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38880b1f21
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38880b1f21 | ||
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f95eee7d29 | ||
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b2fefd7f83 | ||
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0ebe926d7c | ||
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8da130cf2c | ||
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52fd077cb5 |
@ -9,6 +9,7 @@ RUN apk add --no-cache \
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&& rm -rf /var/cache/apk/*
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ARG UID=1000
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@ -40,7 +40,7 @@ Et à partir de cette distribution, nous pouvons assigner un point $x_i$ du set
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Avec ce changement intrinsèque dans la manière d'entraîner les modèles, nous avons avec ces distributions, plusieurs choix possibles comme :
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\begin{itemize}
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\item Classification : on peut inférer le label en calculant l'argmin de chaque divergence de Kullback-Leibler \citereferences{kl_divergence} pour toutes les distributions
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\item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie
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\item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du Z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie
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\item Génération d'échantillons : avec les paramètres estimés de chaque distribution, nous pouvons utiliser un vecteur $\mathcal{N}(\mu',\sigma')$ pour générer de nouveaux vecteurs dans l'espace vectoriel estimé
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\item Apprentissage semi-supervisée : l'entraînement du modèle ne dépend pas de $Y$ donc nous pouvons entraîner le modèle avec le maximum de données non labellisé. Ensuite, en labellisant que certains points $X$ le modèle pourra déduire quels points sont les plus similaires et en conséquence les plus susceptibles d'être du même label.
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\end{itemize}
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@ -10,10 +10,12 @@
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Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
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\end{definition_sq}
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Typiquement, pour éviter d'inventer des nouvelles notations pour chaque loi de composition interne, on utilisera des notations déjà familières telles que \textbf{la notation additive (+)} directement héritée de l'addition des entiers naturels, ainsi que \textbf{la notation multiplicative ($\cartesianProduct$)}.
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\langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
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\begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$.
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} s'il existe un élément appelé \textbf{élément neutre} tel que si combiné avec n'importe quel élément ne le change pas, c'est-à-dire $$\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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@ -30,446 +32,6 @@
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Un monoïde $(E, \star)$ est un magma unital \ref{definition:unital_magma} dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Groupe}{Group}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group}
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Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} tous les éléments sont inversibles i.e. $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = \Identity_G$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:order_group}
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Le cardinal d'un groupe $(G, \star)$ est appelé \textbf{ordre du groupe}, dans le cas d'un cardinal fini, on parlera de \textbf{groupe fini}.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = \Identity_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star \Identity_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
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\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
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Un groupe est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \mid \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, +) \in \Ab$, si le groupe de torsion $T = \{ \Identity_G \}$ alors $G$ est dit \textbf{sans torsion}.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, +) \in \Ab$, le groupe de torsion $T$ est un groupe.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup}
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\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$. Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un \textbf{sous-groupe} de $G$ si $H$ est également un groupe, dans ce cas on notera $H \leqslant G$.
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Les sous-groupes tels que $H = G$ ou $H = \{ \Identity_G \}$ sont appelées les \textbf{sous-groupes triviaux} de $G$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup}
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\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
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Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
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\end{definition_sq}
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\begin{proof}
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Soit un groupe $(G, \star)$ ainsi que $x \in G$. Comme $\generator{x} \subseteq G$, il suffit de vérifier l'élément neutre et l'inversibilité. Ce qui est immédiat avec la proposition suivante : $\forall y \in G, \forall p \in \Z, y^p \star y^{-p} = \Identity$.
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Produit direct de groupe}{Direct product of groups}
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\begin{definition_sq} \label{definition:direct_product_group}
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Le \textbf{produit direct} ou \textbf{groupe produit} de deux groupes $(G, \star)$ et $(H, +)$ est l'ensemble $G \cartesianProduct H$ muni de l'opération $\function{\triangle}{(G \cartesianProduct H)^2}{G \cartesianProduct H} \hspace{1mm} \functiondef{(x_1, x_2) \cartesianProduct (y_1, y_2)}{(x_1 \star y_1, x_2 + y_2)}$
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
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Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$).
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{X}{Y}$ tel que
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$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
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Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
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\[\begin{tikzcd}
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X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
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X \arrow[r, "\phi"] & Y
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\end{tikzcd}\]
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
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$$f(\Identity_G) = \Identity_H$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
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$$\forall x \in G, \left[ f(x) = f(x + \Identity_G) = f(x) \star f(\Identity_G) \right] \land \left[ f(x) = f(\Identity_G + x) = f(\Identity_G) \star f(x) \right] \equivalence f(\Identity_G) = \Identity_H$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
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$$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
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$$\forall x \in G, f(\Identity_G) = f(x + x^{-1}) = f(x) \star f(x^{-1})$$
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Par définition d'un morphisme $\exists y \in H, y = f(x)$ et par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
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$$y \star f(x^{-1}) = \Identity_H \implies f(x^{-1}) = y^{-1} \implies f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
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$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
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$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$
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$\implies f(x + y) = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = f(y + x)$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
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$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}.
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$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
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$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
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$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
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\impliespart
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$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
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\Limpliespart
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$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \mid \phi(g) = \Identity_G \}$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ le noyau d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$ est un sous-groupe de $X$ et $\phi$ est injectif si et seulement si $\ker(\phi) = \{ \Identity_X \}$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$.
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\begin{itemize}
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\item{$\Identity_G \in \ker(\phi)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
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\item{$\forall (x, y) \in (\ker(\phi))^2, \phi(x \star y) = \phi(x) + \phi(y) = \Identity_H + \Identity_H = \Identity_H \implies x \star y \in \ker(\phi)$}
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\item{(Version longue) $\forall x \in \ker(\phi), \phi(x \star x^{-1}) = \phi(x) + \phi(x^{-1}) = \Identity_H + \phi(x^{-1}) = \phi(x^{-1}) = \Identity \implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
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\item{$\forall x \in \ker(\phi), \phi(x^{-1}) = \phi^{-1}(x) \equivalence \Identity_H^{-1} = \Identity_H$ (par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} et \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}) $\implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
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\end{itemize}
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$\implies \ker(\phi) \subgroup G$
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Soit $(x, y) \in G$
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$$\phi(x) = \phi(y) \implies \phi(x \star y^{-1}) = \phi(x) + \phi(y^{-1}) = \phi(x) + \phi^{-1}(y)$$
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Par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
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$$\phi(x) + \phi^{-1}(y) = \phi(x) + \phi(x) = \Identity_H \implies x \star y^{-1} = \Identity_G \in \ker(\phi) \implies x = y$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. Alors l'image $f(X) \subseteq Y$ est un sous-groupe de $Y$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$.
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\begin{itemize}
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\item{$\Identity_H \in \phi(X)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
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\item{$\forall (a', b') \in \phi(X)^2, \exists (a, b) \in X^2, a' = \phi(a) \land b' = \phi(b) \implies \phi(a) + \phi(b) = \phi(a \star b) \in \phi(X)$}
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||||
\item{$\forall a \in \phi(X), \exists b \in X, a = \phi(b) \implies a^{-1} = \phi(b)^{-1} = \phi(b^{-1})$ par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} $\implies a^{-1} \in \phi(X)$}
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||||
\end{itemize}
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Groupes cycliques}{Cyclic groups}
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\begin{definition_sq} \label{definition:cyclic_group}
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On dit qu'un groupe $(G, \star)$ \ref{definition:group} est \textbf{cyclique} s'il existe $x \in G$ tel que $\generator{x} = G$. On dit alors que $x$ est un \textbf{générateur} de $G$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique \ref{definition:cyclic_group}
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\begin{itemize}
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\item{Si $\card{G} = \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z, +)$}
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\item{Si $\card{G} = n < \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$}
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\end{itemize}
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec le générateur $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ alors l'ordre de $G$ est $\frac{n}{\gcd(n, q)}$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ si $\gcd(n, q) = 1 \implies x$ est un générateur de $G$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func}
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L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \mid m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
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||||
\end{definition_sq}
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||||
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\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique d'ordre $n$ \ref{definition:cyclic_group} avec $a \in G$ générateur. Si $d \in \N, d \divides n \implies \exists! H \subgroup G, \card{H} = d$, autrement dit, on a $H = \generator{a^{\frac{n}{d}}}$.
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||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \mid x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \mid x \in H \}$.
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||||
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||||
Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc
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$$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$
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$$x \sim_d y \equivalence y \in Hx \equivalence yx^{-1} \in H$$
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\end{definition_sq}
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||||
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\begin{theorem_sq}
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||||
Les notations $\sim_g$ et $\sim_d$ sont des relations d'équivalences.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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||||
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ ainsi que $G / \sim_g$ (et $G / \sim_d$) le quotient de $G$. Alors, on a une bijection $\function{\phi}{G / \sim_g}{G / \sim_d}$ $\functiondef{[xH]}{[Hx^{-1}]}$.
