From d561c2323345bf18ed3e813eac2ac9869ef33289 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Tue, 15 Jul 2025 15:43:55 +0200 Subject: [PATCH] Added contents/{real,complex}_analysis{,_exo}.tex --- contents/complex_analysis_exo.tex | 39 ++++++++ contents/real_analysis.tex | 156 ++++++++++++++++++++++++++++++ main.tex | 2 + 3 files changed, 197 insertions(+) create mode 100644 contents/complex_analysis_exo.tex create mode 100644 contents/real_analysis.tex diff --git a/contents/complex_analysis_exo.tex b/contents/complex_analysis_exo.tex new file mode 100644 index 0000000..b672b18 --- /dev/null +++ b/contents/complex_analysis_exo.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +\langsection{Exercices}{Exercises} + +\begin{exercise_sq}[Feuille soutien 28/04/2021 : Exercice 1] + On considère la série entière + $$f(z) = z - \frac{z^3}{3 \cdot 2^3} + \frac{z^5}{5 \cdot 2^5} - \frac{z^7}{7 \cdot 2^7} + \cdots$$ + Quel est son rayon de convergence ? Montrer que $f'(z) = \frac{2}{z^2 + 4} + \frac{1}{2}$. % FIXME Wrong expected solution ? +\end{exercise_sq} + +\begin{proof} + Réécrivons la série entière $f(z)$ sous la forme + $$f(z) = z + \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}$$ + Par la règle d'Alembert, le rayon de convergence, s'il existe, est égal à : + $$R = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n + 1}}} + = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(-1)^{2n + 1}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}}{\frac{(-1)^{2n + 2}}{(2n + 2)2^{2n + 2}}}} + = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2n + 1}{4n + 4}} + = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{4}{n}}} + = \frac{1}{2}$$ + + La série entière $f(z)$ étant convergente si $\abs{z} < \frac{1}{2}$ et étant donné que la dérivée d'une somme est la somme des dérivés, on peut donc en conclure l'égalité suivante : + $$f'(z) = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{(2n + 1)z^{2n}}{(2n + 1)2^{2n + 1}} + = 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{2^{2n}} + = 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty \left( \frac{-z^{2}}{4} \right)^n$$ + + On reconnait une série géométrique convergente si $\abs{\frac{-z^{2}}{4}} < 1 \equivalence \abs{z^{2}} < 4 \equivalence \abs{z} < 2$, la série est donc convergente ce qui permet de conclure. + + $$f'(z) = 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty \left( \frac{-z^{2}}{4} \right)^n + = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{-z^2}{4}} + = \frac{2}{z^2 + 4} + 1$$ +\end{proof} + +\begin{exercise_sq}[Feuille soutien 28/04/2021 : Exercice 4] + Calcule l'intégrale : + $$\int\limits_0^{2\pi}\frac{dt}{2 + \sin(t)}$$ +\end{exercise_sq} + +\begin{proof} + Sachant que $\forall x \in \R, \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$, faisons la substitution $z = e^{ix}$ + % TODO Complete proof +\end{proof} diff --git a/contents/real_analysis.tex b/contents/real_analysis.tex new file mode 100644 index 0000000..d3894fd --- /dev/null +++ b/contents/real_analysis.tex @@ -0,0 +1,156 @@ +\langchapter{Analyse Réel}{Real Analysis} + +\begin{definition_sq}[Continuité en un point] + Une fonction $\function{f}{I \subseteq \R}{\R}$ est dit \textbf{continue} en un point $a \in I$ si, et seulement si + $$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in I, \abs{x - a} < \delta \implies \abs{f(x) - f(a)} < \epsilon$$ +\end{definition_sq} + +\subsection*{Exemples} + +Continu partout : $\Identity$, les polynômes, les fonctions trigonométriques + +\subsection*{Contre-exemples} + +Continu