contents/algebra.tex : Added basic definitions and axioms && first DM

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@@ -190,6 +190,37 @@ Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$
 	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$}
 \end{itemize}
 
+\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
+
+\begin{definition_sq}
+Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
+$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
+
+\begin{definition_sq}
+Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
+$$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
+
+\begin{definition_sq}
+Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
+\end{definition_sq}
+
+\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
+%TODO Complete subsection
+
+\langsubsubsection{Rang}{Rank} \label{definition:vector_space_rank}
+%TODO Complete subsubsection
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank}
+	Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$.
+	$\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = rg(\phi)$
+\end{theorem_sq}
+
 \langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
 %TODO Complete subsection
 
@@ -235,3 +266,161 @@ $\implies F \subset G \lor  G \subset F$
 
 \end{proof}
 
+\langsubsection{Application linéaire}{Linear maps} \label{definition:linearity}
+
+Une application linéaire est un morphisme \ref{definition:morphism}
+appliqué à la catégorie \ref{definition:category}
+des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.
+
+\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
+
+Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
+\begin{itemize}
+	\item{Additivity: $\forall(x,y) \in \mathbb{K}, f(x+y)=f(x)+f(y)$}
+	\item{Homogeneity: $\forall(a,x) \in \mathbb{K}, f(ax)=af(x)$}
+	\item{Or (a faster way): $\forall(a,x,y) \in \mathbb{K}, f(x + ay) = f(x) + af(y)$}
+\end{itemize}
+
+\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form} \label{definition:bilinear_form}
+
+\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
+
+Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E \cartesianProduct E}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\forall u,v,w \in E, B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
+	\item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(au,w) = aB(u,w)$}
+	\item{$\forall u,v,w \in E, B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
+	\item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(u,aw) = aB(u,w)$}
+\end{itemize}
+
+\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
+
+\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}
+
+\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
+
+Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants :
+
+\begin{itemize}
+	\item{Symétrie: $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
+	\item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
+\end{itemize}
+
+\langsubsection{Norme Réel}{Real norm}
+
+\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
+
+Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :
+
+\begin{itemize}
+	\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
+	\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
+	\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
+\end{itemize}
+
+\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
+
+A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé un espace pré-hilbertien.
+
+\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
+
+Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie.
+
+\pagebreak
+
+\section{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire}
+
+\section{Exercice 1}
+
+Soit $(E,\innerproduct{.}{.})$ un espace euclidien. On définit
+
+$$\function{i}{E \setminus \{0\}}{E \setminus \{0\}}$$
+$$\functiondef{x}{\frac{x}{\norm{x}^2}}$$
+
+qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
+
+\begin{enumerate}
+	\item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
+
+		$$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$
+	\end{proof}
+
+	\item{Montrer $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ On dit que $i$ est une application \textit{conforme}.}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
+		$$\frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{y}{\norm{y}^2}}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}\norm{\frac{y}{\norm{y}^2}}} = \frac{\frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}}{\frac{\norm{x}\norm{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{Démontrer que $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \norm{i(x) - i(y)} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
+		$$\norm{i(x) - i(y)} = \norm{\frac{x}{\norm{x}^2} - \frac{y}{\norm{y}^2}} = \norm{\frac{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\norm{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
+		$$= \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{y}^2 x} - 2 \innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{x}^2 y} - \innerproduct{\norm{x}^2 y}{\norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\norm{y}^4 \norm{x}^2 - 2\norm{y}^2 \norm{x}^2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^4\norm{y}^2}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
+		$$= \frac{\sqrt{\norm{y}^2 \norm{x}^2 (\norm{y}^2 - 2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^2)}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x}\norm{y}\sqrt{\innerproduct{x - y}{x - y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{En déduire que pour tous $x,y,z \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Posons $a,b \in E \setminus \{0\}$ tel que $a := i(y) - i(x)$ et $b := i(x) - i(z)$, puis utilisons l'inégalité triangulaire $\norm{a + b} \le \norm{a} + \norm{b}$ et développons.
+		$$\norm{(i(y) - i(x)) + (i(x) - i(z))} = \norm{i(y) - i(z)} \le \norm{i(x) - i(z)} + \norm{i(x) - i(y)}$$
+		Par le résultat de (3).
+		$$\frac{\norm{y - z}}{\norm{y}\norm{z}} \le \frac{\norm{x - z}}{\norm{x}\norm{z}} + \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+		En multipliant par $\norm{x}\norm{y}\norm{z}$
+		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.}
+
+	\bigskip
+	Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme :
+	\begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry}
+		$\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$
+		\begin{proof}\par
+			Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $e,f \in E$.
+
+			Comme $\exists (-1_K) \in \K(+, \cartesianProduct) \suchas (-1_K) \cartesianProduct (-1_K) = 1_K$.
+
+			$$\norm{e - f} = \norm{-1_\K(f - e)} = \abs{-1_\K}\norm{f - e} = \norm{f - e}$$
+		\end{proof}
+	\end{lemme_sq}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $a,b,c,d \in E$.
+
+		Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$.
+
+		Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$.
+
+		Ainsi, par le résultat (4).
+
+		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
+
+		Par le lemme (\ref{norm_diff_symetry}).
+
+		$$\norm{x}\norm{z - y} \le \norm{y}\norm{z - x} + \norm{z}\norm{y - x}$$
+
+		En développant $x$, $y$ et $z$ on obtient
+
+		$$\norm{a - c}\norm{(a - d) - (a - b)} \le \norm{a - b}\norm{(a - d) - (a - c)} + \norm{a - d}\norm{(a - b) - (a - c)}$$
+
+		$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
+	\end{proof}
+
+	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
+
+	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
+	% TODO Complete 6.
+
+	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
+
+	\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
+	% TODO Complete 7.
+\end{enumerate}
+