contents/algebra.tex : Added inversible matrix, diagonalizable matrix and hermitian space definitions && tweaked bilinear form definition

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@@ -1,4 +1,4 @@
-FROM alpine:3.21.0
+FROM alpine:3.21.2
 
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contents/algebra.tex

@@ -12,17 +12,17 @@ Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\s
 
 Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$.
 
-\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}
+\subsection{Monoïde} \label{definition:monoid}
 
 Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
 
 \langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
 
-Soit un monoïd \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.
+Soit un monoïde \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.
 
 \langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
 
-Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
+Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
 
 \langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
 
@@ -35,7 +35,7 @@ Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesi
 
 \langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field}
 
-Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
+Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
 
 \langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
 %TODO Complete subsection
@@ -43,7 +43,7 @@ Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition
 \section{Matrices}
 %TODO Complete section
 
-Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
+Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
 	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
@@ -99,15 +99,20 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
 %TODO Complete subsubsection
 
 \subsection{Inverse}
-%TODO Complete subsection
 
-$det(M) \neq 0$
+\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
+	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
+\end{definition_sq}
 
 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
 
 \langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
 %TODO Complete subsection
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:diagonalizable_matrix}
+	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{diagonalisable} sur $\K$ s'il existe une matrice inversible \ref{definition:inversible_matrix} $P \in M_n(\K)$ ainsi qu'une matrice diagonale $D \in M_n(\K)$ tel que $A = PDP^{-1}$
+\end{definition_sq}
+
 \langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
 %TODO Complete subsection
 
@@ -207,7 +212,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i =
 \langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
 
 \begin{definition_sq}
-Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
+Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
 \end{definition_sq}
 
 \subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
@@ -281,19 +286,21 @@ Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
 	\item{Or (a faster way): $\forall(a,x,y) \in \mathbb{K}, f(x + ay) = f(x) + af(y)$}
 \end{itemize}
 
-\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form} \label{definition:bilinear_form}
+\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form}
 
 \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 
-Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :
+\begin{definition_sq} \label{definition:bilinear_form}
+	Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
 
-$u,v,w \in E, a \in K$
+	$u,v,w \in E, a \in K$
 
-\begin{itemize}
+	\begin{itemize}
-	\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
+		\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
-	\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
+		\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
-	\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
+		\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
-\end{itemize}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
 
@@ -301,41 +308,51 @@ $u,v,w \in E, a \in K$
 
 \langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 
-Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants :
+Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :
 
 \begin{itemize}
-	\item{Symétrie: $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
+	\item{Symétrie : $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
-	\item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
+	\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
 \end{itemize}
 
-\langsubsection{Norme réel}{Real norm}
+\langsubsection{Norme réelle}{Real norm}
 
 \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 
-Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :
+Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :
 
 \begin{itemize}
-	\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
+	\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
-	\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
+	\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
-	\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
+	\item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
 \end{itemize}
 
 \langsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
 
 \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 
-Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants :
+Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respecte les axiomes suivants :
 
 \begin{itemize}
-	\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
+	\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
-	\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
+	\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
-	\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
+	\item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
 \end{itemize}
 
 \langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
 
-A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien.
+\begin{definition_sq} \label{definition:prehilbertian_space}
+Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ noté comme un tuple $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un \textbf{espace pré-hilbertien}.
+\end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
 
-Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie.
+\begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space}
+	Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Espace Hermitien}{Hermitian Space}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:hermitian_space}
+	Un \textbf{espace hermitien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} complexe à dimension finie.
+\end{definition_sq}

contents/differential_equations.tex

@@ -1,9 +1,7 @@
-\langchapter{Équations Différentiel}{Differential Equations}
+\langchapter{Équations différentielles}{Differential equations}
 %TODO Complete chapter
 
-Une équation différentiel est une équation dont les inconnu sont des fonctions par rapport à ces dérivés.
+Une équation différentielle est une équation dont les inconnus sont des fonctions par rapport à ces dérivés. Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle
-
-Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle
 
 $$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$
 

contents/suites.tex

@@ -1,30 +1,29 @@
 \langchapter{Suites}{Sequence}
 
-\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est noté \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être défini de plusieurs manières :}%
+\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est notée \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être définie de plusieurs manières :}%
 {A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :}
 
 \begin{itemize}
-	\item{\lang{Par énumeration}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
+	\item{\lang{Par énumération}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
 	\item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$}
 	\item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$}
 \end{itemize}
 
 \begin{definition_sq}
-	\lang{Une suite dite \textbf{arithmétique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la raison de la suite.}%
+	\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{arithmétique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
 	{An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.}
 \end{definition_sq}
 
-Remarque: Une suite arithmétique est le phénoméne discret d'une progression linéaire.
+\textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire.
 
 \begin{definition_sq}
-	\lang{Une suite dite \textbf{géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \times q$ avec $q \in E(\times)$ appelé la raison de la suite.}%
+	\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
-	{A geometric sequence is defined by $$ }
 \end{definition_sq}
 
-Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression exponentielle.
+\textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle.
 
