diff --git a/contents/algebra.tex b/contents/algebra.tex index 89f4fdb..e95c6c3 100644 --- a/contents/algebra.tex +++ b/contents/algebra.tex @@ -12,17 +12,17 @@ Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\s Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$. -\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid} +\subsection{Monoïde} \label{definition:monoid} Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}. \langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group} -Soit un monoïd \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$. +Soit un monoïde \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$. \langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group} -Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}. +Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}. \langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field} @@ -35,7 +35,7 @@ Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesi \langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field} -Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}. +Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}. \langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring} %TODO Complete subsection @@ -43,7 +43,7 @@ Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition \section{Matrices} %TODO Complete section -Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. +Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix} Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$. @@ -207,7 +207,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = \langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis} \begin{definition_sq} -Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$ +Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$ \end{definition_sq} \subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension} @@ -285,7 +285,7 @@ Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$ \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} -Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants : + Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants : $u,v,w \in E, a \in K$ @@ -301,41 +301,45 @@ $u,v,w \in E, a \in K$ \langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms} -Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants : +Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants : \begin{itemize} - \item{Symétrie: $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$} - \item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$} + \item{Symétrie : $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$} + \item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$} \end{itemize} -\langsubsection{Norme réel}{Real norm} +\langsubsection{Norme réelle}{Real norm} \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} -Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants : +Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants : \begin{itemize} - \item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} - \item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$} - \item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} + \item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} + \item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$} + \item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} \end{itemize} \langsubsection{Norme complexe}{Complex norm} \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} -Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants : +Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respecte les axiomes suivants : \begin{itemize} - \item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} - \item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$} - \item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} + \item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} + \item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$} + \item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} \end{itemize} \langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space} -A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien. +\begin{definition_sq} \label{definition:prehilbertian_space} +Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ noté comme un tuple $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un \textbf{espace pré-hilbertien}. +\end{definition_sq} \langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space} -Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie. +\begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space} + Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie. +\end{definition_sq} diff --git a/contents/differential_equations.tex b/contents/differential_equations.tex index bff0f26..fafa454 100644 --- a/contents/differential_equations.tex +++ b/contents/differential_equations.tex @@ -1,9 +1,7 @@ -\langchapter{Équations Différentiel}{Differential Equations} +\langchapter{Équations différentielles}{Differential equations} %TODO Complete chapter -Une équation différentiel est une équation dont les inconnu sont des fonctions par rapport à ces dérivés. - -Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle +Une équation différentielle est une équation dont les inconnus sont des fonctions par rapport à ces dérivés. Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle $$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$ diff --git a/contents/suites.tex b/contents/suites.tex index ae9aa81..1e26bc7 100644 --- a/contents/suites.tex +++ b/contents/suites.tex @@ -1,30 +1,29 @@ \langchapter{Suites}{Sequence} -\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est noté \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être défini de plusieurs manières :}% +\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est notée \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être définie de plusieurs manières :}% {A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :} \begin{itemize} - \item{\lang{Par énumeration}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$} + \item{\lang{Par énumération}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$} \item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$} \item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$} \end{itemize} \begin{definition_sq} - \lang{Une suite dite \textbf{arithmétique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la raison de la suite.}% + \lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{arithmétique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}% {An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.} \end{definition_sq} -Remarque: Une suite arithmétique est le phénoméne discret d'une progression linéaire. +\textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire. \begin{definition_sq} - \lang{Une suite dite \textbf{géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \times q$ avec $q \in E(\times)$ appelé la raison de la suite.}% - {A geometric sequence is defined by $$ } + \lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}% \end{definition_sq} -Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression exponentielle. +\textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle. \begin{definition_sq} - \lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \times u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\times) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}% + \lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}% {A geometric sequence is defined by $$ } \end{definition_sq} @@ -35,20 +34,20 @@ Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression e $$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$ \end{definition_sq} -\lang{Lorsque l'on tends $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.} +\lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.} \begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence} Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$ $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$ - Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$. + Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$. \end{definition_sq} -Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition. +\textit{Remarque} : Toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition. \begin{proof} Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$. - \suite{u} est une suite de Cauchy mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$ + \suite{u} est une suite de Cauchy, mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$ \end{proof} \begin{theorem_sq} @@ -71,23 +70,23 @@ Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est \begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence} Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si $$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$ - Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. + Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. \end{definition_sq} -Remarque: une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$. +Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$. \begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence} Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si $$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$ \end{definition_sq} -Remarque: une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$. +Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$. \begin{definition_sq} - Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\times)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \times u_{n + 1}$. + Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\cartesianProduct)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \cartesianProduct u_{n + 1}$. \end{definition_sq} -\langsubsection{Critére de convergence}{Convergence criteria} +\langsubsection{Critère de convergence}{Convergence criteria} Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$ @@ -99,14 +98,14 @@ Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est tri \langsection{Séries}{Series} -Une série est la somme infini d'une suite donné \suite{u} et est noté $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$ +Une série est la somme infinie d'une suite donné \suite{u} et est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$ -Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commencant à un rang $N \in \N$ peut être représenter par la forme suivante : +Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commençant à un rang $N \in \N$ peut-être représenter par la forme suivante : $\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$ \begin{proof} -Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commencant à un rang $N \in \N$ +Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commençant à un rang $N \in \N$ $$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$ Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$ $$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$ @@ -145,12 +144,12 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert} \begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert} -Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors : +Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors : \begin{itemize} - \item{si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.} - \item{si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.} - \item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} + \item{Si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.} + \item{Si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.} + \item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} \end{itemize} \end{theorem_sq} @@ -164,9 +163,9 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy} Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors : \begin{itemize} - \item{si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).} - \item{si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.} - \item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} + \item{Si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).} + \item{Si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.} + \item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} \end{itemize} \end{theorem_sq} @@ -201,7 +200,7 @@ $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente. \end{theorem_sq} -\langsubsection{Théoreme d'Abel}{Abel's theorem} +\langsubsection{Théorème d'Abel}{Abel's theorem} \begin{theorem_sq} \label{theorem:abel} diff --git a/contents/topology.tex b/contents/topology.tex index 75ba573..00d20f3 100644 --- a/contents/topology.tex +++ b/contents/topology.tex @@ -26,7 +26,7 @@ A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$. \end{itemize} \end{definition_sq} -\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions} +\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension finie}{Vector spaces in finite dimensions} Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel. @@ -81,7 +81,7 @@ La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r) \smallskip -Note : la seule différence avec une boule fermée est la non inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon. +Note : la seule différence avec une boule fermée est la non-inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon. \subsubsection{Fermée} @@ -97,11 +97,11 @@ On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\eps \langsection{Limite}{Limit} -Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou a une application. +Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou à une application. \subsection{Suite} -Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$. +Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$. On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$ @@ -113,10 +113,10 @@ On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $ \langsection{Transitivité}{Transitivity} -Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} +Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} \begin{definition_sq} - Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour tout paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$. + Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$. \end{definition_sq} \langsection{Adhérence}{Closure} @@ -139,33 +139,35 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} \end{proof} \begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure} - Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. + Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. $$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$ \end{theorem_sq} \begin{proof} - Soit $A$,$B$ deux espaces topologique et $A \subseteq B$. - Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$ mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$. + Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques et $A \subseteq B$. + Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$, mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$. \end{proof} \begin{theorem_sq} - Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. + Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. $$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$ \end{theorem_sq} \begin{proof} - Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$. + Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$. \end{proof} \begin{theorem_sq} - Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. + Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. $$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$ \end{theorem_sq} \begin{proof} + Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. + \subseteqpart - Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$. + Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$. \Lsubseteqpart @@ -177,17 +179,17 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} \langsection{Complétude}{Completeness} \begin{definition_sq} - Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergente \ref{definition:convergence_sequence}. + Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergentes \ref{definition:convergence_sequence}. \end{definition_sq} -\langsubsection{Théorème des points fixe (Théoreme de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)} +\langsubsection{Théorème des points fixes (Théorème de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)} \begin{proof} Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e. $$\function{\phi}{E}{E}$$ $$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$ - Soit $x_0 \in E$ et définisons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$. + Soit $x_0 \in E$ et définissons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$. Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ @@ -201,7 +203,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} $$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$ - Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothése d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'héréditée $n + 1$ + Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothèse d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'hérédité $n + 1$ Par définition de la suite \suite{x}. $$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$ @@ -210,7 +212,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} $$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$ - Par l'hypothése d'induction. + Par l'hypothèse d'induction. $$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$ @@ -240,11 +242,11 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} \langsection{Séparation}{Separation} \begin{definition_sq} \label{definition:separated_space} - Un espace topologique est dit séparés si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$. + Un espace topologique est dit \textbf{séparé} si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$. \end{definition_sq} \begin{theorem_sq} - Tout les un espaces métrique sont séparés. + Tous les espaces métriques sont séparés. \end{theorem_sq} \begin{proof} @@ -258,7 +260,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} \end{proof} \begin{theorem_sq} - Tout les singletons d'un espace métrique sont fermés. + Tous les singletons d'un espace métrique sont fermés. \end{theorem_sq} \begin{proof} @@ -280,11 +282,11 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} \langsection{Connexité}{Connectness} \begin{definition_sq} - Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continu $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$. + Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continue $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$. \end{definition_sq} \begin{definition_sq} - Un espace topologique $E$ est \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons. + Un espace topologique $E$ est dit \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons. \end{definition_sq} \begin{theorem_sq}