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packages/macros.sty : Added convinences macros

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2024-11-07 05:29:13 +01:00
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@@ -33,8 +33,8 @@ On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
$n \in \N^*, E = \R^n$
\begin{itemize}
\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n \abs{x_i}$}
\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n x^2_i}$}
\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i=0}^n \abs{x_i}$}
\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=0}^n x^2_i}$}
\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_0}, \dots, \abs{x_n}\}$}
\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$}
\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
@@ -100,7 +100,7 @@ Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’élé
Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
\\
Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
\\
@@ -156,7 +156,7 @@ $K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
$K$ est compact
\\
Soit $\epsilon > 0$ \&\& $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
@@ -170,7 +170,7 @@ $\implies K$ possède un point d'accumulation
$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
\end{lemme_sq}
Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
\paragraph{Si $X$ est fini}