diff --git a/contents/topology.tex b/contents/topology.tex index 119c281..75ba573 100644 --- a/contents/topology.tex +++ b/contents/topology.tex @@ -3,23 +3,45 @@ La topologie traite de l'étude des applications continues. -\langsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions} +\langsection{Espaces topologique}{Topologic spaces} + +A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$. + +\langsubsection{Axiomes}{Axioms} + +\begin{itemize} + \item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$} + \item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$} + \item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$} +\end{itemize} + +\langsection{Espaces métrique}{Metric spaces} + +\begin{definition_sq} \label{definition:metric_space} + A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted $(E,d)$ satisfaing the following axioms : + \begin{itemize} + \item{$\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$} + \item{Symetry: $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$} + \item{Triangular inegality: $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$} + \end{itemize} +\end{definition_sq} + +\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions} Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel. -\langsubsection{Normes}{Norms} +\langsubsubsection{Normes}{Norms} Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés. \smallskip -$\function{\norm{.}}{E}{\R}$ +$\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ -\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} +\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms} \begin{itemize} - \item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$} - \item{$\norm{x} \equivalence x = 0$} + \item{$\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$} \item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$} \item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire) \end{itemize} @@ -28,14 +50,14 @@ $\function{\norm{.}}{E}{\R}$ On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}. -\langsubsubsection{Exemples}{Examples} +\langsubsubsubsection{Exemples}{Examples} $n \in \N^*, E = \R^n$ \begin{itemize} - \item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i=0}^n \abs{x_i}$} - \item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=0}^n x^2_i}$} - \item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_0}, \dots, \abs{x_n}\}$} + \item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n \abs{x_i}$} + \item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x^2_i}$} + \item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_1}, \dots, \abs{x_n}\}$} \item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$} \item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$) \item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$} @@ -81,176 +103,219 @@ Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle e Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$. -On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim(x_n) = l$ ou $x_n \rightarrow l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$ +On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$ \subsection{Application} Soit $(E, \norm{.}_E)$, $(F, \norm{.}_F)$, $A \subset E$, $\function{f}{A}{F}$, $t,x \in A$ et $l \in F$. -On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim_{t\rightarrow x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$ +On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim\limits_{t \to x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$ +\langsection{Transitivité}{Transitivity} +Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} -\section{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés} - -\subsection{Exercice 1} -Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$. - -\subsubsection{1.a} \label{sec:ex1a} -Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$. -\\ - -Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$ - -$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ -\\ - -Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que - -$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$ -\\ - -Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$ - -$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$ - -$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$ - -$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ - -$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$. - -Par unicité de la limite nous pouvons conclure. - -\begin{theorem_sq} \label{theorem_1} -Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$. -\end{theorem_sq} - -\subsubsection{1.b} \label{sec:ex1b} -Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné. -\\ - -Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$. - -$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$. - -$\equivalence (x_n)$ est fermée. - -\begin{theorem_sq} \label{theorem_2} -Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée. -\end{theorem_sq} - -\subsection{Exercice 2} -Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble. - -Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$. - -\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1] -Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$. +\begin{definition_sq} + Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour tout paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$. \end{definition_sq} -\begin{lemme_sq} -$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation. -\end{lemme_sq} +\langsection{Adhérence}{Closure} -$K$ est compact -\\ +\begin{definition_sq} + Un point $x$ d'un espace métrique $(E,d)$ \textbf{adhère} à une