From 52fd077cb5458e83c135507f237751c5f495a91f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Tue, 11 Mar 2025 14:43:31 +0100 Subject: [PATCH] packages/macros.sty : Added suchthat operator && typos fixes --- contents/GaussianParadigm.tex | 2 +- contents/algebra.tex | 22 +++++++++++----------- contents/algebra_dm1.tex | 6 +++--- contents/dynamic_systems.tex | 2 +- contents/number_theory.tex | 14 +++++++------- contents/set_theory.tex | 14 +++++++------- packages/macros.sty | 1 + 7 files changed, 31 insertions(+), 30 deletions(-) diff --git a/contents/GaussianParadigm.tex b/contents/GaussianParadigm.tex index c6f31a8..1df1cf5 100644 --- a/contents/GaussianParadigm.tex +++ b/contents/GaussianParadigm.tex @@ -40,7 +40,7 @@ Et à partir de cette distribution, nous pouvons assigner un point $x_i$ du set Avec ce changement intrinsèque dans la manière d'entraîner les modèles, nous avons avec ces distributions, plusieurs choix possibles comme : \begin{itemize} \item Classification : on peut inférer le label en calculant l'argmin de chaque divergence de Kullback-Leibler \citereferences{kl_divergence} pour toutes les distributions - \item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie + \item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du Z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie \item Génération d'échantillons : avec les paramètres estimés de chaque distribution, nous pouvons utiliser un vecteur $\mathcal{N}(\mu',\sigma')$ pour générer de nouveaux vecteurs dans l'espace vectoriel estimé \item Apprentissage semi-supervisée : l'entraînement du modèle ne dépend pas de $Y$ donc nous pouvons entraîner le modèle avec le maximum de données non labellisé. Ensuite, en labellisant que certains points $X$ le modèle pourra déduire quels points sont les plus similaires et en conséquence les plus susceptibles d'être du même label. \end{itemize} diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index 56e247e..cb7fcd2 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -55,7 +55,7 @@ \end{definition_sq} \begin{definition_sq} - Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \mid \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$. + Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \suchthat \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$. \end{definition_sq} \begin{definition_sq} @@ -81,7 +81,7 @@ \langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup} \begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup} - Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$ + Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \suchthat k \in \Z \} \subseteq G$ \end{definition_sq} \begin{proof} @@ -186,7 +186,7 @@ \end{proof} \begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel} - Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \mid \phi(g) = \Identity_G \}$. + Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \suchthat \phi(g) = \Identity_G \}$. \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} @@ -263,7 +263,7 @@ \end{proof} \begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func} - L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \mid m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$ + L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \suchthat m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$ \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} @@ -275,7 +275,7 @@ \end{proof} \begin{definition_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \mid x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \mid x \in H \}$. + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \suchthat x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \suchthat x \in H \}$. Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc $$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$ @@ -399,7 +399,7 @@ \end{proof} \begin{definition_sq} - Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \mid k \in K, h \in H \} \subseteq G$ + Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \suchthat k \in K, h \in H \} \subseteq G$ \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} @@ -427,7 +427,7 @@ \end{proof} \begin{definition_sq} - Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \mid \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$ + Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \suchthat \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$ \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} @@ -655,8 +655,8 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T = Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que - $A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$ - où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité. + $A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$ + où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité. \end{proof} \begin{theorem_sq} @@ -724,7 +724,7 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} - Le tuple $(SL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}. + $SL_n(\K) \normalSubgroup GL_n(\K)$ \end{theorem_sq} \begin{proof} @@ -741,7 +741,7 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl \begin{proof} Soit $A \in SL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme $\det(A) = 1$ cela revient à la matrice identité, on peut donc en conclure que - $$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) = \Identity_n$$ + $$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$ \end{proof} \pagebreak diff --git a/contents/algebra_dm1.tex b/contents/algebra_dm1.tex index c16aef4..0de0308 100644 --- a/contents/algebra_dm1.tex +++ b/contents/algebra_dm1.tex @@ -100,12 +100,12 