From 580318ac13d8736f640d0c3b2961eef3aa85925c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Wed, 12 Feb 2025 22:02:26 +0100 Subject: [PATCH] contents/algebra.tex : Space formatting --- contents/algebra.tex | 24 ++++++++++++------------ 1 file changed, 12 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index 04feb86..32cd032 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -152,24 +152,24 @@ Source : \citeannexes{wikipedia_ring} \section{Matrices} %TODO Complete section -Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. +Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix} - Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$. + Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$. \end{definition_sq} \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix} - La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$ + La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i, j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i, j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$ \end{definition_sq} \subsection{Trace} %TODO Complete subsection -$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum\limits_{k=0}^na_{kk}$ +$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A) = \sum\limits_{k = 0}^na_{kk}$ -$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$ +$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K), \K)$ -$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$ +$\forall(A, B)\in\mathcal{M}_{n, p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p, n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$ \langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues} %TODO Complete subsection @@ -178,7 +178,7 @@ $\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr( Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$ -$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$ +$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2 - det(A)}$ \langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors} %TODO Complete subsection @@ -225,7 +225,7 @@ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ \langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality} %TODO Complete subsection -$det(M) \in \{-1,1\}$ +$det(M) \in \{-1, 1\}$ \subsection{Triangulation} %TODO Complete subsection @@ -251,11 +251,11 @@ $a \in Tr_n$ \end{proof} \begin{theorem_sq} - Pour tout $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$. + Pour tout $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$. \end{theorem_sq} \begin{proof} - Soit $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors, + Soit $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors, $$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$ @@ -306,7 +306,7 @@ $a \in Tr_n$ \langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space} %TODO Complete section -Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$ +Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$ \begin{itemize} \item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$} @@ -355,7 +355,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = \langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space} %TODO Complete subsection -Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes : +Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (parfois notée « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes : \begin{itemize} \item{$F \ne \emptyset$}