From b517b6318c4df4250fd5069a705210cf4ebba380 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: saundersp <pierre.saundersgb@gmail.com>
Date: Sun, 30 Mar 2025 22:44:27 +0200
Subject: [PATCH] contents/ring_theory.tex : Added ideal, ring morphism kernel
 definition and associated theorems

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 contents/ring_theory.tex | 35 +++++++++++++++++++++++++++++++++++
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diff --git a/contents/ring_theory.tex b/contents/ring_theory.tex
index a943540..cfe18f0 100644
--- a/contents/ring_theory.tex
+++ b/contents/ring_theory.tex
@@ -18,6 +18,37 @@
 	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $S \subseteq R$ est un \textbf{sous-anneau} si $(S, +, \star)$ est un anneau.
 \end{definition_sq}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:ideal}
+	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $I \subseteq R$ est un \textbf{idéal} si $(I, +)$ est un groupe et $\forall x \in I, \forall y \in R, \{ x \star y, y \star x \} \subset I$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ un homomorphisme.
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$\ker f \subset R$ est un idéal}
+		\item{$im f \subset S$ est un sous-anneau}
+	\end{itemize}
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ est un monomorphisme si et seulement si $\ker f = \{ 0 \}$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Soit $(R, +, \star)$ et $I \subset R$ un idéal. On définit \textbf{l'anneau quotient} $\function{q}{R}{R/I}$ le quotient du groupe abélien $(R, +)$ par le sous-groupe $I$.
+\end{definition_sq}
+
 \begin{definition_sq} \label{definition:ring_unit}
 	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un élément $x \in R$ est dit \textbf{inversible} (on dit aussi que $x$ est une \textbf{unité}) s'il existe $y \in R$ tel que $x \star y = y \star x = \Identity_\star$
 
@@ -36,6 +67,10 @@
 	$$\phi(\Identity_{\cartesianProduct_R}) = \Identity_{\cartesianProduct_S}$$
 \end{definition_sq}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism_kernel}
+	Soit $(R, +, \star)$ et $(S, +, \star)$ ainsi que d'un morphisme d'anneau $\function{\phi}{R}{S}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ x \in R \suchthat \phi(x) = \Identity_{+_S} \}$.
+\end{definition_sq}
+
 \begin{theorem_sq}
 	Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$
 	$$\phi(\Identity_{+_R}) = \Identity_{+_S}$$