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1. $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ \end{proof} - Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \mid \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$. + Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \suchthat \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$. - \item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \mid \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$} + \item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \suchthat \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$} % TODO Complete 6. - Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \mid \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$. + Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \suchthat \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$. \item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$} % TODO Complete 7. diff --git a/contents/dynamic_systems.tex b/contents/dynamic_systems.tex index 1fe1412..dcbb47a 100644 --- a/contents/dynamic_systems.tex +++ b/contents/dynamic_systems.tex @@ -21,7 +21,7 @@ Université Côte d'Azûr \subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique} % Emmanuel Militon -Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \mid n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes. +Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \suchthat n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes. Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme diff --git a/contents/number_theory.tex b/contents/number_theory.tex index ad81d06..3bcba35 100644 --- a/contents/number_theory.tex +++ b/contents/number_theory.tex @@ -55,7 +55,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme -$\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$ +$\N_{2} = \{2n \suchthat n \in \N\}$ Ou @@ -129,7 +129,7 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$ \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers} %TODO Complete section -$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$ +$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land \gcd(p, q) = 1$ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$ @@ -399,10 +399,10 @@ Il existe une infinité de nombres premiers. \begin{proof} -\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}% +\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}% {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.} -Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$ +Let $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$ $\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$ @@ -412,7 +412,7 @@ $\implies \card{P} = \infty$ \end{proof} -\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality} +\langsubsection{Irrationalité}{Irrationality} \langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square} @@ -427,7 +427,7 @@ The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$ -$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$ +$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$ $\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$ @@ -443,7 +443,7 @@ $\implies b^2 = pc^2$ $\implies p \divides b$ -$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \implies \bot$ +$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a,b)=1) \implies \bot$ $\implies \sqrt{p} \notin \Q$ diff --git a/contents/set_theory.tex b/contents/set_theory.tex index 952c08d..dbcf8c7 100644 --- a/contents/set_theory.tex +++ b/contents/set_theory.tex @@ -46,7 +46,7 @@ $(a, b)_K := \{\{a\}, \{a, b\}\}$ Unite all elements of two given sets into one. \begin{definition_sq} \label{definition:set_union} -$A \union B := \{x \mid (x \in A \lor x \in B)\}$ +$A \union B := \{x \suchthat (x \in A \lor x \in B)\}$ \end{definition_sq} Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Cat(\Set)^2, \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$ @@ -89,9 +89,9 @@ The axiom of choice implies the law of excluding middle. Assume that $0 \ne 1$ (or any two elements that are not equal), Let $\Omega := \{0, 1\}$, $p \in \mathbf{Prop}$ -$A := \{ x \in \Omega \mid x = 0 \lor p \}$ +$A := \{ x \in \Omega \suchthat x = 0 \lor p \}$ -$B := \{ y \in \Omega \mid y = 1 \lor p \}$ +$B := \{ y \in \Omega \suchthat y = 1 \lor p \}$ $\implies 0 \in A \land 1 \in B$ @@ -115,10 +115,10 @@ So by proof by cases $(p \lor \lnot p)$ which is the law of excluded middle \ref Unite all common elements of two given sets into one. \begin{definition_sq} \label{definition:set_intersection} -$A \intersection B := \{x \mid (x \in A \land x \in B)\}$ +$A \intersection B := \{x \suchthat (x \in A \land x \in B)\}$ \end{definition_sq} -Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$ +Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$ Example : @@ -136,10 +136,10 @@ $A \intersection B = \{c_0, \cdots, c_n\}$ Exclude elements of a set from a set \begin{definition_sq} \label{definition:set_difference} -$A \setminus B := \{x \mid (x \in A \land x \notin B)\}$ +$A \setminus B := \{x \suchthat (x \in A \land x \notin B)\}$ \end{definition_sq} -Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$ +Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$ \langsection{Fonction}{Function} diff --git a/packages/macros.sty b/packages/macros.sty index 2aa364f..c16f3c0 100644 --- a/packages/macros.sty +++ b/packages/macros.sty @@ -68,6 +68,7 @@ \newcommand{\subseteqpart}{\fbox{$\subseteq$}} \newcommand{\Lsubseteqpart}{\fbox{$\supseteq$}} \DeclareMathOperator{\divides}{\mid} +\DeclareMathOperator{\suchthat}{\mid} \DeclareMathOperator{\suchas}{\text{\lang{tel que}{such as}}} \renewcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3} \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}