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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||||
\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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||||
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:group_indice}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Si le nombre de classes modulo $H$ est fini, on appelle ce nombre \textbf{l'indice} de $H$ dans $G$ noté $[G:H]$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:lagrange_theorem}
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||||
Soit $(G, \star)$ un groupe fini et $H \subgroup G \implies [G:H] = \frac{\card{G}}{\card{H}}$
|
||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ et $a \in G \implies [ ord(a) \divides n ] \land [ a^n = 1 ]$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ un nombre premier alors $G$ est cyclique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Sous-groupe distingué et quotient}{Proper subgroup and quotient}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, on dit que $H \subgroup G$ est \textbf{distingué} si $\forall x \in G, xH = Hx$. On écrira alors $H \normalSubgroup G$ ainsi que $G/H := G / \sim_g = G / \sim_d$ l'ensemble des classes à gauche et droite.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Le noyau de $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} est distingué.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ si $H \subgroup G$ est un sous-groupe d'indice 2 alors $H$ est distingué.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, on a $H \normalSubgroup G \equivalence \forall x \in G, xHx^{-1} = H$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G \implies G / H$ a une structure de groupe donné par $\function{f}{G/H \cartesianProduct G/H}{G/H} \functiondef{([xH], [yH])}{[xyH]}$ de plus, l'application quotient $\function{q}{G}{G/H} \functiondef{x}{[xH]}$ est un morphisme de groupe avec $\ker(q) = H$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theoren:universal_property_quotient}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G$ avec quotient $\function{q}{G}{G/H}$ ainsi que le morphisme de groupe $\function{f}{(G, \star)}{(G', +)}$ tel que $H \subseteq \ker(f)$.
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||||
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||||
Alors $\exists! \function{\bar{f}}{G/H}{G}$ un morphisme de groupes tel que $f = \bar{f} \composes q$. De plus, on a
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$\bar{f}$ injectif $\equivalence \ker(f) = H$
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||||
$\bar{f}$ surjectif $\equivalence f$ surjectif
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\[\begin{tikzcd}
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G \arrow[r, "q"] \arrow[d, "f" left] & G/H \arrow[dl, dotted, "\exists! \bar{f}"] \\
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||||
G'
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\end{tikzcd}\]
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||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} alors $G / \ker(f) \isomorphic im(f)$
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||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(p, q) \in \N^2, \gcd(p, q) = 1 \implies \Z/pq\Z \isomorphic \Z/p\Z \cartesianProduct \Z/q\Z$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \mid k \in K, h \in H \} \subseteq G$
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||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH \subgroup G$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH/K \isomorphic H/K \intersection H$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \normalSubgroup G$ tel que $H \subseteq K \implies (K/H) \normalSubgroup (G/H)$ ainsi que $(G/H)/(K/H) \isomorphic G/K$
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||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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||||
Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \mid \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp \implies Aut(G) \subgroup S(K)$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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||||
% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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||||
Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que $\function{\phi}{(Q, \star)}{(Aut(K), \composes)}$ un morphisme de groupes. Alors on appelle \textbf{produit semi-direct} l'opération sur l'ensemble $K \cartesianProduct Q$
|
||||
|
||||
$$\function{\psi}{(K \cartesianProduct Q)^2}{K \cartesianProduct Q} \functiondef{(k_1, q_1), (k_2, q_2)}{(k_1 \star \phi(q_1)(k_2), q_1 \composes q_2))}$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que le produit semi-direct $(\psi)$, alors le tuple $(K \cartesianProduct Q, \psi) \in \Grp$ et on le note $K \ltimes_q Q$
|
||||
\end{theorem_sq}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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||||
Si $K \ltimes_\phi Q$ est un produit semi-direct alors l'application $\function{\pi}{K \ltimes_\phi Q}{Q} \functiondef{(k, q)}{q}$ est un morphisme de groupes et $\ker(\pi) = K$.
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||||
\end{theorem_sq}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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||||
% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$.
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||||
|
||||
$$\exists Q \subgroup G, KQ = G \land K \intersection Q = \{ \Identity_G \} \implies G \isomorphic K \ltimes_\phi Q$$
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||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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||||
% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsection{Corps}{Field}
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:field}
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||||
@ -487,20 +49,6 @@
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||||
Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
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||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\langsubsection{Anneau}{Ring}
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||||
Source : \citeannexes{wikipedia_ring}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
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||||
Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
|
||||
|
||||
$\forall (a, b, c) \in R^3$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
|
||||
\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
|
||||
\end{itemize}
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||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\section{Matrices}
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||||
%TODO Complete section
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||||
@ -560,11 +108,9 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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||||
\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsubsection
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\pagebreak
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\subsection{Inverse}
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\begin{theorem_sq}
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||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:matrix_product_monoid}
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||||
Le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde.
|
||||
\end{theorem_sq}
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||||
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||||
@ -586,17 +132,17 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
|
||||
$MA = MB = \begin{pmatrix} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$ alors que $M \ne 0 \land A \ne B$
|
||||
\end{proof}
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||||
|
||||
% \begin{theorem_sq}
|
||||
% $\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
|
||||
% \end{theorem_sq}
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
$\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
% \begin{proof}
|
||||
% Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
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||||
%
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||||
% $A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
|
||||
%
|
||||
% $AB = 0$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
|
||||
% \end{proof}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
|
||||
|
||||
$A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$AB = 0_2$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
|
||||
Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement s'il existe une matrice dite \textbf{inverse} $B \in M_n(\K)$ tel que $AB = \Identity_n = BA$.
|
||||
@ -610,25 +156,27 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
|
||||
|
||||
- Les matrices de dilatation $D_i(a)$ sont inversibles : $(D_i(a))^{-1} = D_i(a^{-1})$
|
||||
|
||||
- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{i, j}$
|
||||
- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{j, i}$
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:linear_group}
|
||||
L'ensemble des matrices inversibles est appelé \textbf{groupe linéaire} et est noté $GL_n(\K)$.
|
||||
|
||||
Également, le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
Par la théorie des groupes :
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{L'inverse est unique : $AB = AC = \Identity_n \implies B = C = A^{-1}$}
|
||||
\item{L'inverse d'un inverse est l'identité : $(A^{-1})^{-1} = A$}
|
||||
\item{Le produit de deux matrices inversibles est inversible : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
L'ensemble des matrices inversibles sont également des matrices, donc $GL_n(\K) \subseteq M_n(\K)$ or le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde \ref{theorem:matrix_product_monoid} et $GL_n(\K)$ ne garde que les matrices qui sont inversibles et cela constitue la définition d'un groupe \ref{definition:group}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée : $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée c.-à-d. : $\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
$(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n \land A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
$\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \forall M \in GL_n(\K), (MA = MB) \equivalence A = B$
|
||||
@ -649,14 +197,19 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Par récurrence sur $n$. Le cas d'initialisation $n = 1$ est immédiat.
|
||||
|
||||
Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$. On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss.
|
||||
Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
|
||||
Si $a_{11} \ne 1$, alors il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ (ou l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + \frac{1 - a_{11}}{a_{i1}}L_i$) permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
|
||||
Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$.
|
||||
Appliquons l'algorithme du pivot de Gauss.
|
||||
Comme A est inversible, sa première colonne est nécessairement non nulle.
|
||||
|
||||
Si $a_{11} \ne 1$, s'il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
|
||||
|
||||
Dans le cas ou $a_{11} \ne 1$ et qu'il s'agit du seul coefficient non nul de la colonne, nous pouvons ajouter la matrice de transvection $T_{2, 1}(1)$ pour nous ramener au cas précédent.
|
||||
|
||||
Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
|
||||
colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
|
||||
des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
|
||||
$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$
|
||||
où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
|
||||
colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne, cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
|
||||
$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$
|
||||
où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$.
|
||||
En appliquant l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
@ -679,60 +232,92 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
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||||
|
||||
Supposons que la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = \Identity_n$.
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||||
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||||
% TODO Fix proof...
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||||
Alors, $\rank{A} = n$.
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||||
% \Limpliespart
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||||
En effet, si $\rank{A} = n$, ainsi, il existe une matrice colonne de taille $n$ qui est un multiple scalaire des colonnes de $A$, ce qui signifie que les vecteurs colonnes de $A$ sont linéairement indépendants.
|
||||
% Supposons que $\rank{A} = n$.
|
||||
% Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
|
||||
% alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
|
||||
% Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
|
||||
|
||||
\Limpliespart
|
||||
% On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$.
|
||||
|
||||
Supposons que $\rank{A} = n$.
|
||||
Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
|
||||
alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
|
||||
Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
|
||||
|
||||
On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$.
|
||||
|
||||
Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
|
||||
% Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
|
||||
|
||||
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||||
% TODO Fix garbage AI proof...
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||||
Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
|
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alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
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||||
% Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
|
||||
% alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
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%
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||||
% Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
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||||
%
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||||
% Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
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||||
%
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||||
% Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
|
||||
% Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
|
||||
% la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
|
||||
% Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
|
||||
%
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||||
% Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
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%
|
||||
% Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
|
||||
% On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
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% \[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
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||||
% Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
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||||
% Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
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Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
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Ok
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Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
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Ok
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Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
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Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
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la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
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Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
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Ok
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Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
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\impliespart
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||||
Since $AA^{-1} = I_n$, the columns of $A$ must be linearly independent.