 \begin{definition_sq}
-	\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \times u_n +  b$ avec $a,b \in E(+,\times) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
+	\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n +  b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
 	{A geometric sequence is defined by $$ }
 \end{definition_sq}
 
@@ -35,20 +34,20 @@ Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression e
 	$$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$
 \end{definition_sq}
 
-\lang{Lorsque l'on tends $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
+\lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence}
 	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si
 	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$
 	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$
-	Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
+	Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
 \end{definition_sq}
 
-Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.
+\textit{Remarque} : Toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.
 
 \begin{proof}
 	Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$.
-	\suite{u} est une suite de Cauchy mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
+	\suite{u} est une suite de Cauchy, mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -71,23 +70,23 @@ Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est
 \begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}
 	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si
 	$$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$
-	Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
+	Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
 \end{definition_sq}
 
-Remarque: une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.
+Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence}
 	Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si
 	$$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$
 \end{definition_sq}
 
-Remarque: une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
+Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
 
 \begin{definition_sq}
-	Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\times)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \times u_{n + 1}$.
+	Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\cartesianProduct)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \cartesianProduct u_{n + 1}$.
 \end{definition_sq}
 
-\langsubsection{Critére de convergence}{Convergence criteria}
+\langsubsection{Critère de convergence}{Convergence criteria}
 
 Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$
 
@@ -99,14 +98,14 @@ Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est tri
 
 \langsection{Séries}{Series}
 
-Une série est la somme infini d'une suite donné \suite{u} et est noté $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$
+Une série est la somme infinie d'une suite donné \suite{u} et est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$
 
-Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commencant à un rang $N \in \N$ peut être représenter par la forme suivante :
+Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commençant à un rang $N \in \N$ peut-être représenter par la forme suivante :
 
 $\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$
 
 \begin{proof}
-Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commencant à un rang $N \in \N$
+Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commençant à un rang $N \in \N$
 $$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$
 Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$
 $$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$
@@ -145,12 +144,12 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert}
 
 \begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert}
 
-Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :
+Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :
 
 \begin{itemize}
-	\item{si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
+	\item{Si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
-	\item{si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
+	\item{Si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
-	\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
+	\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
 \end{itemize}
 
 \end{theorem_sq}
@@ -164,9 +163,9 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy}
 Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors :
 
 \begin{itemize}
-	\item{si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
+	\item{Si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
-	\item{si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
+	\item{Si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
-	\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
+	\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
 \end{itemize}
 
 \end{theorem_sq}
@@ -201,7 +200,7 @@ $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
 
 \end{theorem_sq}
 
-\langsubsection{Théoreme d'Abel}{Abel's theorem}
+\langsubsection{Théorème d'Abel}{Abel's theorem}
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem:abel}
 

contents/topology.tex

@@ -3,56 +3,50 @@
 
 La topologie traite de l'étude des applications continues.
 
-\langsection{Espaces topologique}{Topologic spaces}
+\langsection{Espaces topologique}{Topological spaces}
 
-A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$.
+\begin{definition_sq} \label {definition:topological_space}
+	\lang{Un espace topologique est un ensemble $E$ avec une topologie $\tau_E$ noté comme une paire $(E, \tau_E)$ vérifiant les axiomes suivants}%
+	{A topology space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted as a pair $(E,\tau_E)$ satisfying the following axioms} :
 
-\langsubsection{Axiomes}{Axioms}
+	\begin{itemize}
-
+		\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
-\begin{itemize}
+		\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
-	\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
+		\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
-	\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
+	\end{itemize}
-	\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
+\end{definition_sq}
-\end{itemize}
 
 \langsection{Espaces métrique}{Metric spaces}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:metric_space}
-	A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted $(E,d)$ satisfaing the following axioms :
+	\lang{Un espace métrique est un ensemble $E$ avec une fonction de distance $\function{d}{E^2}{\R_+}$ notée comme une paire $(E, d)$ vérifiant les axiomes suivants}%
+		{A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted as a pair $(E, d)$ satisfying the following axioms} :
 	\begin{itemize}
-		\item{$\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
+		\item{\lang{Non-dégénérescence}{Non-degenerative} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
-		\item{Symetry: $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
+		\item{\lang{Symétrie}{Symetry} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
-		\item{Triangular inegality: $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
+		\item{\lang{Inégalité triangulaire}{Triangular inegality} : $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
 	\end{itemize}
 \end{definition_sq}
 
-\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
+\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension finie}{Vector spaces in finite dimensions}
-
-Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
 
 \langsubsubsection{Normes}{Norms}
 
-Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés.
+\begin{definition_sq}
+	Une norme sur $E$ est une application continue notée $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui vérifie les axiomes suivants :
 
-\smallskip
+	\begin{itemize}
-
+		\item{Non-dégénérescence : $\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
-$\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$
+		\item{Homothétie positive : $\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
-
+		\item{Inégalité triangulaire : $\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
-\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
+	\end{itemize}
-
+\end{definition_sq}
-\begin{itemize}
-	\item{$\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
-	\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
-	\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
-\end{itemize}
-
-\smallskip
 
 On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
 
 \langsubsubsubsection{Exemples}{Examples}
 
-$n \in \N^*, E = \R^n$
+Soit $n \in \N^*, E = \R^n$
 
 \begin{itemize}
 	\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n \abs{x_i}$}
@@ -81,7 +75,7 @@ La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r)
 
 \smallskip
 
-Note : la seule différence avec une boule fermée est la non inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
+Note : la seule différence avec une boule fermée est la non-inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
 
 \subsubsection{Fermée}
 
@@ -97,11 +91,11 @@ On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\eps
 
 \langsection{Limite}{Limit}
 
-Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou a une application.
+Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou à une application.
 
