contents/algebra.tex : added normal subgroup, quotient definitions and theorems
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d817ce9980
@ -54,6 +54,22 @@
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Un groupe est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \mid \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, +) \in \Ab$, si le groupe de torsion $T = \{ \Identity_G \}$ alors $G$ est dit \textbf{sans torsion}.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, +) \in \Ab$, le groupe de torsion $T$ est un groupe.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup}
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\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup}
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@ -96,7 +112,7 @@
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:honomorphism}.
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
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$$f(\Identity_G) = \Identity_H$$
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\end{theorem_sq}
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@ -108,7 +124,7 @@
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:honomorphism}.
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
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$$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
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\end{theorem_sq}
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@ -134,7 +150,7 @@
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$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$
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$\implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = y \star x$
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$\implies f(x + y) = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = f(y + x)$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
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@ -212,6 +228,248 @@
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Groupes cycliques}{Cyclic groups}
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\begin{definition_sq} \label{definition:cyclic_group}
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On dit qu'un groupe $(G, \star)$ \ref{definition:group} est \textbf{cyclique} s'il existe $x \in G$ tel que $\generator{x} = G$. On dit alors que $x$ est un \textbf{générateur} de $G$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique \ref{definition:cyclic_group}
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\begin{itemize}
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\item{Si $\card{G} = \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z, +)$}
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\item{Si $\card{G} = n < \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$}
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\end{itemize}
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec le générateur $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ alors l'ordre de $G$ est $\frac{n}{\gcd(n, q)}$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ si $\gcd(n, q) = 1 \implies x$ est un générateur de $G$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func}
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L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \mid m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique d'ordre $n$ \ref{definition:cyclic_group} avec $a \in G$ générateur. Si $d \in \N, d \divides n \implies \exists! H \subgroup G, \card{H} = d$, autrement dit, on a $H = \generator{a^{\frac{n}{d}}}$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \mid x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \mid x \in H \}$.
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Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc
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$$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$
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$$x \sim_d y \equivalence y \in Hx \equivalence yx^{-1} \in H$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Les notations $\sim_g$ et $\sim_d$ sont des relations d'équivalences.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ ainsi que $G / \sim_g$ (et $G / \sim_d$) le quotient de $G$. Alors, on a une bijection $\function{\phi}{G / \sim_g}{G / \sim_d}$ $\functiondef{[xH]}{[Hx^{-1}]}$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_indice}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Si le nombre de classes modulo $H$ est fini, on appelle ce nombre \textbf{l'indice} de $H$ dans $G$ noté $[G:H]$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:lagrange_theorem}
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Soit $(G, \star)$ un groupe fini et $H \subgroup G \implies [G:H] = \frac{\card{G}}{\card{H}}$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ et $a \in G \implies [ ord(a) \divides n ] \land [ a^n = 1 ]$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ un nombre premier alors $G$ est cyclique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Sous-groupe distingué et quotient}{Proper subgroup and quotient}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, on dit que $H \subgroup G$ est \textbf{distingué} si $\forall x \in G, xH = Hx$. On écrira alors $H \normalSubgroup G$ ainsi que $G/H := G / \sim_g = G / \sim_d$ l'ensemble des classes à gauche et droite.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Le noyau de $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} est distingué.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ si $H \subgroup G$ est un sous-groupe d'indice 2 alors $H$ est distingué.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, on a $H \normalSubgroup G \equivalence \forall x \in G, xHx^{-1} = H$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G \implies G / H$ a une structure de groupe donné par $\function{f}{G/H \cartesianProduct G/H}{G/H} \functiondef{([xH], [yH])}{[xyH]}$ de plus, l'application quotient $\function{q}{G}{G/H} \functiondef{x}{[xH]}$ est un morphisme de groupe avec $\ker(q) = H$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theoren:universal_property_quotient}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G$ avec quotient $\function{q}{G}{G/H}$ ainsi que le morphisme de groupe $\function{f}{(G, \star)}{(G', +)}$ tel que $H \subseteq \ker(f)$.
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Alors $\exists! \function{\bar{f}}{G/H}{G}$ un morphisme de groupes tel que $f = \bar{f} \composes q$. De plus, on a
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$\bar{f}$ injectif $\equivalence \ker(f) = H$
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$\bar{f}$ surjectif $\equivalence f$ surjectif
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\[\begin{tikzcd}
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G \arrow[r, "q"] \arrow[d, "f" left] & G/H \arrow[dl, dotted, "\exists! \bar{f}"] \\
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G'
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\end{tikzcd}\]
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} alors $G / \ker(f) \isomorphic im(f)$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(p, q) \in \N^2, \gcd(p, q) = 1 \implies \Z/pq\Z \isomorphic \Z/p\Z \cartesianProduct \Z/q\Z$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \mid k \in K, h \in H \} \subseteq G$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH \subgroup G$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH/K \isomorphic H/K \intersection H$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \normalSubgroup G$ tel que $H \subseteq K \implies (K/H) \normalSubgroup (G/H)$ ainsi que $(G/H)/(K/H) \isomorphic G/K$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \mid \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp \implies Aut(G) \subgroup S(K)$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que $\function{\phi}{(Q, \star)}{(Aut(K), \composes)}$ un morphisme de groupes. Alors on appelle \textbf{produit semi-direct} l'opération sur l'ensemble $K \cartesianProduct Q$
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$$\function{\psi}{(K \cartesianProduct Q)^2}{K \cartesianProduct Q} \functiondef{(k_1, q_1), (k_2, q_2)}{(k_1 \star \phi(q_1)(k_2), q_1 \composes q_2))}$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que le produit semi-direct $(\psi)$, alors le tuple $(K \cartesianProduct Q, \psi) \in \Grp$ et on le note $K \ltimes_q Q$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Si $K \ltimes_\phi Q$ est un produit semi-direct alors l'application $\function{\pi}{K \ltimes_\phi Q}{Q} \functiondef{(k, q)}{q}$ est un morphisme de groupes et $\ker(\pi) = K$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$.
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$$\exists Q \subgroup G, KQ = G \land K \intersection Q = \{ \Identity_G \} \implies G \isomorphic K \ltimes_\phi Q$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsection{Corps}{Field}
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\begin{definition_sq} \label{definition:field}
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@ -54,6 +54,7 @@
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\newenvironment{corollary_sq}{\begin{mdframed}\begin{corollary}}{\end{corollary}\end{mdframed}}
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\DeclarePairedDelimiter{\generator}{\langle}{\rangle}
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\DeclareMathOperator{\subgroup}{\leqslant}
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\DeclareMathOperator{\normalSubgroup}{\triangleleft}
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\newcommand{\rank}[1]{\text{rg}(#1)}
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\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
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\DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert}
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