partie de $A$ de $E$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ i.e. + $$A \subseteq E, x \in E, \forall \epsilon > 0, \B(x, \epsilon) \intersection A \ne \emptyset$$ +\end{definition_sq} -Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$ +\begin{definition_sq} + L'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est l'ensemble des points adhérent de $A$. +\end{definition_sq} -$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$ - -$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$ - -$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$ - -$\implies K$ possède un point d'accumulation - -\begin{lemme_sq} -$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact. -\end{lemme_sq} - -Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$ - -\paragraph{Si $X$ est fini} - -$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur. - -$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$ - -$\implies K$ possède un point d'accumulation - -\paragraph{Si $X$ est infini} - -$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$ - -En fixant $l \in X$, - -$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$ - -$\implies K$ possède un point d'accumulation - -\begin{theorem_sq} -$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact. -\end{theorem_sq} - -\subsection{Exercice 3} -Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum. - -Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$ - -Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée - -$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$ - -$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants. - -\begin{theorem_sq} -Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum. -\end{theorem_sq} - -\subsection{Exercice 4} -Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si - -$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$ - -Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}). -\\ - -\begin{lemme_sq} -Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente. -\end{lemme_sq} +\begin{prop_sq} \label{proposition:closure_is_smallest_closed} + Soit $A$ une partie de $(E, d)$ un espace métrique. Alors l'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie fermée de $E$ contenant $A$. En particulier si $A$ est fermée alors $\closure{A} = A$. +\end{prop_sq} \begin{proof} - -En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas. - -$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$ - -$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$ - -$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy. - + % TODO Complete proof \end{proof} -\begin{lemme_sq} -Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy. -\end{lemme_sq} +\begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure} + Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. + $$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$ +\end{theorem_sq} \begin{proof} - -Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$ - -$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$ - -$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ - -$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$ - -$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy. - + Soit $A$,$B$ deux espaces topologique et $A \subseteq B$. + Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$ mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$. \end{proof} \begin{theorem_sq} -Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente. + Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. + $$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$ \end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. + $$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \subseteqpart + + Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$. + + \Lsubseteqpart + + Sachant que $A \subseteq \closure{A} \land B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} en faisait l'union des deux cela donne $A \union B \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$, or $\closure{A} \union \closure{B} \equivalence E\setminus\closure{A} \intersection E\setminus\closure{B}$, il s'agit d'une intersection finie d'ouverts donc $\closure{A} \union \closure{B}$ est fermé donc par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$. + + $(\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}) \land (\closure{A \union B} \supseteq \closure{A} \union \closure{B}) \implies \closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$ +\end{proof} + +\langsection{Complétude}{Completeness} + +\begin{definition_sq} + Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergente \ref{definition:convergence_sequence}. +\end{definition_sq} + +\langsubsection{Théorème des points fixe (Théoreme de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)} + +\begin{proof} + Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e. + $$\function{\phi}{E}{E}$$ + $$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$ + + Soit $x_0 \in E$ et définisons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$. + + Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ + + Comme cas initial prenons $n = 1$. + + Par définition de la suite \suite{x}. + + $$d(x_2, x_1) = d(\phi(x_1), \phi(x_0))$$ + + Par définition de la fonction $\phi$. + + $$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$ + + Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothése d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'héréditée $n + 1$ + Par définition de la suite \suite{x}. + + $$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$ + + Par définition de la fonction $\phi$. + + $$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$ + + Par l'hypothése d'induction. + + $$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$ + + Ce qui conclut l'induction et prouve $(h_n)$. Maintenant montrons que \suite{x} est une suite de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence}. + + Soit $m,n \in \N$ tel que $m > n$. + + Par inégalité triangulaire + + $$d(x_m, x_n) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1})$$ + + Par ($h_n$) + + $$\implies \sum\limits_{i = 1}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1}) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} k^{n+i}d(x_1, x_0) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i$$ + + On reconnaît une série géométrique + + $$\implies k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i = k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right)$$ + + Posons $\epsilon \in \R_+^*$, comme $\abs{k} < 1 \implies \exists N \in \N, k^{N+m} \le \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)}$. + + $$\implies d(x_m, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right) \le d(x_1, x_0) \frac{1}{1 - k} \left( \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)} \right) = \epsilon$$ + + La suite \suite{x} est donc de Cauchy. +\end{proof} + +\langsection{Séparation}{Separation} + +\begin{definition_sq} \label{definition:separated_space} + Un espace topologique est dit séparés si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$. +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + Tout les un espaces métrique sont séparés. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$ $\implies d(x, y) \ne 0$. + + Soit $r := d(x, y)$ ainsi que les boules ouvertes $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$, par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$. + + Soit $z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$ + + Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + Tout les singletons d'un espace métrique sont fermés. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$ + + $\implies d(x, y) \ne 0$. Soit $r := d(x, y)$ ainsi que $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$ par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$. + + $z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$ + + Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$, les singletons de $E$ sont donc séparés. +\end{proof} + +\langsection{Compacité}{Compactness} + +\begin{definition_sq} + Un espace topologique $E$ est \textbf{compact} si $E$ est séparé \ref{definition:separated_space} et si tout recouvrement de $E$ par des ouverts contient un recouvrement fini de $E$ i.e. si $E = \Union\limits_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe une partie finie $V := \{i_1, i_2, \cdots, i_n\}$ de $I$ tel que $E = \Union\limits_{v \in V} v$ +\end{definition_sq} + +\langsection{Connexité}{Connectness} + +\begin{definition_sq} + Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continu $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$. +\end{definition_sq} + +\begin{definition_sq} + Un espace topologique $E$ est \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons. +\end{definition_sq} + +\begin{theorem_sq} + $\Z$ est totalement discontinu. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Posons $\left (\Union\limits_{n \in \Z} \left]n - 1/2, n + 1/2 \right[\right) \intersection \Z = \Z$. + Chacun de ces intervalles non vides de $\R$ est ouvert et deux à deux disjoints. + Cela implique qu'aucun élément de $\Z$ ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Z$ est totalement discontinu. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + $\Q$ est totalement discontinu. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(a,b) \in \Q^2$ tel que $a < b$. + Comme les irrationnels sont denses dans $\R$, il existe $x \in \R \setminus \Q$ tel que $a < x < b$. + De cela, nous pouvons construire les intervalles de $\R$ ouverts $L := \left]-\infty, x \right[$ et $R := \left]x, +\infty \right[$. + Comme $(L \union R) \intersection \Q = \Q$. + Cela montre qu'aucun rationnel ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Q$ est totalement discontinu. +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + L'ensemble de Cantor est totalement discontinu. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + L'ensemble de Cantor $C$ peut être défini à l'aide de la suite \suite{C} tel que $C_0 := [0, 1] \subset \R$ et $C_n := \Union\limits_{k = 0}^{3^{n - 1}} \left[ \frac{2k}{3^n}, \frac{2k + 1}{3^n} \right]$ ainsi, nous pouvons définir $C := \Intersection\limits_{n = 0}^\infty C_n$. + Remarquons que $C \subset [0, 1] \subset \R$ et qu'à chaque itération sur $n$ nous divisons l'intervalle $C_n$ en trois intervalles disjoints de longueur $3^{-n}$ en retirant l'intervalle du milieu. + Cela implique que $C_n$ devient discontinu à l'itération $C_{n + 1}$, par induction sur $n$, aucun intervalle de $C$ n'est connecté, sauf que les bornes, elles, ne sont jamais retirées, donc $C$ est habité et il s'agit de ces seules composantes connexes à chaque itération. + On en conclut que l'ensemble de Cantor est totalement discontinu. +\end{proof} diff --git a/references/annexes.bib b/references/annexes.bib index e15fa80..e05d904 100644 --- a/references/annexes.bib +++ b/references/annexes.bib @@ -377,3 +377,7 @@ title = {Critère de Dirichlet}, url = {https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche\&quoi=./d/dirichletcritere.html} } +@online{scholarpedia_topological_transitivity, + title = {Topological transitivity - Scholarpedia}, + url = {http://www.scholarpedia.org/article/Topological\_transitivity} +}