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||||
|
||||
Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
|
||||
On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
|
||||
\[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
|
||||
Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
|
||||
Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
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||||
To see this, suppose the columns of $A$ are linearly dependent. Then there exist scalars $c_1, c_2, ..., c_n$, not all zero, such that
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$$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + \dots + c_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}$$
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||||
where $\mathbf{a}_i$ are the columns of $A$. This can be written as $A\mathbf{c} = \mathbf{0}$, where $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ is a non-zero vector.
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||||
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||||
If $A$ is invertible, then we can multiply both sides by $A^{-1}$:
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$$A^{-1}A\mathbf{c} = A^{-1}\mathbf{0} \implies \mathbf{c} = \mathbf{0}$$
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||||
But this contradicts our assumption that $\mathbf{c}$ is a non-zero vector. Therefore, the columns of $A$ must be linearly independent.
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||||
Since $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent columns, the column space of $A$ has dimension $n$. Therefore, rank$(A) = n$.
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||||
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\Limpliespart
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||||
$\rank{A} = n$ implies that $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent rows.
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||||
Since the columns of $A$ are linearly independent and span $\K^n$, any vector $\mathbf{b} \in \K^n$ can be written as a linear combination of the columns of $A$. In other words, for any $\mathbf{b} \in \K^n$, the equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ has a solution. Since the columns are linearly independent, the solution is unique.
|
||||
|
||||
Consider the system $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{e}_i$ is the $i$-th standard basis vector in $\K^n$ (i.e., a vector with a 1 in the $i$-th position and 0s elsewhere). Since rank$(A) = n$, this system has a unique solution for each $i = 1, 2, ..., n$. Let $\mathbf{x}_i$ be the unique solution to $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$.
|
||||
|
||||
Now, construct a matrix $B$ whose columns are the vectors $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n$. Then $AB$ is a matrix whose $i$-th column is $A\mathbf{x}_i = \mathbf{e}_i$. Therefore, $AB = I_n$.
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||||
|
||||
Since $AB = I_n$, we have shown that $A$ has a right inverse. For square matrices, if a right inverse exists, then it is also a left inverse. Therefore, $BA = I_n$ as well. Thus, $B = A^{-1}$, and $A$ is invertible.
|
||||
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:special_linear_group}
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||||
L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1.
|
||||
L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1, c'est-à-dire
|
||||
$$SL_n(\K) := \{ A \in GL_n(\K) \suchthat \det(A) = 1\}$$
|
||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Le tuple $(SL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
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||||
$SL_n(\K) \normalSubgroup GL_n(\K)$
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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\begin{proof}
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||||
Vérifions chaque axiome d'un groupe. $\det(\Identity_n) = 1 \equivalence \Identity_n \in SL_n(\K)$.
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||||
Grâce aux propriétés du déterminant, on peut vérifier chaque axiome d'un sous-groupe \ref{definition:subgroup}
|
||||
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||||
La propriété du déterminant $\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B)$ permet de montrer les propositions suivantes :
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||||
$$\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 * 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$$
|
||||
$$\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Magma : $\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$}
|
||||
\item{Présence de l'identité : $\det(\Identity_n) = 1 \implies \Identity_n \in SL_n(\K)$}
|
||||
\item{Présence de l'inverse : $\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Pour montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe distingué, posons $x \in GL_n(\K)$ et $y \in SL_n(\K)$, nous pouvons en conclure
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||||
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||||
$\det(xyx^{-1}) = \det(x)\det(y)\det(x)^{-1} = 1 \implies xyx^{-1} \in SL_n(\K)$
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||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
@ -741,16 +326,15 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Soit $A \in SL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme $\det(A) = 1$ cela revient à la matrice identité, on peut donc en conclure que
|
||||
$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) = \Identity_n$$
|
||||
$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\pagebreak
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||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
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||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
\lipsum[2]
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||||
% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
@ -786,7 +370,7 @@ $a \in Tr_n$
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||||
\begin{proof}
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||||
Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.
|
||||
|
||||
$$\forall n \in \N, \matrixnorm{\frac{A^n}{n!}} \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
|
||||
$$\forall n \in \N, \left\lVert \frac{A^n}{n!} \right\rVert \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
@ -842,36 +426,34 @@ $a \in Tr_n$
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||||
Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
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||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
|
||||
%TODO Complete section
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||||
\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
|
||||
|
||||
Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space}
|
||||
Un espace vectoriel $(E(\K), +, \cartesianProduct)$ sur un corps $\K$ est un tuple
|
||||
Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
|
||||
\bigskip
|
||||
Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Unital en $(\cdot)$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
|
||||
$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in \K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Unital en $(\cdot)$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
|
||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_free_family}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si la seule combinaison linéaire qui annule \suite{e} est la combinaison linéaire nulle, c'est-à-dire
|
||||
$$\forall \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
|
||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_generating_family}
|
||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} d'un espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ si pour tout vecteur $v$ de $E$ il existe une combinaison linéaire de \suite{e} égale à $v$, c'est-à-dire
|
||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
|
||||
@ -938,7 +520,7 @@ $\implies F \subset G \lor G \subset F$
|
||||
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||||
\langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{defintion:linear_map}
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:linear_map}
|
||||
Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}
|
||||
|
||||
@ -100,12 +100,12 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
|
||||
$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \mid \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
|
||||
Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \suchthat \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
|
||||
|
||||
\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \mid \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
|
||||
\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \suchthat \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
|
||||
% TODO Complete 6.
|
||||
|
||||
Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \mid \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
|
||||
Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \suchthat \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
|
||||
|
||||
\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
|
||||
% TODO Complete 7.
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||||
|
||||
@ -77,9 +77,8 @@ $\implies \frac{f'g + fg'}{g^2}$
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||||
Soit $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(f \composes g(x))' = f' \composes g(x) + g'(x)$
|
||||
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\begin{proof}
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\lipsum[3]
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
\langsubsection{Exponentiel}{Exponential}
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||||
@ -89,7 +88,8 @@ Soit $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(f \composes g(x))' =
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||||
Soit $x \in R$ et $\function{f}{\R}{\R}, (e^{f(x)})' = f'(x)e^{f(x)}$
|
||||
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||||
\begin{proof}
|
||||
\lipsum[3]
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||||
\lipsum[2]
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||||
% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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\langsubsubsection{Base arbitraire}{Arbitrary base}
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@ -99,7 +99,7 @@ Soit $x \in \R, b \in \R^*$ et $\function{f}{\R}{\R}, (b^{f(x)})' = f'(x)b^{f(x)
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||||
\begin{proof}
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||||
Soit $x \in \R, b \in \R^*$ et $\function{f}{\R}{\R}$
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||||
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||||
Il y plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
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||||
Il y a plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
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||||
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||||
\textbf{Preuve par calcul de limite}
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||||
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||||
@ -119,7 +119,7 @@ Soit $x \in \R, b \in \R^*$ et $\function{f}{\R}{\R}, (b^{f(x)})' = f'(x)b^{f(x)
|
||||
Soit $x \in R^*_+, (\ln(x))' = \frac{1}{x}$
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Il y plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
|
||||
Il y a plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
|
||||
|
||||
\textbf{Preuve par instantiation}
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||||
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||||
@ -139,7 +139,7 @@ Soit $x \in R^*_+, (\ln(x))' = \frac{1}{x}$
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||||
Soit $x \in R^*_+, (\log_b(x))' = \frac{1}{x \ln(b)}$
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Il y plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
|
||||
Il y a plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
|
||||
|
||||
\textbf{Preuve par instantiation}
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||||
|
||||
|
||||
@ -1,9 +1,61 @@
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||||
\pagebreak
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||||
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%\documentclass{article}
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||||
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||||
%\usepackage{paracol}
|
||||
\columnratio{0.5}
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||||
% Défini la longueur des marges du document (défault à 4.8cm)
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||||
%\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
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||||
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||||
%\usepackage{xcolor}
|
||||
% mode sombre
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%\definecolor{colour_bg} {HTML} {222324}
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||||
%\definecolor{colour_fg} {HTML} {FFFFFF}
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||||
% mode par défaut
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||||
% \definecolor{colour_bg} {RGB} {255, 255, 255}
|
||||
% \definecolor{colour_fg} {RGB} {0, 0, 0}
|
||||
% \pagecolor{colour_bg}
|
||||
% \color{colour_fg}
|
||||
% \usepackage{mdframed}
|
||||
% \mdfsetup{linecolor = colour_fg, innerlinecolor = colour_fg, middlelinecolor = colour_fg, outerlinecolor = colour_fg, %
|
||||
% backgroundcolor = colour_bg, fontcolor = colour_fg}
|
||||
|
||||
% Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
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||||
% \usepackage{amsfonts}
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||||
%\usepackage{amssymb} % for '\blacksquare' macro
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||||
% \usepackage{amsthm} % for 'proof' environment
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||||
% \usepackage{mathtools}
|
||||
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||||
% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
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||||
% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
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||||
% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ} % New symbol composing morphisms
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||||
% \newcommand{\suchthat}{\mid}
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% \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
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||||
% \newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natural numbers symbol
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||||
% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Real numbers symbol
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||||
% \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
|
||||
% \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
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||||
% \DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
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||||
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||||
% \newtheorem{definition}{Définition}
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||||
% \newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
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||||
% \newtheorem{theorem}{Théorème}
|
||||
% \newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
|
||||
|
||||
% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
|
||||
% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
|
||||
% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
|
||||
% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
|
||||
|
||||
%\begin{document}
|
||||
|
||||
%\maketitle
|
||||
|
||||
\begin{paracol}{2}
|
||||
Pierre Saunders
|
||||
|
||||
William De Canteloube
|
||||
\switchcolumn
|
||||
\begin{flushright}
|
||||
L3 Math 2024-25
|
||||
@ -21,7 +73,7 @@ Université Côte d'Azûr
|
||||
\subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
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||||
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||||
% Emmanuel Militon
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||||
Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \mid n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
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Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \suchthat n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
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Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
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@ -37,7 +89,25 @@ Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
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$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
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$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
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Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
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\begin{prop_sq}
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$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
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\end{prop_sq}
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\begin{proof}
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Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
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Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
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$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
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\end{proof}
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\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
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Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
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\end{prop_sq}
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\begin{proof}
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Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
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\end{proof}
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En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
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$$x
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
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= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
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@ -76,6 +146,12 @@ Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudie
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
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Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
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\end{definition_sq}
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ANNEXE
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TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}
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%\end{document}
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654
contents/group_theory.tex
Normal file
654
contents/group_theory.tex
Normal file
@ -0,0 +1,654 @@
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\langsubsection{Groupe}{Group}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group}
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Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ou tous les éléments sont inversibles, c'est-à-dire $$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = \Identity_G$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $(x, a, b) \in G^3$ tel que $a, b$ sont deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = \Identity_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star \Identity_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:order_group}
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Le cardinal d'un groupe $(G, \star)$ est appelé \textbf{ordre du groupe}, dans le cas d'un cardinal fini, on parlera de \textbf{groupe fini}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
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\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
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Un groupe $(G, \star)$ est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in G^2, a \star b = b \star a$$
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:torsion_group}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, on appelle \textbf{groupe de torsion} (ou \textbf{groupe périodique}) l'ensemble
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$$T := \{ g \in G \suchthat \exists n \in \N^*, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, le groupe de torsion \ref{definition:torsion_group} $T$ est un sous-groupe \ref{definition:subgroup} de $G$, c'est-à-dire
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$$(T_G, \star) \subgroup (G, \star)$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$ ainsi que $(T_G, \star)$ le groupe de torsion. Montrons que $(T_G, \star)$ est un sous-groupe.
