From c8b77b243593469506a50ef10e41a027e3d38ccd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Sat, 17 Aug 2024 16:15:32 +0200 Subject: [PATCH] Fixed macros usage --- contents/algebra.tex | 10 ++-- contents/category_theory.tex | 2 +- contents/logic.tex | 18 +++---- contents/number_theory.tex | 20 ++++---- contents/set_theory.tex | 2 +- contents/topology.tex | 92 ++++++++++++++++++++---------------- packages/macros.sty | 27 ++++++----- 7 files changed, 90 insertions(+), 81 deletions(-) diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index a0f9625..9c01fb3 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -198,22 +198,18 @@ Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sou \end{itemize} \begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces} - Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalance (F \subset G) \lor (G \subset F)$. + Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$. \end{theorem_sq} \begin{proof} Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. -\begin{centering} -$\implies$ -\end{centering} +\impliespart $(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$. -\begin{centering} -$\Leftarrow$ -\end{centering} +\Limpliespart $(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$ diff --git a/contents/category_theory.tex b/contents/category_theory.tex index f1a2aa9..870104f 100644 --- a/contents/category_theory.tex +++ b/contents/category_theory.tex @@ -5,7 +5,7 @@ Category is a general theory of mathematical structures and their relations. \langsection{Définition}{Definition} -A category $C$ is a collection of objects and morphisms +A category $\Cat$ is a collection of objects and morphisms \langsection{Morphismes}{Morphisms} %TODO Complete section diff --git a/contents/logic.tex b/contents/logic.tex index 39ca561..8414dfd 100644 --- a/contents/logic.tex +++ b/contents/logic.tex @@ -6,9 +6,9 @@ La logique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des variables \langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle} -$\true \equivalance \lnot \false$ +$\true \equivalence \lnot \false$ -$\false \equivalance \lnot \true$ +$\false \equivalence \lnot \true$ \langsection{Relation Binaires}{Binary relations} %TODO Complete section @@ -21,12 +21,12 @@ Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\fo \langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity} % TODO Complete subsection -Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b \land b \Rel c \equivalance a \Rel c$. +Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b \land b \Rel c \equivalence a \Rel c$. \langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity} % TODO Complete subsection -Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, (a \Rel b) \Rel c \equivalance a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$. +Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$. \langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity} % TODO Complete subsection @@ -39,7 +39,7 @@ Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\f \langsubsection{NON}{NOT} % TODO Complete subsection -$P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$ +$P \equivalence \lnot \lnot P$ \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} @@ -56,7 +56,7 @@ $P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$ \langsubsection{ET}{AND} %TODO Complete subsection -$P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$ +$P \land Q \equivalence \lnot P \lor \lnot Q$ \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline @@ -75,7 +75,7 @@ $P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$ \langsubsection{OU}{OR} % TODO Complete subsection -$P \lor Q \equivalance \lnot P \land \lnot Q$ +$P \lor Q \equivalence \lnot P \land \lnot Q$ \medskip @@ -118,7 +118,7 @@ $\lnot Q \implies \lnot P$ \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline - P & Q & P $\equivalance$ Q \\ + $P$ & $Q$ & $P \equivalence Q$ \\ \hline \false & \false & \true \\ \hline @@ -133,7 +133,7 @@ $\lnot Q \implies \lnot P$ \langsubsection{OU exclusif / XOR}{Exclusive OR / XOR} %TODO Complete subsection -$P \oplus Q \equivalance (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$ +$P \oplus Q \equivalence (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$ \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline diff --git a/contents/number_theory.tex b/contents/number_theory.tex index 08ed667..6f3ba3c 100644 --- a/contents/number_theory.tex +++ b/contents/number_theory.tex @@ -55,12 +55,10 @@ L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible. De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie. -\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} +\begin{proof} La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme -\medskip - $\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$ Ou @@ -69,7 +67,7 @@ $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$ $\functiondef{n}{2n}$ -\medskip +\end{proof} On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante : @@ -112,7 +110,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la t L'ensemble $\Z$ est dénombrable. \end{theorem_sq} -\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} +\begin{proof} \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png} @@ -122,7 +120,7 @@ $\function{f}{\Z}{\N}$ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$ -\medskip +\end{proof} \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers} %TODO Complete section @@ -153,7 +151,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombra L'ensemble $\Q$ est dénombrable. \end{theorem_sq} -\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} +\begin{proof} \begin{center} \includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png} @@ -163,9 +161,11 @@ $P_i$ sont des nombres premiers. $\function{f}{\Q}{\N}$ -$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$ +$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{\abs{p}} + 1}P_2^pP_3^q}$ -\medskip +\end{proof} + +\end{proof} \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers} %TODO Complete section @@ -315,7 +315,7 @@ Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujour Il existe une infinité de nombres premiers. \end{theorem_sq} -\langsubsubsection{Démonstration}{Proof} +\begin{proof} \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}% {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.