 \subsection{Suite}
 
-Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
+Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
 
 On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
 
@@ -113,10 +107,10 @@ On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $
 
 \langsection{Transitivité}{Transitivity}
 
-Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
+Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 
 \begin{definition_sq}
-	Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour tout paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
+	Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
 \end{definition_sq}
 
 \langsection{Adhérence}{Closure}
@@ -139,33 +133,35 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure}
-	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
 	$$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique et $A \subseteq B$.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques et $A \subseteq B$.
-	Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$ mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
+	Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$, mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
 	$$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
 	$$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
+
 	\subseteqpart
 
-	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
+	Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
 
 	\Lsubseteqpart
 
@@ -177,17 +173,17 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 \langsection{Complétude}{Completeness}
 
 \begin{definition_sq}
-	Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergente \ref{definition:convergence_sequence}.
+	Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergentes \ref{definition:convergence_sequence}.
 \end{definition_sq}
 
-\langsubsection{Théorème des points fixe (Théoreme de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
+\langsubsection{Théorème des points fixes (Théorème de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
 
 \begin{proof}
 	Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e.
 	$$\function{\phi}{E}{E}$$
 	$$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$
 
-	Soit $x_0 \in E$ et définisons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
+	Soit $x_0 \in E$ et définissons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
 
 	Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$
 
@@ -201,7 +197,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 
 	$$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$
 
-	Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothése d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'héréditée $n + 1$
+	Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothèse d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'hérédité $n + 1$
 	Par définition de la suite \suite{x}.
 
 	$$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$
@@ -210,7 +206,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 
 	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$
 
-	Par l'hypothése d'induction.
+	Par l'hypothèse d'induction.
 
 	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$
 
@@ -240,11 +236,11 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 \langsection{Séparation}{Separation}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:separated_space}
-	Un espace topologique est dit séparés si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
+	Un espace topologique est dit \textbf{séparé} si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Tout les un espaces métrique sont séparés.
+	Tous les espaces métriques sont séparés.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
@@ -258,7 +254,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Tout les singletons d'un espace métrique sont fermés.
+	Tous les singletons d'un espace métrique sont fermés.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
@@ -277,14 +273,29 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 	Un espace topologique $E$ est \textbf{compact} si $E$ est séparé \ref{definition:separated_space} et si tout recouvrement de $E$ par des ouverts contient un recouvrement fini de $E$ i.e. si $E = \Union\limits_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe une partie finie $V := \{i_1, i_2, \cdots, i_n\}$ de $I$ tel que $E = \Union\limits_{v \in V} v$
 \end{definition_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $K,L$ de $\R^N$ deux compacts disjoints, la distance $d(K, L) = \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$ est strictement positive. Également, il existe deux ouverts $U$ et $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $K$ et $L$ deux compacts disjoints ainsi que la distance défini tel que $d(K, L) := \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$.
+
+	Considérons la fonction $\function{f}{K \cartesianProduct L}{\R_+} \functiondef{(x, y)}{d(x, y)}$. Par la continuité de la métrique, $f$ est continue, ainsi que $d(K, L) = \inf_{K \cartesianProduct L} f > 0$, car si $x \in K$ et $y \in L$, $d(x, y) = 0 \implies x = y$ hors $x \in K \intersection L = \emptyset$ (parce que disjoints). De plus, comme $f$ est une fonction continue dans un ensemble compact, il atteint sa borne inférieure dans son domaine i.e. $f > 0 \implies \inf f > 0 \implies d(K, L) > 0$. Notons cette distance $R$.
+
+	Comme $R > 0$, nous pouvons construire pour chaque élément de $K$ et $L$ une boule ouverte de centre $x \in K$ et de rayon $\frac{R}{2}$ (et respectivement pour $L$). Cela permet de définir $U := \Union\limits_{x \in K} \B(x, \frac{R}{2})$ et $V := \Union\limits_{y \in L} \B(y, \frac{R}{2})$. Par construction, $K \subset U$ et $L \subset V$.
+
+	Finalement, $U$ et $V$ sont des réunions d'ouverts donc $U$ et $V$ sont des ouverts. De plus $U \intersection V$ est habité $\equivalence d(K, L) < \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R$. Cette proposition étant toujours fausse $U \intersection V = \emptyset$ ce qui montre que $U$ et $V$ sont disjoints.
+\end{proof}
+
+
 \langsection{Connexité}{Connectness}
 
 \begin{definition_sq}
-	Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continu $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
+	Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continue $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq}
-	Un espace topologique $E$ est \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
+	Un espace topologique $E$ est dit \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}