From cbe308698c421a5700982956015da1f75a31fcef Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Tue, 3 Dec 2024 19:43:20 +0100 Subject: [PATCH] contents/differentiability.tex : Added some basics properties and definitions --- contents/differentiability.tex | 152 ++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 151 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/contents/differentiability.tex b/contents/differentiability.tex index 097ac1e..4465b9f 100644 --- a/contents/differentiability.tex +++ b/contents/differentiability.tex @@ -1,9 +1,159 @@ \langchapter{Différentiabilité}{Differentiability} %TODO Complete chapter -\langsection{Axiomes}{Axioms} +Une fonction $\function{f}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$ si le taux d'accroissement $T = \lim\limits_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, si la limite existe $f'=T$ +\label{definition:derivative} + +$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \equivalence \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ + +\begin{proof} + +Let $f = \lim\limits_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ and $h = x - a$ + +$\equivalence \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ +\end{proof} + +\langsection{Propriétés}{Proprieties} %TODO Complete section +$f$ est dérivable sur un intervale $I \implies f \in C^1$. + +Remarque : La réciproque est fausse, voir les fonctions de Weierstrass. + +\langsection{Dérivé de fonctions usuelles}{Dérivative of usuals functions} + +\langsubsection{Somme/Soustraction}{Sum/Difference} + +Let $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(f + g)' = f' + g'$ ainsi que $(f - g)' = f' - g'$ + +\begin{proof} +$(f + g)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{[f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = f' + g'$ +\end{proof} + +With a similar argument, $(f - g)' = f' - g'$ + +\langsubsection{Produit}{Product} + +Let $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(fg)' = f'g + fg'$ + +\begin{proof} + +$\implies (fg)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h}$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x + h)g(x)}{h}$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h)[g(x + h) - g(x)] + g(x)[f(x + h) - f(x)]}{h}$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} f(x + h) \frac{g(x + h) - g(x)}{h} + g(x) \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ + +$\implies f'g + fg'$ + +\end{proof} + +\langsubsection{Division}{Quotient} + +Soit $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g + fg'}{g^2}$ + +\begin{proof} + +$\implies (\frac{f}{g})' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{f(x + h)}{g(x + h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h)}{g(x)g(x + h)h}$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ \frac{g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h)}{h} ]$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ \frac{g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h) + f(x)g(x) - f(x)g(x)}{h} ]$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ \frac{g(x)[f(x + h) - f(x)] + f(x)[g(x + h) - g(x)]}{h} ]$ + +$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ g(x)\frac{[f(x + h) - f(x)]}{h} + f(x)\frac{[g(x + h) - g(x)]}{h} ]$ + +$\implies \frac{f'g + fg'}{g^2}$ + +\end{proof} + +\subsection{Composition} + +Soit $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(f \composes g(x))' = f' \composes g(x) + g'(x)$ + +\begin{proof} + +\lipsum[3] + +\end{proof} + +\langsubsection{Exponentiel}{Exponential} + +\subsubsection{Base e} + +Soit $x \in R$ et $\function{f}{\R}{\R}, (e^{f(x)})' = f'(x)e^{f(x)}$ + +\begin{proof} + \lipsum[3] +\end{proof} + +\langsubsubsection{Base arbitraire}{Arbitrary base} + +Soit $x \in \R, b \in \R^*$ et $\function{f}{\R}{\R}, (b^{f(x)})' = f'(x)b^{f(x)}$ + +\begin{proof} + Soit $x \in \R, b \in \R^*$ et $\function{f}{\R}{\R}$ + + Il y plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines : + + \textbf{Preuve par calcul de limite} + + $$(b^{f(x)})' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{b^h - 1}{h}$$ %TODO Complete proof (find ln trhough limits) + + \textbf{Preuve par la dérivé de $e^{f(x)}$} + + $$(b^{f(x)})' = (e^{f(x)\ln(b)})'$$ + By the chain rule + $$e^{f(x)\ln(b)} f(x)'\ln(b) = f(x)'\ln(b)b^{f(x)}$$ +\end{proof} + +\langsubsection{Logarithme}{Logarithm} + +\subsubsection{Base e} + +Soit $x \in R^*_+, (\ln(x))' = \frac{1}{x}$ + +\begin{proof} + Il y plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines : + + \textbf{Preuve par instantiation} + + Soit $x \in R^*_+$, posons $\frac{d}{dx} x = 1$ + $$\implies \frac{d}{dx} e^{\ln(x)} = 1$$ + By the chain rule + $$e^{\ln(x)} \frac{d}{dx} \ln(x) = 1 \implies x \frac{d}{dx} \ln(s) = 1 \implies \frac{d}{dx} \ln(s) = \frac{1}{x}$$ + + \textbf{Preuve par dérivé implicite} + + Soit $x \in R^*_+$, posons $y = \ln{x}$ + $$\implies e^y = x \implies \frac{dy}{dx} e^y = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{e^{\ln(x)}} \implies \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$$ +\end{proof} + +\langsubsubsection{Base arbitraire}{Arbitrary base} + +Soit $x \in R^*_+, (\log_b(x))' = \frac{1}{x \ln(b)}$ + +\begin{proof} + Il y plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines : + + \textbf{Preuve par instantiation} + + Soit $x \in R^*_+$, posons $\frac{d}{dx} x = 1$ + $$\implies \frac{d}{dx} b^{\log_b(x)} = 1$$ + By the chain rule + $$\ln(s) b^{\log_b(x)} \frac{d}{dx} \log_b(x) = 1 \implies x \ln(b) \frac{d}{dx} \log_b(s) = 1 \implies \frac{d}{dx} \log_b(s) = \frac{1}{x\ln(b)}$$ + + \textbf{Preuve par dérivé implicite} + + Soit $x \in R^*_+$, posons $y = \log_b{x}$ + $$\implies b^y = x \implies \ln(b) \frac{dy}{dx} b^y = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(b)b^y} = \frac{1}{\ln(b)b^{\log_b(x)}} \implies \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)}$$ +\end{proof} + \section{Extremums} %TODO Complete section