} diff --git a/contents/set_theory.tex b/contents/set_theory.tex index dd4c615..b5316a4 100644 --- a/contents/set_theory.tex +++ b/contents/set_theory.tex @@ -47,7 +47,7 @@ $A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$ \subsection{Power set} %TODO Complete subsection -For a set $S$ such that $|S| = n \Leftrightarrow \mathbf{P}(S) = 2^n$ +For a set $S$ such that $\card{S} = n \equivalence \card{\mathbf{P}(S)} = 2^n$ \langsubsection{Choix}{Choice} %TODO Complete subsection diff --git a/contents/topology.tex b/contents/topology.tex index 2d0d38d..1649250 100644 --- a/contents/topology.tex +++ b/contents/topology.tex @@ -19,8 +19,8 @@ $\function{\norm{.}}{E}{\R}$ \begin{itemize} \item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$} - \item{$\norm{x} \equivalance x = 0$} - \item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = |\lambda|\norm{x}$} + \item{$\norm{x} \equivalence x = 0$} + \item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$} \item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire) \end{itemize} @@ -33,10 +33,10 @@ On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}. $n \in \N^*, E = \R^n$ \begin{itemize} - \item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n |x_i|$} + \item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n \abs{x_i}$} \item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n x^2_i}$} - \item{$\norm{x}_\infty = \max\{|x_0|, \dots, |x_n|\}$} - \item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 |P(x)|dx$} + \item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_0}, \dots, \abs{x_n}\}$} + \item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$} \item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$) \item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$} \end{itemize} @@ -102,7 +102,7 @@ Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$. Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$ -$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ +$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ \\ Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que @@ -112,13 +112,13 @@ $\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$ Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$ -$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$ +$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$ -$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$ +$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$ -$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ +$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ -$\Rightarrow (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$. +$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$. Par unicité de la limite nous pouvons conclure. @@ -132,25 +132,25 @@ Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné. Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$. -$\Leftrightarrow \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$. +$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$. -$\Leftrightarrow (x_n)$ est fermée. +$\equivalence (x_n)$ est fermée. \begin{theorem_sq} \label{theorem_2} -Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \|.\|)$ qui converge en $l \in E$ est fermée. +Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée. \end{theorem_sq} \subsection{Exercice 2} -Soit $(E, \|.\|)$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble. +Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble. Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$. \begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1] -Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \|.\|)$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$. +Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$. \end{definition_sq} \begin{lemme_sq} -$K$ est compact $\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation. +$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation. \end{lemme_sq} $K$ est compact @@ -158,40 +158,40 @@ $K$ est compact Soit $\epsilon > 0$ \&\& $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$ -$\Rightarrow \exists l \in K$ tel que $\lim_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$ +$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$ -$\Rightarrow \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$ +$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$ -$\Rightarrow l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$ +$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$ -$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation +$\implies K$ possède un point d'accumulation \begin{lemme_sq} -$K$ possède un point d'accumulation. $\Rightarrow K$ est compact. +$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact. \end{lemme_sq} Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$ \paragraph{Si $X$ est fini} -$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur. +$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur. -$\Rightarrow X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$ +$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$ -$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation +$\implies K$ possède un point d'accumulation \paragraph{Si $X$ est infini} -$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$ +$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$ En fixant $l \in X$, -$\Rightarrow$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$ +$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$ -$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation +$\implies K$ possède un point d'accumulation \begin{theorem_sq} -$K \subset (E, \|.