From eb8249b4b7bb5a149e5f45ab53591a6ed807a269 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: saundersp Date: Sun, 9 Feb 2025 22:07:58 +0100 Subject: [PATCH] Fixed typos and some formatting --- contents/algebra_dm1.tex | 12 ++++++------ contents/latex.tex | 4 ++-- contents/logic.tex | 2 +- contents/number_theory.tex | 24 ++++++++---------------- contents/set_theory.tex | 36 ++++++++++++++++++------------------ main.tex | 8 ++++---- 6 files changed, 39 insertions(+), 47 deletions(-) diff --git a/contents/algebra_dm1.tex b/contents/algebra_dm1.tex index 21f71ef..c16aef4 100644 --- a/contents/algebra_dm1.tex +++ b/contents/algebra_dm1.tex @@ -31,7 +31,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1. \item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$} \begin{proof}\par - Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve. + Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc, il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve. $$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$ \end{proof} @@ -66,7 +66,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1. \item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.} \bigskip - Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme : + Pour cette preuve, nous aurons besoin de ce lemme : \begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry} $\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$ \begin{proof}\par @@ -81,7 +81,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1. \begin{proof}\par Soit $a,b,c,d \in E$. - Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$. + Comme $E$ est un espace vectoriel et de ce fait un groupe par $E(+)$. Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$. @@ -100,12 +100,12 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1. $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ \end{proof} - Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$. + Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \mid \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$. - \item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$} + \item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \mid \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$} % TODO Complete 6. - Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$. + Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \mid \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$. \item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$} % TODO Complete 7. diff --git a/contents/latex.tex b/contents/latex.tex index ce4f07a..5cd620f 100644 --- a/contents/latex.tex +++ b/contents/latex.tex @@ -45,7 +45,7 @@ \item{5 subparagraph} \end{itemize} -\langsubsection{Ajouter une partie numéroté}{Add a labeled part} +\langsubsection{Ajouter une partie numérotée}{Add a labeled part} % TODO Find a way to localize verbatim \begin{verbatim} @@ -54,7 +54,7 @@ etc. \end{verbatim} -\langsubsection{Ajouter une partie non-numéroté}{Add a non labeled part} +\langsubsection{Ajouter une partie non numérotée}{Add a non labeled part} \begin{verbatim} \part*{Nom de la partie} diff --git a/contents/logic.tex b/contents/logic.tex index cd7513b..8eabfe3 100644 --- a/contents/logic.tex +++ b/contents/logic.tex @@ -30,7 +30,7 @@ Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\fo \langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity} % TODO Complete subsection -Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$. +Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \equivalence a \Rel b \Rel c$. \langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity} % TODO Complete subsection diff --git a/contents/number_theory.tex b/contents/number_theory.tex index be28a4e..ac2b841 100644 --- a/contents/number_theory.tex +++ b/contents/number_theory.tex @@ -55,7 +55,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme -$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$ +$\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$ Ou @@ -104,7 +104,7 @@ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \ \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} -De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas. +De manière intuitive, on pourrait croire que cet ensemble est "deux fois la taille" de $\N$, mais on peut démontrer que cela n'est pas le cas. \begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers} L'ensemble $\Z$ est dénombrable. @@ -136,7 +136,7 @@ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$ \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection -$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$ +$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$ \langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection @@ -160,23 +160,15 @@ $\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{ Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$ -$\implies pn = qm \land mb=na$ - -$\implies pnmb = qmna$ - -$\implies pmb = qma$ +$$\implies pn = qm \land mb=na \implies pnmb = qmna \implies pmb = qma$$ if $m \neq 0$ -$\implies pb = qa$ - -$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ +$$\implies pb = qa \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$ otherwise -$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0$ - -$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ +$$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0 \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$ By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ @@ -293,7 +285,7 @@ $i^2 = -1$ \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection -$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$ +$\forall ((a, b), (c, d)) \in \C, a = c \land b = d \equivalence a + ib = c + id$ \langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection @@ -410,7 +402,7 @@ Il existe une infinité de nombres premiers. \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}% {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.