nulle part : +$$\function{1_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$ + +Continu en $0$ : +$$\function{\Identity_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} x & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$ + +\begin{definition_sq}[Continuité sur un intervalle] + Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I \subseteq \R$ si et seulement si elle est continue sur tout $x \in I$, c'est-a-dire : + + $$\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in I, \abs{x - y} < \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} < \epsilon$$ +\end{definition_sq} + +\begin{prop_sq} + Soit une fonction $\function{f}{D \subseteq \R}{\R} \in C^0$ + $$\forall c \in \R, \quad cf \in C^0$$ +\end{prop_sq} + +\begin{proof} + Soit une fonction $\function{f}{D \subseteq \R}{\R} \in C^0$, $c \in \R$, $x \in D$ et $\epsilon > 0$. + Si $c = 0$, alors posons $\delta > 0$ quelconque, soit $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$ + $$\abs{cf(x) - cf(y)} = \abs{0 - 0} = 0 < \epsilon$$ + + Si $c \ne 0$, alors posons $\epsilon_f := \frac{\epsilon}{\abs{c}}$ + $$\frac{\epsilon}{\abs{c}} > 0 + \equivalence \frac{1}{\abs{c}} > 0 + \equivalence \abs{c} > 0$$ + + Comme $f \in C^0$ cela nous permet de récupérer $\delta$. Soit $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$ + $$\abs{cf(x) - cf(y)} = \abs{c} \abs{f(x) - f(y)} < \abs{c} \cdot \frac{\epsilon}{\abs{c}} = \epsilon$$ +\end{proof} + +\begin{prop_sq} + Soit deux fonctions $\function{f,g}{D \subseteq \R}{\R}$ continue. Alors $f + g$ est continue. +\end{prop_sq} + +\begin{proof} + Soit deux fonctions $\function{f,g}{D \subseteq \R}{\R}$ continue ainsi que $x \in D$, $\epsilon > 0$. + Choisissons $\frac{\epsilon}{2}$ pour obtenir $\delta_f$ et $\delta_g$. + Posons $\delta = \min(\delta_f, \delta_g)$ ainsi que $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$, par trichotomie, + \begin{itemize} + \item{si $\delta_f < \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_f \implies \abs{x - y} < \delta_f < \delta_g$} + \item{si $\delta_f = \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_f \implies \abs{x - y} < \delta_f = \delta_g$} + \item{si $\delta_f > \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_g \implies \abs{x - y} < \delta_g < \delta_f$} + \end{itemize} + Cela permet de conclure : + \columnratio{0.5} + \begin{paracol}{2} + $$\abs{x - y} < \delta_f \implies \abs{f(x) - f(y)} < \frac{\epsilon}{2}$$ + \switchcolumn + $$\abs{x - y} < \delta_g \implies \abs{g(x) - g(y)} < \frac{\epsilon}{2}$$ + \end{paracol} + $$\implies \abs{\bigl( f(x) + g(x) \bigr) - \bigl( f(y) + g(y) \bigr)} + \le \abs{f(x) - f(y)} + \abs{g(x) - g(y)} + < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} + = \epsilon$$ +\end{proof} + +\begin{prop_sq} + La fonction $x^n$ est continue sur $\R$ pour tout $n \in \N$ +\end{prop_sq} + +\begin{proof} + Soit $x \in \R$, $n \in \N$ et $\epsilon > 0$. Si $n = 0$ alors posons $\delta > 0$ quelconque, posons $y \in \R$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$ + $$\abs{x^0 - y^0} = \abs{1 - 1} = 0 < \epsilon$$ + + Dans le cas ou $n \ne 0$, posons $M := n(\abs{y} + 1)^{n - 1}$ ainsi que $\delta := \min(1, \frac{\epsilon}{M})$ + \begin{itemize} + \item{Si $\delta = 1$ alors $\delta = 1 > 0$} + \item{Si $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ alors + $$\frac{\epsilon}{n(\abs{y} + 1)^{n - 1}} > 0 + \equivalence n(\abs{y} + 1)^{n - 1} > 0 + \equivalence (\abs{y} + 1)^{n - 1} > 0 + \equivalence \abs{y} + 1 > 0 + \equivalence \abs{y} > 0$$ + } + \end{itemize} + + Supposons $\abs{x - y} < \delta$ + $$ \abs{x^n - y^n} + = \abs{(x - y)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x^{n - k - 1} y^k} + = \abs{x - y} \abs{\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x^{n - k - 1} y^k} + \le \abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \abs{x^{n - k - 1}} \abs{y^k}$$ + + Par étude de cas, + \begin{itemize} + \item{Si $\delta = 1$ alors $$\abs{x} - \abs{y} \le \abs{x - y} < 1 \implies \abs{x} < \abs{y} + 1$$} + \item{Si $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ alors + $$\delta = \frac{\epsilon}{M} \le 1 \implies \abs{x} - \abs{y} \le \abs{x - y} < \frac{\epsilon}{M} \le 1 \implies \abs{x} < \abs{y} + 1$$ + } + \end{itemize} + + Donc dans tous les cas, $\abs{x} < \abs{y} + 1$ + $$\abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \abs{x^{n - k - 1}} \abs{y^k} + < \abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (\abs{y} + 1)^{n - k - 1} \abs{y^k} + = \abs{x - y} n(\abs{y} + 1)^{n - 1} < \frac{\epsilon}{M} \cdot M = \epsilon$$ +\end{proof} + +\subsection*{Exemples} + +Continu par morceaux + +$$\function{1_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$ + +\begin{definition_sq}[Continuité uniforme] + Soit $I \subset \R$ un intervalle, et $\function{f}{I \subset \R}{\R}$. On dit que $f$ est \textbf{uniformément continue} sur $I$ si + $$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall (x, y) \in I^2, \abs{x - y} < \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} < \epsilon$$ +\end{definition_sq} + +\subsection*{Exemples} + +Fonction constantes + +Fonction linéaire + +Fonction absolue + +$x^2$ sur $[-1, 3]$ avec $\delta = \epsilon/6$ + +\subsection*{Contre-exemples} + +$$\exists \epsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists (x, y) \in I^2, \left( \abs{x - y} < \delta \right) \land \left( \abs{f(x) - f(y)} \ge \epsilon \right)$$ + +$f(x) = 1/x$ continue simple sur $]0, 1]$ mais pas uniformément avec + +$\epsilon := 1, 0 < a < min(\delta, \epsilon, 1/\epsilon)$ et $x := \sqrt{a/\epsilon}$, $y := x - a \implies a < \delta \land \abs{f(x) - f(y)} \ge \epsilon$ + +\begin{theorem_sq}[Théorème de Heine dans un espace métrique] \label{theorem:heine_metric_function} + Soient $(X, d)$ un espace métrique compact et $(Y, d')$ un espace métrique quelconque. Toute application continue de $X$ dans $Y$ est uniformément continue. +\end{theorem_sq} + +\begin{proof} + \lipsum[2] + % TODO Complete proof +\end{proof} + +\begin{corollary_sq}[Théorème de Heine dans $\R$] + Toute application continue d'un segment $[a, b]$ dans $\R$ est uniformément continue. +\end{corollary_sq} + +\begin{proof} + Une fonction continue $\function{f}{[a, b]}{\R}$ est une fonction d'un fermé borné qui est également un sous-ensemble de $\R$, de cela, + il suffit de prendre une métrique quelconque de $\R$ comme $\abs{.}$ pour conclure que $f$ est une fonction continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique et donc que $f$ est uniformément continue par \ref{theorem:heine_metric_function}. +\end{proof} diff --git a/main.tex b/main.tex index bc85f19..b6931e0 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -74,8 +74,10 @@ Et de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce c \input{contents/algebra_dm1} \input{contents/algebra_dm2} \input{contents/trigonometry} +\input{contents/real_analysis} \input{contents/differentiability} \input{contents/complex_analysis} +\input{contents/complex_analysis_exo} \input{contents/differential_equations} \input{contents/measure_theory} \input{contents/suites}