From 79b578ad5950b734c4d29d2befde89f62c60804c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Sun, 9 Feb 2025 22:13:49 +0100 Subject: [PATCH] Added contents/complex_analysis.tex --- contents/complex_analysis.tex | 122 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ main.tex | 1 + 2 files changed, 123 insertions(+) create mode 100644 contents/complex_analysis.tex diff --git a/contents/complex_analysis.tex b/contents/complex_analysis.tex new file mode 100644 index 0000000..8b272ec --- /dev/null +++ b/contents/complex_analysis.tex @@ -0,0 +1,122 @@ +\langchapter{Analyse Complexe}{Complex Analysis} + +L'analyse complexe vise à utiliser les outils d'analyse réels dans le corps des complexes comme les suites, dérivés, intégrales etc. + +\langsection{Définition du corps des complexes}{Definition of the complex field} + +Les nombres complexes sont soit définis comme un tuple de $\R^2$ avec un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ avec la fonction $f$ suivante : + +\begin{paracol}{2} +$$\function{f}{\R^2}{\C}$$ +$$\functiondef{(a, b)}{a + ib}$$ +\switchcolumn +$$\function{p}{\R_+ \cartesianProduct \R/2\pi}{\C}$$ +$$\functiondef{(r, \theta)}{r e^{i \theta}}$$ +\end{paracol} + +\begin{paracol}{2} + +On dit alors que la partie $a$ est la \textbf{partie réelle} et $b$ la \textbf{partie imaginaire} et cette représentation est la \textbf{forme rectangulaire} du nombre complexe, on peut également utiliser la représentation en \textbf{forme polaire} de la fonction $p$ + +Selon le contexte, on peut écrire les nombres complexes sous leur forme canonique (typiquement notée $z$) ou dans sa forme aux parties réelle et imaginaire. Également, les nombres complexes peuvent être représentées dans un plan cartésien de base $(1, i)$. + +\switchcolumn + +\[\begin{tikzpicture} + \begin{scope}[thick,font=\scriptsize] + % (1, 2) point + \path [fill, semitransparent] (0.8, 1.7) circle (0.05); + \node [below right] at (0.8, 2) {$0.8 + 1.7i$}; + \draw [gray,thick] (0, 1.7) -- (0.8, 1.7); + \draw [gray,thick] (0.8, 0) -- (0.8, 1.7); + + % (1.2 -sqrt{2}) point + \path [fill, semitransparent] (1.2, -1.4) circle (0.05); + \node [below right] at (1.2, -1.4) {$1.2 - 1.4i$}; + \draw [gray,thick] (0, 0) -- (1.2, -1.4); + \draw [gray,thick,domain=0:-50] plot ({cos(\x) / 2.2}, {sin(\x) / 2.2}); + + % (-1, -1) point + \path [fill, semitransparent] (-1, -1) circle (0.05); + \node [below left] at (-1, -1) {$-1 - i$}; + \draw [gray,thick] (0, -1) -- (-1, -1); + \draw [gray,thick] (-1, 0) -- (-1, -1); + + % (-1.7 2.3) point + \path [fill, semitransparent] (-1.2, 2.3) circle (0.05); + \node [above left] at (-1.2, 2.3) {$-1.2 + 2.3i$}; + \draw [gray,thick] (0, 0) -- (-1.2, 2.3); + \draw [gray,thick,domain=0:117] plot ({cos(\x) / 1.6}, {sin(\x) / 1.6}); + + % Axes + \draw [->] (-3, 0) -- (3, 0) node [above left] {$\Re(z)$}; + \draw [->] (0, -3) -- (0, 3) node [below right] {$\Im(z)$}; + + % Axes label + \foreach \n in {-2,-1,1,2}{% + \draw (\n, -3pt) -- (\n, 3pt) node [above] {$\n$}; + \draw (-3pt, \n) -- (3pt, \n) node [right] {$\n i$}; + } + \end{scope} +\end{tikzpicture}\] + +\end{paracol} + +Ces parties peuvent également être extraites avec les fonctions suivantes : + +\begin{paracol}{2} +$$\function{\Re}{\C}{\C}$$ +$$\functiondef{(a, b)}{a}$$ +\switchcolumn +$$\function{\Im}{\C}{\C}$$ +$$\functiondef{(a, b)}{b}$$ +\end{paracol} + +\begin{theorem_sq} + $\C \isomorphic \R^2$ +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Posons la fonction $g$ suivante : + $$\function{g}{\C}{\R^2}$$ + $$\functiondef{z}{(\Re(z), \Im(z))}$$ + On peut en conclure en utilisant la fonction $f$ précédente les propositions suivantes : + $$f \composes g \composes \Identity_\C \equivalence \forall z \in \C, f(g(z)) = f((a, b)) = z$$ + $$g \composes f \composes \Identity_{\R \cartesianProduct \R} \equivalence \forall (a, b) \in \R^2, g(f((a, b))) = g(z) = (a, b)$$ +\end{proof} + +Nous pouvons ensuite définir les opérations $(+)$ et $(\cdot)$ prenant les propriétés du corps analogue des réels + +\begin{paracol}{2} +$$\function{(+)}{\C^2}{\C}$$ +$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(a + c) + i(b + d)}$$ +\switchcolumn +$$\function{(\cdot)}{C^2}{\C}$$ +$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(ac - bd) + i(ad + bc)}$$ +\end{paracol} + +\begin{theorem_sq} + $(\C, +, \cdot)$ est un corps commutatif \ref{definition:commutative_field}. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Soit $(\C, +, \cdot)$, les propriétés sont directement héritées de $\R^2$. + % TODO Add proof details +\end{proof} + +\begin{theorem_sq} + $\C$ est un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} de dimension \ref{definition:vector_space_dimension} 1. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + Les propriétés sont directement héritées de l'espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $\R^2$. + % TODO Add proof details +\end{proof} + +\langsection{Fonctions holomorphes}{Holomorphic functions} + +Avant de définir les fonctions holomorphes, il est nécessaire de faire un pas de côté en étudiant les formes $\C$-linéaires \ref{definition:linear_map}. +\begin{theorem_sq} + Les formes $\C$-linéaires sont de la forme + $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ +\end{theorem_sq} diff --git a/main.tex b/main.tex index f540333..1bc26bd 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -75,6 +75,7 @@ De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce n \input{contents/algebra_dm2} \input{contents/trigonometry} \input{contents/differentiability} +\input{contents/complex_analysis} \input{contents/differential_equations} \input{contents/measure_theory} \input{contents/suites}