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\begin{itemize}
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\item{$\forall n \in \N^*, (\Identity_G)^n = \Identity_G \implies \Identity_G \in T_G$}
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\item{$\forall (a, b) \in T_G, \exists (n, m) \in (\N^*)^2, a^n = b^m = \Identity_G, (ab)^{nm}$}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:torsion_free_group}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, si le groupe de torsion $T = \{ \Identity_G \}$ alors $G$ est dit \textbf{sans torsion}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsubsection{Groupes N-abélien}{N-abelian groups}
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\begin{definition_sq} \label{definition:n_abelian_groups}
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Un groupe $(G, \star)$ est dit \textbf{N-abélien} s'il existe un entier naturel $n \ge 2$ tel que $\forall (a, b) \in G^2, (a \star b)^n = a^n \star b^n$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Un groupe est N-abélien si et seulement s'il est abélien \ref{definition:abelian_group}.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien, prouvons le théorème par induction sur $n$, pour alléger la notation, la notation multiplicative sera utilisé.
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\fbox{Cas initial $n = 2$} Soit $(G, \star)$ un groupe 2-abélien ainsi que $(a, b) \in G^2$ $$(ab)^2 = a^2b^2 \equivalence abab = aabb \equivalence \inv{a} (abab) \inv{b} = \inv{a} (aabb) \inv{b} \equivalence ba = ab$$
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\fbox{Hérédité}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{lstlisting}[language=lean]
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theorem two_n_groups_are_abelian {G : Type u} [Group G] {a b : G} : (a * b)^2 = a^2 * b^2 ↔ a * b = b * a := by
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apply Iff.intro
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-- Left
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intro h
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rw [pow_two, pow_two, pow_two, mul_assoc, mul_assoc, mul_right_inj, ← mul_assoc, ← mul_assoc, mul_left_inj] at h
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exact h.symm
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||||
-- Right
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intro h
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rw [pow_two, pow_two, pow_two, ← mul_assoc, mul_assoc a, ← h, ← mul_assoc, mul_assoc]
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||||
\end{lstlisting}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien ainsi que $K := \{ x^n \suchthat x \in G \}$. $$K \normalSubgroup G$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien ainsi que $K := \{ x^n \suchthat x \in G \}$. Montrons que $K \subgroup G$
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\begin{itemize}
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\item{$\forall (a^n, b^n) \in K^2, a^n b^n = (ab)^n \implies a^n b^n \in K$}
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||||
\item{$(\Identity_G)^n = \Identity_G \implies \Identity_G \in K$}
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||||
\item{$\forall a^n \in K, \exists! \inv{a} \in G, \Identity_G = a \inv{a} = (a \inv{a})^n = a^n (a^{-1})^n = a^n a^{-n}= a^n \inv{(a^n)} \implies \inv{(a^n)} \in K$}
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||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Prouvons le théorème par induction sur $n$, pour alléger la notation, la notation multiplicative sera utilisé.
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||||
\fbox{Cas initial $n = 2$} Soit $(G, \star)$ un groupe 2-abélien ainsi que $(a, b) \in G^2$ $$(ab)^2 = a^2b^2 \equivalence abab = aabb \equivalence \inv{a} (abab) \inv{b} = \inv{a} (aabb) \inv{b} \equivalence ba = ab$$
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\fbox{Hérédité}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup}
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\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$. Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un \textbf{sous-groupe} de $G$ si $H$ est également un groupe, dans ce cas on notera $H \leqslant G$.
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Les sous-groupes tels que $H = G$ ou $H = \{ \Identity_G \}$ sont appelées les \textbf{sous-groupes triviaux} de $G$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup}
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\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
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Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \suchthat k \in \Z \} \subseteq G$
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\end{definition_sq}
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\begin{proof}
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Soit un groupe $(G, \star)$ ainsi que $x \in G$. Comme $\generator{x} \subseteq G$, il suffit de vérifier l'élément neutre et l'inversibilité. Ce qui est immédiat avec la proposition suivante : $\forall y \in G, \forall p \in \Z, y^p \star y^{-p} = \Identity$.
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Produit direct de groupe}{Direct product of groups}
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\begin{definition_sq} \label{definition:direct_product_group}
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Le \textbf{produit direct} ou \textbf{groupe produit} de deux groupes $(G, \star)$ et $(H, +)$ est l'ensemble $G \cartesianProduct H$ muni de l'opération $\function{\triangle}{(G \cartesianProduct H)^2}{G \cartesianProduct H} \hspace{1mm} \functiondef{(x_1, x_2) \cartesianProduct (y_1, y_2)}{(x_1 \star y_1, x_2 + y_2)}$
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
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Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$).
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Soit $(G, \star)$ et $(H, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{G}{H}$ tel que
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$$\forall (a, b) \in G^2, \phi(a \star b) = \phi(a) \composes \phi(b)$$
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Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
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\[\begin{tikzcd}
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G \cartesianProduct G \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & H \cartesianProduct H \arrow[d, "\composes"] \\
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G \arrow[r, "\phi"] & H
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\end{tikzcd}\]
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
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$$f(\Identity_G) = \Identity_H$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
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$$\forall x \in G, \left[ f(x) = f(x + \Identity_G) = f(x) \star f(\Identity_G) \right] \land \left[ f(x) = f(\Identity_G + x) = f(\Identity_G) \star f(x) \right] \equivalence f(\Identity_G) = \Identity_H$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
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$$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
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$$\forall x \in G, f(\Identity_G) = f(x + x^{-1}) = f(x) \star f(x^{-1})$$
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Par définition d'un morphisme $\exists y \in H, y = f(x)$ et par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
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$$y \star f(x^{-1}) = \Identity_H \implies f(x^{-1}) = y^{-1} \implies f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
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$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
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||||
$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(x) = a \land f(y) = b$
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$\implies f(x + y) = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = f(y + x)$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
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$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}.
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$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
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$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
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$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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||||
Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
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\impliespart
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$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
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\Limpliespart
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$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \suchthat \phi(g) = \Identity_G \}$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:kernel_homomorphism_is_subgroup}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ le noyau d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$ est un sous-groupe de $X$ et $\phi$ est injectif si et seulement si $\ker(\phi) = \{ \Identity_X \}$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$.
