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From: saundersp <pierre.saundersgb@gmail.com>
Date: Sun, 30 Mar 2025 22:04:16 +0200
Subject: [PATCH] contents/topology_dm1.tex : Fixed named subsubsection to
 unnamed

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 contents/topology_dm1.tex | 16 ++++++++--------
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+++ b/contents/topology_dm1.tex
@@ -19,10 +19,10 @@ Université Côte d'Azûr
 \bigskip
 
 
-\subsubsection{Exercice 1}
+\subsubsection*{Exercice 1}
 Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
 
-\subsubsubsection{1.a}
+\subsubsubsection*{1.a}
 Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
 \\
 
@@ -52,7 +52,7 @@ Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
 Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
 \end{theorem_sq}
 
-\subsubsubsection{1.b}
+\subsubsubsection*{1.b}
 Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
 \\
 
@@ -66,7 +66,7 @@ $\equivalence (x_n)$ est fermée.
 Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
 \end{theorem_sq}
 
-\subsubsection{Exercice 2}
+\subsubsection*{Exercice 2}
 Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
 
 Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
@@ -98,7 +98,7 @@ $K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
 
 Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
 
-\paragraph{Si $X$ est fini}
+\paragraph*{Si $X$ est fini}
 
 $\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
 
@@ -106,7 +106,7 @@ $\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
 
 $\implies K$ possède un point d'accumulation
 
-\paragraph{Si $X$ est infini}
+\paragraph*{Si $X$ est infini}
 
 $\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
 
@@ -120,7 +120,7 @@ $\implies K$ possède un point d'accumulation
 $K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
 \end{theorem_sq}
 
-\subsubsection{Exercice 3}
+\subsubsection*{Exercice 3}
 Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
 
 Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
@@ -135,7 +135,7 @@ $\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et
 Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
 \end{theorem_sq}
 
-\subsubsection{Exercice 4}
+\subsubsection*{Exercice 4}
 Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
 
 $$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$