\|)$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \Leftrightarrow K$ est compact. +$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact. \end{theorem_sq} \subsection{Exercice 3} @@ -201,9 +201,9 @@ Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$ Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée -$\Rightarrow$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$ +$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$ -$\Rightarrow$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants. +$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants. \begin{theorem_sq} Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum. @@ -212,37 +212,45 @@ Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimu \subsection{Exercice 4} Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si -$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \|x_{n_1} - x_{n_2} \| \le \epsilon$$ +$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$ Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}). \\ \begin{lemme_sq} -Si une suite est de Cauchy $\Rightarrow$ la suite est convergente. +Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente. \end{lemme_sq} +\begin{proof} + En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas. -$\Rightarrow \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$ +$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$ -$\Rightarrow \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N$ \&\& $j \le N$, $\|x_i - x_j\| > \epsilon$ +$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$ -$\Rightarrow$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy. +$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy. + +\end{proof} \begin{lemme_sq} -Si une suite est convergente $\Rightarrow$ la suite est de Cauchy. +Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy. \end{lemme_sq} -Soit \suite{x} $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$ +\begin{proof} -$\Rightarrow \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$ +Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$ -$\Rightarrow \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ \&\& $x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ +$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$ -$\Rightarrow \|x_i - x_j\| < \epsilon$ +$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ -$\Rightarrow (x_n)$ est une suite de Cauchy. +$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$ + +$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy. + +\end{proof} \begin{theorem_sq} -Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\Leftrightarrow$ $(x_n)$ est convergente. +Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente. \end{theorem_sq} diff --git a/packages/macros.sty b/packages/macros.sty index ca88f6a..daa8d55 100644 --- a/packages/macros.sty +++ b/packages/macros.sty @@ -15,6 +15,7 @@ \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rational numbers symbol \newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Real numbers symbol \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Complex numbers symbol +\newcommand{\Cat}{\mathcal{C}} % Category \newcommand{\K}{\mathbb{K}} % Corps \newcommand{\Hq}{\mathbb{H}} % Quaternions numbers symbol \newcommand{\Ot}{\mathbb{O}} % Octonions numbers symbol @@ -25,25 +26,29 @@ %\newcommand{\false}{F} % New symbol for false value %\newcommand{\true}{V} % New symbol for true value \DeclareMathOperator{\Rel}{\mathcal{R}} % New symbol for binary relations -\newtheorem{definition}{Définition} -%\newtheorem{definition}{Definition} -\newtheorem{theorem}{Théorème} -%\newtheorem{theorem}{Theoreme} +\DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|} +\DeclarePairedDelimiter{\card}{|}{|} +\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor} +\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter{\fractional}{\{}{\}} +\newtheorem{definition}{\lang{Définition}{Definition}} +\newtheorem{theorem}{\lang{Théorème}{Theoreme}} \newtheorem{lemme}{Lemme} -%\newtheorem{lemme}{Lemme} \newcommandx{\suite}[3][1=n,2=n]{$(#3_{#1})_{#2 \in \N}$} \newenvironment{definition_sq}{\begin{mdframed}\begin{definition}}{\end{definition}\end{mdframed}} \newenvironment{theorem_sq}{\begin{mdframed}\begin{theorem}}{\end{theorem}\end{mdframed}} \newenvironment{lemme_sq}{\begin{mdframed}\begin{lemme}}{\end{lemme}\end{mdframed}} \newcommand{\norm}[1]{\|#1\|} -\newcommand{\equivalance}{\Leftrightarrow} -\renewcommand{\implies}{\Rightarrow} -\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{tel que}} -%\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{such as}} +\newcommand{\equivalence}{\Leftrightarrow} +\renewcommand{\implies}{\Longrightarrow} +\newcommand{\Limplies}{\Longleftarrow} +\newcommand{\impliespart}{\fbox{$\implies$}} +\newcommand{\Limpliespart}{\fbox{$\Limplies$}} +\DeclareMathOperator{\divides}{\mid} +\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{\lang{tel que}{such as}}} \renewcommand{\function}[3]{#1 : #2 \longrightarrow #3} \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2} -\newcommand{\otherwise}{\text{Sinon}} -%\newcommand{\otherwise}{\text{Otherwise}} +\newcommand{\otherwise}{\text{\lang{Sinon}{Otherwise}}} \DeclareMathOperator{\union}{\cup} \renewcommand{\smallskip}{\vspace{3pt}}