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\begin{itemize}
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\item{$\Identity_G \in \ker(\phi)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
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\item{$\forall (x, y) \in (\ker(\phi))^2, \phi(x \star y) = \phi(x) + \phi(y) = \Identity_H + \Identity_H = \Identity_H \implies x \star y \in \ker(\phi)$}
|
||||
\item{(Version longue) $\forall x \in \ker(\phi), \phi(x \star x^{-1}) = \phi(x) + \phi(x^{-1}) = \Identity_H + \phi(x^{-1}) = \phi(x^{-1}) = \Identity \implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
|
||||
\item{$\forall x \in \ker(\phi), \phi(x^{-1}) = \phi^{-1}(x) \equivalence \Identity_H^{-1} = \Identity_H$ (par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} et \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}) $\implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
|
||||
\end{itemize}
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||||
$\implies \ker(\phi) \subgroup G$
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||||
Soit $(x, y) \in G$
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$$\phi(x) = \phi(y) \implies \phi(x \star y^{-1}) = \phi(x) + \phi(y^{-1}) = \phi(x) + \phi^{-1}(y)$$
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||||
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||||
Par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
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||||
$$\phi(x) + \phi^{-1}(y) = \phi(x) + \phi(x) = \Identity_H \implies x \star y^{-1} = \Identity_G \in \ker(\phi) \implies x = y$$
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||||
\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. Alors l'image $f(X) \subseteq Y$ est un sous-groupe de $Y$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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||||
Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$.
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\begin{itemize}
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||||
\item{$\Identity_H \in \phi(X)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
|
||||
\item{$\forall (a', b') \in \phi(X)^2, \exists (a, b) \in X^2, a' = \phi(a) \land b' = \phi(b) \implies \phi(a) + \phi(b) = \phi(a \star b) \in \phi(X)$}
|
||||
\item{$\forall a \in \phi(X), \exists b \in X, a = \phi(b) \implies a^{-1} = \phi(b)^{-1} = \phi(b^{-1})$ par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} $\implies a^{-1} \in \phi(X)$}
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{proof}
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\langsubsubsection{Groupes cycliques}{Cyclic groups}
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\begin{definition_sq} \label{definition:cyclic_group}
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On dit qu'un groupe $(G, \star)$ \ref{definition:group} est \textbf{cyclique} s'il existe $x \in G$ tel que $\generator{x} = G$. On dit alors que $x$ est un \textbf{générateur} de $G$.
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||||
\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:cyclic_group_isomorph_integers}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique \ref{definition:cyclic_group}
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\begin{itemize}
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||||
\item{Si $\card{G} = \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z, +)$}
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||||
\item{Si $\card{G} = n < \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$}
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||||
\end{itemize}
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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||||
Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique et $x \in G$ un générateur de $G$.
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||||
Posons l'application $\function{\phi}{(\Z, +)}{(G, \star)} \functiondef{n}{x^n}$.
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||||
On remarque que $\forall (a, b) \in \Z^2, \phi(a + b) = x^{a + b} = x^a \star x^b = \phi(a) \star \phi(b) \implies \phi \in \hom(\Z, G)$
|
||||
|
||||
Comme $\generator{x} = G \implies \phi$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}
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\begin{itemize}
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||||
\item{Si $\card{\generator{x}} = \card{G} = \infty \implies \phi$ est un isomorphisme vers $(\Z, +)$}
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||||
\item{Si $\card{\generator{x}} = \card{G} = n < \infty \implies \phi$ est un isomorphisme vers $(\Z/n\Z, +)$}
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec le générateur $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ alors l'ordre de $G$ est $\frac{n}{\gcd(n, q)}$
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini tel que $n := \card{G}$, par \ref{theorem:cyclic_group_isomorph_integers} $(G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$.
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||||
\end{proof}
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\begin{corollary_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ si $\gcd(n, q) = 1 \implies x$ est un générateur de $G$.
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||||
\end{corollary_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func}
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L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \suchthat m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
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||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique d'ordre $n$ \ref{definition:cyclic_group} avec $a \in G$ générateur. Si $d \in \N, d \divides n \implies \exists! H \subgroup G, \card{H} = d$, autrement dit, on a $H = \generator{a^{\frac{n}{d}}}$.
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||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \suchthat x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \suchthat x \in H \}$.
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||||
|
||||
Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc
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||||
$$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$
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||||
$$x \sim_d y \equivalence y \in Hx \equivalence yx^{-1} \in H$$
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||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Les notations $\sim_g$ et $\sim_d$ sont des relations d'équivalences.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ ainsi que $G / \sim_g$ (et $G / \sim_d$) le quotient de $G$. Alors, on a une bijection $\function{\phi}{G / \sim_g}{G / \sim_d}$ $\functiondef{[xH]}{[Hx^{-1}]}$.
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_indice}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Si le nombre de classes modulo $H$ est fini, on appelle ce nombre \textbf{l'indice} de $H$ dans $G$ noté $[G:H]$
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||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\begin{theorem_sq}[\lang{Théoreme de Lagrange}{Lagrange's theorem}] \label{theorem:lagrange_theorem}
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Soit $(G, \star)$ un groupe fini et $H \subgroup G \implies [G:H] = \frac{\card{G}}{\card{H}}$.
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||||
On appelle alors \textbf{indice} de $H$ dans $G$ le nombre $[G:H]$.
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||||
De plus, si $H$ est un sous-groupe distingué \ref{definition:normal_subgroup} de $G$ alors $[G:H]$ est aussi le cardinal du groupe quotient $G/H$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ et $a \in G \implies [ ord(a) \divides n ] \land [ a^n = 1 ]$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ un nombre premier alors $G$ est cyclique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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||||
\langsubsubsection{Sous-groupe distingué et quotient}{Proper subgroup and quotient}
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\begin{definition_sq} \label{definition:normal_subgroup}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$, on dit que $H \subgroup G$ est \textbf{distingué} (ou \textbf{normal}) si $\forall x \in G, xH = Hx$.
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||||
On écrira alors $H \normalSubgroup G$
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\end{definition_sq}
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||||
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:simple_group}
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||||
Un groupe non trivial $G$ est \textbf{simple} si ces seuls sous-groupes distingués sont $\{ \Identity_G \}$ et lui-même.
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\end{definition_sq}
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:quotient_group}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ ainsi que $H \normalSubgroup G$, on appelle $G/H$ le \textbf{groupe quotient} de $G$ par $H$ que l'on définira de la manière suivante : $G/H := G / \sim_g = G / \sim_d$ l'ensemble des classes à gauche et droite.
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||||
\end{definition_sq}
|
||||
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$, on a $H \normalSubgroup G \equivalence \forall x \in G, xHx^{-1} = H$
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\end{theorem_sq}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$. Par définition \ref{definition:normal_subgroup}, si $H \normalSubgroup G$, alors $\forall x \in G, xH = Hx$, comme $x$ est inversible par la définition d'un groupe \ref{definition:group}, il suffit de multiplier à droite $x^{-1}$ pour obtenir l'équivalence avec $xHx^{-1} = H$.
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Le noyau de $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} est distingué.
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\end{theorem_sq}
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||||
\begin{proof}
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||||
Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism}.
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||||
Par \ref{theorem:kernel_homomorphism_is_subgroup}, on sait que $\ker(f) \subgroup G$.
|
||||
Soit $x \in G$ et $y \in \ker(f)$, on peut poser $f(x \star y \star x^{-1}) = f(x) + \Identity_H + f(x^{-1}) = \Identity_H \implies x \star y \star x^{-1} \in \ker(f)$.
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||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ si $H \subgroup G$ est un sous-groupe d'indice 2 alors $H$ est distingué.
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\end{theorem_sq}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ tel que $[G:H] = 2$ ainsi que $x \in G$.
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||||
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||||
Si $x \in H \implies xH = H = Hx$, car $H$ est un sous-groupe.
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||||
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||||
Sinon $x \notin H \implies Hx \distinctUnion H = xH \distinctUnion H = G \equivalence Hx = G \setminus H = xH$
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||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G \implies G / H$ a une structure de groupe donné par $\function{f}{G/H \cartesianProduct G/H}{G/H} \functiondef{([xH], [yH])}{[xyH]}$ de plus, l'application quotient $\function{q}{G}{G/H} \functiondef{x}{[xH]}$ est un morphisme de groupe avec $\ker(q) = H$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theoren:universal_property_quotient}
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||||
Soit $((G, \star), (G', +)) \in \Grp^2$ et $H \normalSubgroup G$ avec quotient $\function{q}{G}{G/H}$ ainsi que l'homomorphisme $\function{f}{(G, \star)}{(G', +)}$ tel que $H \subseteq \ker(f)$.
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||||
Alors $\exists! \function{\bar{f}}{G/H}{G}$ un morphisme de groupes tel que $f = \bar{f} \composes q$.
