Moved group theory exercises to contents/group_theory_exo.tex

contents/group_theory.tex

@@ -545,110 +545,3 @@
 	% TODO Complete proof
 \end{proof}
 
-\langsubsubsection{Exercices}{Exercises}
-
-\begin{exercise_sq}
-	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Montrer que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, que cela dit sur les entiers relatifs ?}
-		\item{Est-ce que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(xy) = f(x)f(y)$ est aussi vrai ?}
-	\end{enumerate}
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$.
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$
-
-			Comme tout entier est soit pair ou impair, on peut donc faire une disjonction en 4 cas
-
-			\begin{tabular}{c|c|c|c}
-				$x$ & $y$ & $f(x + y)$ & $f(x)f(y)$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 2y') = f(2(x' + y')) = 1$ & $1 \cdot 1 = 1$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 2y' + 1) = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $1 \cdot -1 = -1$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y') = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $-1 \cdot 1 = -1$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y' + 1) = f(2(x' + y' + 1)) = 1$ & $-1 \cdot -1 = 1$
-			\end{tabular}
-
-			On a donc $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, $f$ est donc un homomorphisme.}
-
-		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$, dans le cas ou $x$ est pair et $y$ est impair, on remarque que $f(xy) = f(2x'(2y' + 1)) = f(2(2x'y' + x')) = 1$ alors que $f(x)f(y) = 1 \cdot -1 = -1$.
-		}
-	\end{enumerate}
-\end{proof}
-
-\begin{exercise_sq}
-	Soit $G$ un groupe d'ordre 4. Supposons que $G$ n'est pas isomorphe au groupe $\Z/4\Z$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z$.
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	\lipsum[2]
-	% TODO: Complete proof
-\end{proof}
-
-\begin{exercise_sq}
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Montrer qu'un élément $\bar{a}$ de $(\Z/n\Z, +)$ est générateur si et seulement s'il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.}
-		\item{Soit $(G, \composes)$ un groupe, Montrer qu'un morphisme de groupe $$\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(G, \composes)}$$ est déterminé par $\varphi(\bar{1})$.}
-		\item{Soit $\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(\Z/n\Z, +)}$ un morphisme. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme si et seulement si $\varphi(\bar{1})$ est générateur.}
-	\end{enumerate}
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	% TODO: Complete proof
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{\impliespart
-
-				Soit $(\Z/n\Z, +) \in \Grp$ et $\bar{a}$ générateur de $\Z/n\Z$, il existe donc $b \in \N^*$ tel que $\sum\limits_{i = 1}^b \bar{a} = 1$, or comme $\card{\generator{\bar{a}}} = n \implies b \le n$.
-
-		$\Limpliespart$
-		}
-	\end{enumerate}
-\end{proof}
-
-\begin{exercise_sq}
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Montrer que l'ensemble $G$ des matrices défini par $$G := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat x, y, z \in \R \right\}$$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$.}
-		\item{Calculer le centre de $G$, c'est-à-dire $$Z(G) = \{ g \in G \suchthat gh = hg \forall h \in G \}$$}
-	\end{enumerate}
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Tous les éléments de $G$ sont des matrices triangulaires supérieures qui sont inversibles, il suffit donc de vérifier chaque axiome d'un sous-groupe.
-
-			\begin{itemize}
-				\item{Soit $A \in G$ tel que $x = y = z = 0 \implies A = \Identity_3 \implies \Identity_3 \in G$}
-				\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
-					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
-					$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
-
-					$AB = \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
-					hors $(x + a, y + az + b, z + c) \in \R^3 \implies AB \in G$}
-				\item{Soit $A \in G, \exists! \inv{A} \in GL_3(\R)$ ainsi que $(a, b, c) \in \R^3$ tel que
-					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ comme
-					$A \inv{A} = \Identity_G \implies \inv{A} =
-					\begin{pmatrix} 1 & -a & ac - b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
-					hors $(-a, ac - b, -c) \in \R^3 \implies \inv{A} \in G$}
-			\end{itemize}
-
-			$G$ est de ce fait un sous-groupe de $GL_3(\R)$.
-		}
-		\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
-			$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
-			$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
-
-			$AB = BA \equivalence \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
-			\begin{pmatrix} 1 & a + x & b + cx + y \\ 0 & 1 & c + z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \equivalence az = cx$
-
-			Pour un $A$ fixé, la seule manière de rendre le produit commutatif pour tout $B$ est de mettre $a = c = 0$
-
-			$\implies Z(G) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat b \in \R \right\}$
-		}
-	\end{enumerate}
-\end{proof}
-