diff --git a/contents/dynamic_systems.tex b/contents/dynamic_systems.tex
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@@ -34,12 +34,45 @@ avec $0 < \lambda \le 4$.
 
 Pour l'instant, nous nous intéressont à la fonction suivante :
 
-$$\function{T_b}{[0, 1[}{[0, 1[}$$
+$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
 $$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
-$$\functiondef{z \in \C, \abs{z} = 1}{z^2}$$
 
-En écrivant $x \in [0, 1[$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
-$$x = \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} = 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_m \cdots$$
+Par induction sur le nombre d'application successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$
+
+En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
+$$x
+	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i}
+	= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_m \cdots$$
 avec $\forall i \in N^*, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
-$$T_b(x) = b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} \mod 1 = d_1 \sum\limits_{i = 2}^{+\infty} \frac{d_{i - 1}}{b^{i - 1}} \mod 1 = \sum\limits_{j = 1}^{+\infty} \frac{d_j}{b^j} =  0. d_2 d_3 d_4 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
-Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Par induction sur le nombre d'application successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$, donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicités des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécéssairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
+$$T_b(x)
+	= b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} \mod 1
+	= d_1 \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^i} \mod 1
+	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^i} \mod 1
+	= 0. d_2 d_3 d_4 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
+Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicités des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécéssairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
+
+\begin{theorem_sq}
+	Le tuple $([0, 1], d)$ avec la fonction $d$ défini comme :
+	$$\function{d}{[0, 1]^2}{\R_+}$$
+	$$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}}$$
+	est un espace métrique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est nul pour la distance un élément et lui même, symétrique et respecte l'inégalité triangulaire. Comme cette fonction est basé sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates :
+	\begin{itemize}
+		\item{Nul avec un élément et lui même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x)
+			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{0}{b^i}
+			= 0$}
+		\item{Symétrie : $\forall (x, y) \in [0, 1]^2, d(x, y)
+			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^i}
+			= d(y, x)$}
+		\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in [0, 1]^3, d(x, y)
+			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}
+			\le \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^i}
+			= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^i} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^i}
+			= d(x, z) + d(z, y)$}
+	\end{itemize}
+\end{proof}