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||||
De plus, on a $\bar{f}$ injectif $\equivalence \ker(f) = H$ ainsi que $\bar{f}$ surjectif $\equivalence f$ surjectif
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\[\begin{tikzcd}
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||||
G \arrow[r, "q"] \arrow[d, "\forall f" left] & G/H \arrow[dl, dotted, "\exists! \bar{f}"] \\
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||||
G'
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||||
\end{tikzcd}\]
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:first_isomorphism_theorem}
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||||
Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} alors $G / \ker(f) \isomorphic im(f)$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(p, q) \in \N^2, \gcd(p, q) = 1 \implies \Z/pq\Z \isomorphic \Z/p\Z \cartesianProduct \Z/q\Z$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \suchthat k \in K, h \in H \} \subseteq G$
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||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH \subgroup G$
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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||||
\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH/K \isomorphic H/K \intersection H$
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||||
\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \normalSubgroup G$ tel que $H \subseteq K \implies (K/H) \normalSubgroup (G/H)$ ainsi que $(G/H)/(K/H) \isomorphic G/K$
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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||||
Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \suchthat \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
|
||||
\end{definition_sq}
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||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp \implies Aut(G) \subgroup S(K)$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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||||
\begin{definition_sq}
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||||
Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que $\function{\phi}{(Q, \star)}{(Aut(K), \composes)}$ un morphisme de groupes. Alors on appelle \textbf{produit semi-direct} l'opération sur l'ensemble $K \cartesianProduct Q$
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||||
|
||||
$$\function{\psi}{(K \cartesianProduct Q)^2}{K \cartesianProduct Q} \functiondef{(k_1, q_1), (k_2, q_2)}{(k_1 \star \phi(q_1)(k_2), q_1 \composes q_2))}$$
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||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que le produit semi-direct $(\psi)$, alors le tuple $(K \cartesianProduct Q, \psi) \in \Grp$ et on le note $K \ltimes_q Q$
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||||
\end{theorem_sq}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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\lipsum[2]
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||||
% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Si $K \ltimes_\phi Q$ est un produit semi-direct alors l'application $\function{\pi}{K \ltimes_\phi Q}{Q} \functiondef{(k, q)}{q}$ est un morphisme de groupes et $\ker(\pi) = K$.
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
|
||||
\begin{proof}
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\lipsum[2]
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||||
% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{theorem_sq}
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||||
Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$.
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||||
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||||
$$\exists Q \subgroup G, KQ = G \land K \intersection Q = \{ \Identity_G \} \implies G \isomorphic K \ltimes_\phi Q$$
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||||
\end{theorem_sq}
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||||
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||||
\begin{proof}
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\lipsum[2]
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||||
% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
\langsubsubsection{Exercices}{Exercises}
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\begin{exercise_sq}
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||||
Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item{Montrer que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, que cela dit sur les entiers relatifs ?}
|
||||
\item{Est-ce que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(xy) = f(x)f(y)$ est aussi vrai ?}
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$.
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$
|
||||
|
||||
Comme tout entier est soit pair ou impair, on peut donc faire une disjonction en 4 cas
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{c|c|c|c}
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||||
$x$ & $y$ & $f(x + y)$ & $f(x)f(y)$ \\
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||||
\hline
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||||
$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 2y') = f(2(x' + y')) = 1$ & $1 \cdot 1 = 1$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 2y' + 1) = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $1 \cdot -1 = -1$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y') = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $-1 \cdot 1 = -1$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y' + 1) = f(2(x' + y' + 1)) = 1$ & $-1 \cdot -1 = 1$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
On a donc $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, $f$ est donc un homomorphisme.}
|
||||
|
||||
\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$, dans le cas ou $x$ est pair et $y$ est impair, on remarque que $f(xy) = f(2x'(2y' + 1)) = f(2(2x'y' + x')) = 1$ alors que $f(x)f(y) = 1 \cdot -1 = -1$.
|
||||
}
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{exercise_sq}
|
||||
Soit $G$ un groupe d'ordre 4. Supposons que $G$ n'est pas isomorphe au groupe $\Z/4\Z$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z$.
|
||||
\end{exercise_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lipsum[2]
|
||||
% TODO: Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{exercise_sq}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item{Montrer qu'un élément $\bar{a}$ de $(\Z/n\Z, +)$ est générateur si et seulement s'il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.}
|
||||
\item{Soit $(G, \composes)$ un groupe, Montrer qu'un morphisme de groupe $$\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(G, \composes)}$$ est déterminé par $\varphi(\bar{1})$.}
|
||||
\item{Soit $\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(\Z/n\Z, +)}$ un morphisme. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme si et seulement si $\varphi(\bar{1})$ est générateur.}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
% TODO: Complete proof
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item{\impliespart
|
||||
|
||||
Soit $(\Z/n\Z, +) \in \Grp$ et $\bar{a}$ générateur de $\Z/n\Z$, il existe donc $b \in \N^*$ tel que $\sum\limits_{i = 1}^b \bar{a} = 1$, or comme $\card{\generator{\bar{a}}} = n \implies b \le n$.
|
||||
|
||||
$\Limpliespart$
|
||||
}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{exercise_sq}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item{Montrer que l'ensemble $G$ des matrices défini par $$G := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat x, y, z \in \R \right\}$$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$.}
|
||||
\item{Calculer le centre de $G$, c'est-à-dire $$Z(G) = \{ g \in G \suchthat gh = hg \forall h \in G \}$$}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item{Tous les éléments de $G$ sont des matrices triangulaires supérieures qui sont inversibles, il suffit donc de vérifier chaque axiome d'un sous-groupe.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Soit $A \in G$ tel que $x = y = z = 0 \implies A = \Identity_3 \implies \Identity_3 \in G$}
|
||||
\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
|
||||
$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
|
||||
$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$AB = \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
|
||||
hors $(x + a, y + az + b, z + c) \in \R^3 \implies AB \in G$}
|
||||
\item{Soit $A \in G, \exists! \inv{A} \in GL_3(\R)$ ainsi que $(a, b, c) \in \R^3$ tel que
|
||||
$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ comme
|
||||
$A \inv{A} = \Identity_G \implies \inv{A} =
|
||||
\begin{pmatrix} 1 & -a & ac - b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
|
||||
hors $(-a, ac - b, -c) \in \R^3 \implies \inv{A} \in G$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
$G$ est de ce fait un sous-groupe de $GL_3(\R)$.
|
||||
}
|
||||
\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
|
||||
$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
|
||||
$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$AB = BA \equivalence \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
|
||||
\begin{pmatrix} 1 & a + x & b + cx + y \\ 0 & 1 & c + z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \equivalence az = cx$
|
||||
|
||||
Pour un $A$ fixé, la seule manière de rendre le produit commutatif pour tout $B$ est de mettre $a = c = 0$
|
||||
|
||||
$\implies Z(G) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat b \in \R \right\}$
|
||||
}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
@ -97,6 +97,32 @@
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\langsection{Tableau}{Table}
|
||||
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
|
||||
\begin{mdframed}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{mdframed}
|
||||
|
||||
\langsection{Paquets additionnels}{Additional packages}
|
||||
%TODO Complete section
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||||
|
||||
@ -55,7 +55,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de
|
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|
||||
La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
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||||
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$\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$
|
||||
$\N_{2} = \{2n \suchthat n \in \N\}$
|
||||
|
||||
Ou
|
||||
|
||||
@ -126,17 +126,64 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Tous les entiers relatifs sont soit pairs ou impairs.
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||||
\end{theorem_sq}
|
||||
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||||
\begin{proof}
|
||||
Procédons par induction. L'initialisation $n = 0$ est directe, car $2 \cdot 0 = 0$ ce qui montre que $0$ est pair.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% \begin{leancode}
|
||||
\begin{lstlisting}[language=lean]
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||||
theorem every_integer_is_even_or_odd (n : ℤ) : Even n ∨ Odd n := by
|
||||
induction n with
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||||
| hz =>
|
||||
left
|
||||
use 0
|
||||
group
|
||||
| hp n' hz =>
|
||||
cases hz with
|
||||
| inl hl =>
|
||||
right
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hl
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a
|
||||
group
|
||||
| inr hr =>
|
||||
left
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hr
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a + 1
|
||||
group
|
||||
| hn n' hz =>
|
||||
cases hz with
|
||||
| inl hl =>
|
||||
right
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hl
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a - 1
|
||||
group
|
||||
| inr hr =>
|
||||
left
|
||||
obtain ⟨a, ha⟩ := hr
|
||||
rw [ha]
|
||||
use a
|
||||
group
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
% \end{leancode}
|
||||
|
||||
\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
|
||||
%TODO Complete section
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||||
|
||||
$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$
|
||||
$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land \gcd(p, q) = 1$
|
||||
|
||||
$\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
|
||||
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \Z^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
|
||||
|
||||
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -254,7 +301,7 @@ Lors d'une longue division, on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par défin
|
||||
|
||||
\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -262,7 +309,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
|
||||
\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_complex_number}
|
||||
|
||||
$\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
|
||||
|
||||
@ -304,7 +351,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
|
||||
|
||||
\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -326,7 +373,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
|
||||
|
||||
\section{Construction des octonions $(\Ot)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_octonion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -362,9 +409,9 @@ $e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\de
|
||||
|
||||
Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
|
||||
|
||||
\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
|
||||
\langsection{Construction des sédénions $(\Se)$}{Construction of the sedenions $(\Se)$}
|
||||
|
||||
Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
@ -381,70 +428,55 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
|
||||
\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
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||||
%TODO Complete section
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
|
||||
Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
|
||||
\lang{Un nombre $n \in \N \land n \ge 2$ est dit \textbf{premier} si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit \textbf{composé}.}%
|
||||
{A number $n \in \N \land n \ge 2$ is \textbf{prime} if, and only if, its factors are 1 and itself. Otherwise this number is \textbf{composé}.}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
|
||||
|
||||
\langsubsection{Infinité}{Infinity}
|
||||
Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier, mais cela n'a pas toujours été le cas.
