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\langchapter{Théorie des nombres}{Number theory}
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%TODO Complete chapter
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\langsection{Construction des entiers naturels $(\N)$}{Construction of natural numbers $(\N)$}
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\langsubsection{Axiomes de Peano}{Peano's Axioms}
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\langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
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Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
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$0 := \emptyset$
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$1 := \{0\} = \{\emptyset\}$
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$2 := \{1, 0\} = \{\{\}\}$
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\subsection{Construction de ??}
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Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
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$0 := \emptyset$
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Using recursion, we can define all the following integers.
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$1 := \{\emptyset\}$
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$2 := \{\{\emptyset\}\}$
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$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
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Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly.
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\subsection{Relations binaries}
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\subsection{Opérateurs}
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\subsection{Dénombrabilité}
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%\subsection{Countability}
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\begin{definition_sq} \label{definition:countability}
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Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Infini}{Infinity}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:smallest_infity}
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L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
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\end{theorem_sq}
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De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
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\subsubsection{Démonstration}
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La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
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\medskip
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$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$
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Ou
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$\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
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$\functiondef{n}{2n}$
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\medskip
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On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
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$\function{g}{\N,\N}{\N_c}$
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$\functiondef{n,c}{cn}$
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\medskip
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Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".
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\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
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%TODO Complete subsection
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\begin{itemize} \label{theorem:totally_ordered_natural_numbers}
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\item{L'ensemble est totalement ordonnée : $\forall n \in \N, \exists k \suchas k = n + 1 \land n < k$}
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\item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{pair} \\ 2k+1 & \text{Impair} \end{cases}$}
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\end{itemize}
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\begin{theorem_sq}
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Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
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\end{theorem_sq}
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\langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
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%TODO Complete section
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$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$
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\subsection{Relations binaries}
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\subsection{Opérateurs}
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%TODO Complete subsection
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\subsection{Dénombrabilité}
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De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_integers}
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L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
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\end{theorem_sq}
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\subsubsection{Démonstration}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
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\end{center}
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$\function{f}{\Z}{\N}$
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$\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
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\medskip
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\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
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%TODO Complete section
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$p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$
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$PGCD(p,q) := 1$
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\subsection{Relations binaries}
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%TODO Complete subsection
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$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
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\subsection{Opérateurs}
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%TODO Complete subsection
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$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
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$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
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$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
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\subsection{Dénombrabilité}
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De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_rationals}
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L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
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\end{theorem_sq}
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\subsubsection{Démonstration}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
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\end{center}
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$P_i$ sont des nombres premiers.
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$\function{f}{\Q}{\N}$
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$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
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\medskip
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\langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
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%TODO Complete section
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\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
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%\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
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\citeannexes{project_vae}
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\subsection{Coupes de Dedekind}
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%TODO Complete subsection
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\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
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%TODO Complete section
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\citeannexes{wikipedia_complex_numbers}
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$\C = (a,b) \in R^2, a + ib ~= \R^2 $
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$i^2 = -1$
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\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c||c|c|}
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\hline
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& 1 & i \\
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\hline
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\hline
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1 & 1 & i \\
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\hline
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i & i & -1 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\subsection{Relations binaries}
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%TODO Complete subsection
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$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
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\subsection{Opérateurs}
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%TODO Complete subsection
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Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique.
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\subsubsection{Ordre lexicographique}
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$\forall((a,b),(c,d)) \in \C^2, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
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a < c & \implies a + ib < c + id \\
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\otherwise & \begin{cases}
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b < d & \implies a + ib < c + id \\
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\otherwise & \implies a + ib > c + id
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\end{cases}
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\end{cases}$
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\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
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\citeannexes{wikipedia_quaternion}
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\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
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\hline
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& 1 & i & j & k \\
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\hline
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\hline
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1 & 1 & i & j & k \\
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\hline
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i & i & -1 & k & -j \\
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\hline
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j & j & -k & -1 & i \\
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\hline
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k & k & j & -i & -1 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\section{Construction des octonions $(\Ot)$}
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\citeannexes{wikipedia_octonion}
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\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
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\hline
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$e_i/e_j $ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
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\hline
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\hline
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$e_0$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
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\hline
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$e_1$ & $e_1$ & $-e_0$ & $e_3$ & $-e_2$ & $e_5$ & $-e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ \\
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\hline
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$e_2$ & $e_2$ & $-e_3$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_6$ & $e_7$ & $-e_4$ & $-e_5$ \\
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\hline
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||||
$e_3$ & $e_3$ & $e_2$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $-e_4$ \\
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\hline
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$e_4$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_6$ & $-e_7$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ \\
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\hline
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||||
$e_5$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $-e_3$ & $e_2$ \\
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\hline
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||||
$e_6$ & $e_6$ & $e_7$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_2$ & $e_3$ & $-e_0$ & $-e_1$ \\
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\hline
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$e_7$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_3$ & $-e_2$ & $e_1$ & $-e_0$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\smallskip
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$e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\delta_{ij}e_0 + \epsilon_{ijk}e_k, & \text{otherwise}\end{cases}$
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\smallskip
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Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
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\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
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\citeannexes{wikipedia_sedenion}
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\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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& i & j & k \\
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\hline
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i & -1 & k & -j \\
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\hline
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j & -k & -1 & i \\
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\hline
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k & j & -i & -1 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
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%TODO Complete section
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\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
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Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
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\end{definition_sq}
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Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
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\langsubsection{Infinité}{Infinity}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
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Il existe une infinité de nombres premiers.
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\end{theorem_sq}
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\langsubsubsection{Démonstration}{Demonstration}
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Par preveue par contradiction, supposons qu'il existe un nombre fini de nombre premiers.
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$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$
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$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$
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$\forall p \in \Pn, \omega \div p$
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$\omega \notin \Pn \land \omega$ est premier
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$\rightarrow\leftarrow$
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$\implies$ Il existe une infinité de nombre premiers.
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