de Cauchy.
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\end{lemme_sq}
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Soit \suite{x} $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
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$\Rightarrow \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
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$\Rightarrow \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ \&\& $x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
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$\Rightarrow \|x_i - x_j\| < \epsilon$
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$\Rightarrow (x_n)$ est une suite de Cauchy.
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\begin{theorem_sq}
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Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\Leftrightarrow$ $(x_n)$ est convergente.
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\end{theorem_sq}
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83
contents/trigonometry.tex
Normal file
83
contents/trigonometry.tex
Normal file
@ -0,0 +1,83 @@
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\langchapter{Trigonométrie}{Trigonometry}
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%TODO Complete chapter
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\langsection{Cercle unitaire}{Unit circle}
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%TODO Complete section
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Le cercle unitaire est un cercle de centre $(0,0)$ et de rayon 1.
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\subsection{cos}
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%TODO Complete subsection
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$\cos 0 = 1$
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$\cos \frac{\pi}{2} = 0$
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$\cos \pi = -1$
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$\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$
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$\cos(\pi + t) = -\cos(t)$
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$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
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$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
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$\forall (a,b) \in \R^2$
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$\cos(a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
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$\cos(a - b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
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$\cos a + \cos b = 2 \cos(\frac{a + b}{2}) \cos(\frac{a - b}{2} )$
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\subsection{sin}
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%TODO Complete subsection
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$\sin 0 = 0$
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$\sin(\pi - t) = \sin(t)$
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$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t)$
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$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
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$\sin \frac{\pi}{2} = 1$
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%$\sin(\frac{\pi}{2} + t) = -\cos(t)$
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||||
$\forall (a,b) \in \R^2$
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$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a$
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$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a$
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$\sin a - \sin b = 2 \cos (\frac{a+b}{2}) \sin (\frac{a-b}{2})$
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$\sin a\sin b = \frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{2}$
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\subsection{tan}
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%TODO Complete subsection
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$\tan 0 = 0$
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$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
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$\tan \frac{\pi}{4} = 1$
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$\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan x}$
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$\tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\frac{1}{\tan x}$
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||||
$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1- \tan(a)\tan(b)}$
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$\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$
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\subsection{Combinaisons}
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%TODO Complete subsection
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$\forall (a,b) \in \R^2$
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$\sin a \cos b = \frac{\sin(a + b) + \sin(a - b)}{2}$
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