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
|
||||
Il existe une infinité de nombres premiers.
|
||||
Il existe une infinité de nombres premiers.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
|
||||
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
|
||||
|
||||
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
|
||||
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
|
||||
|
||||
Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
|
||||
|
||||
$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
|
||||
|
||||
$\implies (\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn) \implies \bot$
|
||||
|
||||
$\implies \card{P} = \infty$
|
||||
\lang{Soit}{Let} $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^*, p$ \lang{ est premier}{ is prime} $\}$ \lang{et}{and} $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
|
||||
|
||||
$\implies \forall p \in \Pn, \omega = 1 \mod p \implies \forall p \in \Pn, \lnot(p \divides \omega) \implies \omega$ \lang{est premier}{is prime} $\implies \omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn \implies \bot \implies \card{P} = \infty$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
|
||||
$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
|
||||
$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime_is_irrational}
|
||||
\lang{La racine carrée d'un nombre premier est irrationnel.}%
|
||||
{The square root of a prime number is irrational.}
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
|
||||
The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime_is_irrational}.
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
|
||||
By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
|
||||
|
||||
$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
|
||||
$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a, b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
|
||||
|
||||
$\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
|
||||
$\implies p = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \implies b^2p = a^2 \implies p \divides a$
|
||||
|
||||
$\implies b^2p = a^2$
|
||||
Let $c \in \N^*, a = pc$
|
||||
|
||||
$\implies p \divides a$
|
||||
|
||||
Let $c \in \N^*$, $a = pc$
|
||||
|
||||
$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
|
||||
|
||||
$\implies b^2 = pc^2$
|
||||
|
||||
$\implies p \divides b$
|
||||
|
||||
$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \implies \bot$
|
||||
|
||||
$\implies \sqrt{p} \notin \Q$
|
||||
$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2 \implies b^2 = pc^2 \implies p \divides b \implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a, b) = 1) \implies \bot \implies \sqrt{p} \notin \Q$
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
\lang{La racine carrée d'un nombre naturel est soit un nombre premier ou un carré parfait.}%
|
||||
{The square root of a natural number is either a prime number or a perfect square.}
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
\lipsum[2]
|
||||
% TODO Complete proof
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
48
contents/ring_theory.tex
Normal file
48
contents/ring_theory.tex
Normal file
@ -0,0 +1,48 @@
|
||||
\langsubsection{Anneau}{Ring}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
|
||||
Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
|
||||
|
||||
$\forall (a, b, c) \in R^3$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
|
||||
\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_ring}
|
||||
Un anneau $(R, +, \star)$ est dit \textbf{commutatif} si l'opération $(\star)$ est commutatif, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in R^2, a \star b = b \star a$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:subring}
|
||||
Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $S \subseteq R$ est un \textbf{sous-anneau} si $(S, +, \star)$ est un anneau.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:ring_unit}
|
||||
Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un élément $x \in R$ est dit \textbf{inversible} (on dit aussi que $x$ est une \textbf{unité}) s'il existe $y \in R$ tel que $x \star y = y \star x = \Identity_\star$
|
||||
|
||||
On notera l'ensemble des unités $R^{\cartesianProduct}$.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Morphisme d'anneau}{Ring morphism}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism}
|
||||
Un \textbf{morphisme d'anneau} est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des anneaux ($\Ring$).
|
||||
|
||||
Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'application $\function{\phi}{R}{S}$ tel que
|
||||
|
||||
$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a +_R b) = \phi(a) +_S \phi(b)$$
|
||||
$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a \cartesianProduct_R b) = \phi(a) \cartesianProduct_S \phi(b)$$
|
||||
$$\phi(\Identity_{\cartesianProduct_R}) = \Identity_{\cartesianProduct_S}$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$
|
||||
$$\phi(\Identity_{+_R}) = \Identity_{+_S}$$
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux, l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$ ainsi que $x \in R, y \in S$ tel que $\phi(x) = y$. Cela nous permet nous poser les équivalences suivantes
|
||||
|
||||
$\phi(x +_R \Identity_R) = \phi(x) = \phi(\Identity_R +_R x) \equivalence y +_S \phi(\Identity_R) = y = \phi(\Identity_R) +_S y \equivalence \phi(\Identity_R) = \Identity_S$
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -46,7 +46,7 @@ $(a, b)_K := \{\{a\}, \{a, b\}\}$
|
||||
Unite all elements of two given sets into one.
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:set_union}
|
||||
$A \union B := \{x \mid (x \in A \lor x \in B)\}$
|
||||
$A \union B := \{x \suchthat (x \in A \lor x \in B)\}$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Cat(\Set)^2, \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$
|
||||
@ -89,9 +89,9 @@ The axiom of choice implies the law of excluding middle.
|
||||
|
||||
Assume that $0 \ne 1$ (or any two elements that are not equal), Let $\Omega := \{0, 1\}$, $p \in \mathbf{Prop}$
|
||||
|
||||
$A := \{ x \in \Omega \mid x = 0 \lor p \}$
|
||||
$A := \{ x \in \Omega \suchthat x = 0 \lor p \}$
|
||||
|
||||
$B := \{ y \in \Omega \mid y = 1 \lor p \}$
|
||||
$B := \{ y \in \Omega \suchthat y = 1 \lor p \}$
|
||||
|
||||
$\implies 0 \in A \land 1 \in B$
|
||||
|
||||
@ -115,10 +115,10 @@ So by proof by cases $(p \lor \lnot p)$ which is the law of excluded middle \ref
|
||||
Unite all common elements of two given sets into one.
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:set_intersection}
|
||||
$A \intersection B := \{x \mid (x \in A \land x \in B)\}$
|
||||
$A \intersection B := \{x \suchthat (x \in A \land x \in B)\}$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$
|
||||
Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$
|
||||
|
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Example :
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@ -136,10 +136,10 @@ $A \intersection B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
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Exclude elements of a set from a set
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||||
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||||
\begin{definition_sq} \label{definition:set_difference}
|
||||
$A \setminus B := \{x \mid (x \in A \land x \notin B)\}$
|
||||
$A \setminus B := \{x \suchthat (x \in A \land x \notin B)\}$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$
|
||||
Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$
|
||||
|
||||
\langsection{Fonction}{Function}
|
||||
|
||||
|
||||
@ -129,6 +129,7 @@ Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lipsum[2]
|
||||
% TODO Complete proof
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
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||||
@ -19,10 +19,10 @@ Université Côte d'Azûr
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||||
\bigskip
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||||
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||||
\subsubsection{Exercice 1}
|
||||
\subsubsection*{Exercice 1}
|
||||
Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
|
||||
|
||||
\subsubsubsection{1.a}
|
||||
\subsubsubsection*{1.a}
|
||||
Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
|
||||
\\
|
||||
|
||||
@ -52,7 +52,7 @@ Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
|
||||
Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsubsubsection{1.b}
|
||||
\subsubsubsection*{1.b}
|
||||
Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
|
||||
\\
|
||||
|
||||
@ -66,7 +66,7 @@ $\equivalence (x_n)$ est fermée.
|
||||
Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Exercice 2}
|
||||
\subsubsection*{Exercice 2}
|
||||
Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
|
||||
|
||||
Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
|
||||
@ -98,7 +98,7 @@ $K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
|
||||
|
||||
Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
|
||||
|
||||
\paragraph{Si $X$ est fini}
|
||||
\paragraph*{Si $X$ est fini}
|
||||
|
||||
$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
|
||||
|
||||
@ -106,7 +106,7 @@ $\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
|
||||
|
||||
$\implies K$ possède un point d'accumulation
|
||||
|
||||
\paragraph{Si $X$ est infini}
|
||||
\paragraph*{Si $X$ est infini}
|
||||
|
||||
$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
|
||||
|
||||
@ -120,7 +120,7 @@ $\implies K$ possède un point d'accumulation
|
||||
$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Exercice 3}
|
||||
\subsubsection*{Exercice 3}
|
||||
Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
|
||||
|
||||
Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
|
||||
@ -135,7 +135,7 @@ $\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et
|
||||
Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Exercice 4}
|
||||
\subsubsection*{Exercice 4}
|
||||
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
|
||||
|
||||
$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
|
||||
|
||||
21
main.tex
21
main.tex
@ -1,7 +1,6 @@
|
||||
\documentclass{report}
|
||||
|
||||
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Defines the margins for the whole document.
