From c27c8dd2559e08a322d943ad91d388ce716ef5a2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: saundersp <pierre.saundersgb@gmail.com>
Date: Sun, 9 Feb 2025 22:13:32 +0100
Subject: [PATCH] contents/differential_equations.tex : Added introductory
 definitions

---
 contents/differential_equations.tex | 31 +++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 27 insertions(+), 4 deletions(-)

diff --git a/contents/differential_equations.tex b/contents/differential_equations.tex
index fafa454..a9e2104 100644
--- a/contents/differential_equations.tex
+++ b/contents/differential_equations.tex
@@ -7,9 +7,32 @@ $$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$
 
 La variable $t$ est appelée la \textit{variable de temps} et la variable $Y$ la \textit{variable d'état} puisqu'elle décrit les différents états du système.
 
-\section{Linéaire homogéne}
-%TODO Complete section
+\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations}
+	On appelle \textbf{équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ d'ordre $n \in \N^*$ d'un corps $\K^N$ de dimension $N \in \N^*$ définie sur $I$ un ouvert de $\R \cartesianProduct (\K^N)^n$ et $\function{f}{I}{\K^N}$ tel que
 
-\section{Non-linéaire homogéne}
-%TODO Complete section
+	$$y^{(n)} = f(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)})$$
 
+	Pour $(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)}) \in I, t \in \R, y \in \K^N$.
+
+	La variable $t$ est appelée \textbf{variable temporelle} et la variable $y$ \textbf{variable d'état}.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations_solution}
+	On appelle \textbf{solution d'équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ un couple $(J, y)$ où $J \subseteq I$ est un intervalle de $\R$ et $y$ une fonction $n$ fois dérivable $\function{y}{J}{\K^N}$ telle que :
+	$$\forall t \in J, (t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t)) \in I$$
+	$$\forall t \in J, y^{(n)}(t) = f(t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t))$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:chauchy_problem}
+	On appelle \textbf{problème de Cauchy} un couple $(t_0, y_0) \in I$ des données initiales consistant à trouver la (ou les) solution(s) $y$ de $(\mathcal{E})$ sur un intervalle $I$ telle(s) que $t_0 \in I$ et $y(t_0) = y_0$. On dit que la condition $y(t_0) = y_0$ est la \textbf{condition initiale} ou \textbf{condition de Cauchy}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsection{Cas linéaire}{Linear case}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:linear_differential_equation}
+	On dit que l'équation différentielle \ref{definition:differential_equations} $y' = f(t, y)$ est une \textbf{équation différentielle linéaire} si $f(t, y) = A(t)y + B(t)$ où $A$ et $B$ sont des fonctions du temps à valeurs respectives dans $M_N(\K)$ et $K^N$. Les autres formes d'équations différentielles sont qualifiées de non linéaires.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:linear_homogenous_differential_equation}
+	Lorsque l'équation différentielle linéaire \ref{definition:linear_differential_equation} $y' = A(t)y + B(t)$ avec $B = 0$ on parle \textbf{d'équation différentielle linéaire homogène} (ou sans second membre). Si $B$ est non identiquement nulle, on parle d'équation différentielle linéaire avec second membre.
+\end{definition_sq}