} -Let $\Pn := \{p | p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$ +Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$ $\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$ diff --git a/contents/set_theory.tex b/contents/set_theory.tex index 48872b9..952c08d 100644 --- a/contents/set_theory.tex +++ b/contents/set_theory.tex @@ -3,10 +3,10 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_set_theory} -Un ensemble est une construction mathématiques qui réuni plusieurs objets en une même instance. +Un ensemble est une construction mathématique qui réuni plusieurs objets en une même instance. %A set is a mathematical construct to assemble multiple objects in a single instance. -$S = \{a,b,c\}$ +$S = \{a, b, c\}$ \langsection{Axiomes}{Axioms} %TODO Complete section @@ -20,25 +20,25 @@ $\forall A\forall B(\forall X(X \in A \equivalence X \in B) \implies A = B)$ \langsubsection{Ensemble vide}{Empty set} -Il existe un ensemble vide notée $\emptyset$. +Il existe un ensemble vide noté $\emptyset$. \langsubsection{Paire}{Pairing} %TODO Complete subsection -Source: \citeannexes{wikipedia_ordered_pair} +Source : \citeannexes{wikipedia_ordered_pair} \langsubsubsection{Définition de Wiener}{Wiener's definition} -$(a,b) := \{\{\{a\}, \emptyset\}, \{b\}\}$ +$(a, b) := \{\{\{a\}, \emptyset\}, \{b\}\}$ \langsubsubsection{Définition de Hausdorff}{Hausdorff's definition} -$(a,b) := \{\{a, 1\}, \{b,2\}\}$ where $a \ne 1 \land b \ne 2$ +$(a, b) := \{\{a, 1\}, \{b, 2\}\}$ where $a \ne 1 \land b \ne 2$ \langsubsubsection{Définition de Kuratowski}{Kuratowski's definition} \begin{definition_sq} \label{definition:ordered_pair} -$(a,b)_K := \{\{a\}, \{a,b\}\}$ +$(a, b)_K := \{\{a\}, \{a, b\}\}$ \end{definition_sq} \langsubsection{Réunion}{Union} @@ -46,10 +46,10 @@ $(a,b)_K := \{\{a\}, \{a,b\}\}$ Unite all elements of two given sets into one. \begin{definition_sq} \label{definition:set_union} -$A \union B := \{x | (x \in A \lor x \in B)\}$ +$A \union B := \{x \mid (x \in A \lor x \in B)\}$ \end{definition_sq} -Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$ +Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Cat(\Set)^2, \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$ Example : @@ -61,7 +61,7 @@ $B := \{b_0, \cdots, b_m\}$ $A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$ -\langsubsection{Scheme of replacement}{Scheme of replacement} +\langsubsection{Schéma de compréhension}{Scheme of replacement} %TODO Complete subsection \langsubsection{Infini}{Infinity} @@ -89,9 +89,9 @@ The axiom of choice implies the law of excluding middle. Assume that $0 \ne 1$ (or any two elements that are not equal), Let $\Omega := \{0, 1\}$, $p \in \mathbf{Prop}$ -$A := \{ x \in \Omega | x = 0 \lor p \}$ +$A := \{ x \in \Omega \mid x = 0 \lor p \}$ -$B := \{ y \in \Omega | y = 1 \lor p \}$ +$B := \{ y \in \Omega \mid y = 1 \lor p \}$ $\implies 0 \in A \land 1 \in B$ @@ -115,7 +115,7 @@ So by proof by cases $(p \lor \lnot p)$ which is the law of excluded middle \ref Unite all common elements of two given sets into one. \begin{definition_sq} \label{definition:set_intersection} -$A \intersection B := \{x | (x \in A \land x \in B)\}$ +$A \intersection B := \{x \mid (x \in A \land x \in B)\}$ \end{definition_sq} Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$ @@ -136,14 +136,14 @@ $A \intersection B = \{c_0, \cdots, c_n\}$ Exclude elements of a set from a set \begin{definition_sq} \label{definition:set_difference} -$A \setminus B := \{x | (x \in A \land x \notin B)\}$ +$A \setminus B := \{x \mid (x \in A \land x \notin B)\}$ \end{definition_sq} Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$ \langsection{Fonction}{Function} -Source: \citeannexes{wikipedia_function_mathematics} +Source : \citeannexes{wikipedia_function_mathematics} \begin{definition_sq} \label{definition:set_function} Une fonction $f$ est un tuple d'un domaine \citeannexes{wikipedia_domain_function} $A$ et un codomaine \citeannexes{wikipedia_codomain} $B$. @@ -159,7 +159,7 @@ $\function{f}{x}{f(x)}$ \langsubsection{Injectivité}{Injectivity} -Source: \citeannexes{wikipedia_injective_function} +Source : \citeannexes{wikipedia_injective_function} \begin{definition_sq} \label{definition:injective} Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$. @@ -167,7 +167,7 @@ Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si \langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity} -Source: \citeannexes{wikipedia_surjective_function} +Source : \citeannexes{wikipedia_surjective_function} \begin{definition_sq} \label{definition:surjective} Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$. @@ -175,7 +175,7 @@ Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement s \langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity} -Source: \citeannexes{wikipedia_bijection} +Source : \citeannexes{wikipedia_bijection} \begin{definition_sq} \label{definition:bijection} Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective \ref{definition:injective} et surjective \ref{definition:surjective} ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$. diff --git a/main.tex b/main.tex index 9a0b530..a92dca0 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -54,15 +54,15 @@ \section{Motivations} %TODO Complete section -Ce notebook est destinée à acueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsecement imcomplet, imprècis voir éronné. A vous lecteur qui découvrent ce notebook, accueiller le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire. +Ce notebook est destinée à accueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsèquement incomplet, imprécis voir erroné. À vous lecteur qui découvre ce notebook, accueillez le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire. \langsection{Remerciements}{Thankings} %TODO Complete section -Je remercie Adel Medjhoub pour les nombreuses conversations qui ont mürit mes visions du monde. -Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que la language LaTeX sur laquelle ce notebook est rédiger. +Je remercie Adel Medjhoub pour les nombreuses conversations qui on mûrit mes visions du monde. +Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que le langage LaTeX sur laquelle ce notebook est rédigé. -De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tout lecteurs de ce notebook. +De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce notebook. \input{contents/latex} \input{contents/computer_science}