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % Sets the font & encoding
|
||||
%\usepackage{helvet} % Add the Helvet font
|
||||
\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault} % Change default font to serif font family (default)
|
||||
%\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault} % Change default font to monospace font family
|
||||
@ -15,7 +14,7 @@
|
||||
\usepackage{setspace} % Sets the line spacing.
|
||||
\setstretch{1.0}
|
||||
\usepackage{multibib} % Allow multiple separates bibliography citations
|
||||
\langnewcites{annexes}{Annexes}{Annexes}
|
||||
\newcites{annexes}{Annexes}
|
||||
\langnewcites{references}{Références}{References}
|
||||
\usepackage[language=\langoption]{lipsum} % Command to generate temporary dummy text
|
||||
\usepackage[ruled,vlined,linesnumbered]{algorithm2e} % Add the algorithm environnement
|
||||
@ -35,6 +34,11 @@
|
||||
\usepackage{enumerate} % Allow (1) index for enumerate
|
||||
\usepackage{paracol} % The paracol package lets you typeset columns of text in parallel
|
||||
|
||||
\usepackage{fontspec}
|
||||
\setmonofont{FreeMono} % switch to a monospace font supporting more Unicode characters
|
||||
|
||||
\setcounter{tocdepth}{5}
|
||||
|
||||
\makeindex
|
||||
|
||||
\langtitle{Notebook ultime}{Ultimate Notebook}
|
||||
@ -49,20 +53,17 @@
|
||||
\tableofcontents
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||||
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||||
\langchapter{Préambule}{Stuffings}
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%TODO Complete chapter
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\section{Motivations}
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%TODO Complete section
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||||
Ce notebook est destinée à accueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsèquement incomplet, imprécis voir erroné. À vous lecteur qui découvre ce notebook, accueillez le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.
|
||||
Ce carnet est destiné à accueillir mes maigres connaissances de manière digeste, mais intrinsèquement incomplet, imprécis voir erroné. À vous lecteur qui découvre ce carnet, accueillez le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.
|
||||
|
||||
\langsection{Remerciements}{Thankings}
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||||
%TODO Complete section
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||||
|
||||
Je remercie Adel Medjhoub pour les nombreuses conversations qui on mûrit mes visions du monde.
|
||||
Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que le langage LaTeX sur laquelle ce notebook est rédigé.
|
||||
Je remercie Adel Medjhoub pour nos nombreuses interminables conversations qui on mûrit mes visions du monde.
|
||||
Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que le langage LaTeX sur laquelle ce carnet est rédigé.
|
||||
|
||||
De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce notebook.
|
||||
Et de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce carnet.
|
||||
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||||
\input{contents/latex}
|
||||
\input{contents/computer_science}
|
||||
@ -71,6 +72,8 @@ De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce n
|
||||
\input{contents/number_theory}
|
||||
\input{contents/combinatorics}
|
||||
\input{contents/algebra}
|
||||
\input{contents/group_theory}
|
||||
\input{contents/ring_theory}
|
||||
\input{contents/algebra_dm1}
|
||||
\input{contents/algebra_dm2}
|
||||
\input{contents/trigonometry}
|
||||
|
||||
289
packages/lstlean.tex
Normal file
289
packages/lstlean.tex
Normal file
@ -0,0 +1,289 @@
|
||||
% Listing style definition for the Lean Theorem Prover.
|
||||
% Defined by Jeremy Avigad, 2015, by modifying Assia Mahboubi's SSR style.
|
||||
% Unicode replacements taken from Olivier Verdier's unixode.sty
|
||||
|
||||
\lstdefinelanguage{lean} {
|
||||
|
||||
% Anything between $ becomes LaTeX math mode
|
||||
mathescape=false,
|
||||
% Comments may or not include Latex commands
|
||||
texcl=false,
|
||||
|
||||
% keywords, list taken from lean-syntax.el
|
||||
morekeywords=[1]{
|
||||
import, prelude, protected, private, noncomputable, definition, meta, renaming,
|
||||
hiding, parameter, parameters, begin, constant, constants,
|
||||
lemma, variable, variables, theory,
|
||||
print, theorem, example,
|
||||
open, as, export, override, axiom, axioms, inductive, with,
|
||||
structure, record, universe, universes,
|
||||
alias, help, precedence, reserve, declare_trace, add_key_equivalence,
|
||||
match, infix, infixl, infixr, notation, postfix, prefix, instance,
|
||||
eval, reduce, check, end, this,
|
||||
using, using_well_founded, namespace, section,
|
||||
attribute, local, set_option, extends, include, omit, class,
|
||||
raw, replacing,
|
||||
calc, have, show, suffices, by, in, at, let, forall, Pi, fun,
|
||||
exists, if, dif, then, else, assume, obtain, from, register_simp_ext, unless, break, continue,
|
||||
mutual, do, def, run_cmd, const,
|
||||
partial, mut, where, macro, syntax, deriving,
|
||||
return, try, catch, for, macro_rules, declare_syntax_cat, abbrev},
|
||||
|
||||
% Sorts
|
||||
morekeywords=[2]{Sort, Type, Prop},
|
||||
|
||||
% tactics, list taken from lean-syntax.el
|
||||
morekeywords=[3]{
|
||||
assumption,
|
||||
apply, intro, intros, allGoals,
|
||||
generalize, clear, revert, done, exact,
|
||||
refine, repeat, cases, rewrite, rw,
|
||||
simp, simp_all, contradiction,
|
||||
constructor, injection,
|
||||
induction, group, right, left, use
|
||||
},
|
||||
|
||||
% modifiers, taken from lean-syntax.el
|
||||
% note: 'otherkeywords' is needed because these use a different symbol.
|
||||
% this command doesn't allow us to specify a number -- they are put with [1]
|
||||
% otherkeywords={
|
||||
% [persistent], [notation], [visible], [instance], [trans_instance],
|
||||
% [class], [parsing-only], [coercion], [unfold_full], [constructor],
|
||||
% [reducible], [irreducible], [semireducible], [quasireducible], [wf],
|
||||
% [whnf], [multiple_instances], [none], [decl], [declaration],
|
||||
% [relation], [symm], [subst], [refl], [trans], [simp], [congr], [unify],
|
||||
% [backward], [forward], [no_pattern], [begin_end], [tactic], [abbreviation],
|
||||
% [reducible], [unfold], [alias], [eqv], [intro], [intro!], [elim], [grinder],
|
||||
% [localrefinfo], [recursor]
|
||||
% },
|
||||
|
||||
% Various symbols
|
||||
literate=
|
||||
{α}{{\ensuremath{\mathrm{\alpha}}}}1
|
||||
{β}{{\ensuremath{\mathrm{\beta}}}}1
|
||||
{γ}{{\ensuremath{\mathrm{\gamma}}}}1
|
||||
{δ}{{\ensuremath{\mathrm{\delta}}}}1
|
||||
{ε}{{\ensuremath{\mathrm{\varepsilon}}}}1
|
||||
{ζ}{{\ensuremath{\mathrm{\zeta}}}}1
|
||||
{η}{{\ensuremath{\mathrm{\eta}}}}1
|
||||
{θ}{{\ensuremath{\mathrm{\theta}}}}1
|
||||
{ι}{{\ensuremath{\mathrm{\iota}}}}1
|
||||
{κ}{{\ensuremath{\mathrm{\kappa}}}}1
|
||||
{μ}{{\ensuremath{\mathrm{\mu}}}}1
|
||||
{ν}{{\ensuremath{\mathrm{\nu}}}}1
|
||||
{ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\xi}}}}1
|
||||
{π}{{\ensuremath{\mathrm{\mathnormal{\pi}}}}}1
|
||||
{ρ}{{\ensuremath{\mathrm{\rho}}}}1
|
||||
{σ}{{\ensuremath{\mathrm{\sigma}}}}1
|
||||
{τ}{{\ensuremath{\mathrm{\tau}}}}1
|
||||
{φ}{{\ensuremath{\mathrm{\varphi}}}}1
|
||||
{χ}{{\ensuremath{\mathrm{\chi}}}}1
|
||||
{ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\psi}}}}1
|
||||
{ω}{{\ensuremath{\mathrm{\omega}}}}1
|
||||
|
||||
{Γ}{{\ensuremath{\mathrm{\Gamma}}}}1
|
||||
{Δ}{{\ensuremath{\mathrm{\Delta}}}}1
|
||||
{Θ}{{\ensuremath{\mathrm{\Theta}}}}1
|
||||
{Λ}{{\ensuremath{\mathrm{\Lambda}}}}1
|
||||
{Σ}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
|
||||
{Φ}{{\ensuremath{\mathrm{\Phi}}}}1
|
||||
{Ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\Xi}}}}1
|
||||
{Ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\Psi}}}}1
|
||||
{Ω}{{\ensuremath{\mathrm{\Omega}}}}1
|
||||
|
||||
{ℵ}{{\ensuremath{\aleph}}}1
|
||||
|
||||
{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
|
||||
{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
|
||||
{≠}{{\ensuremath{\neq}}}1
|
||||
{≈}{{\ensuremath{\approx}}}1
|
||||
{≡}{{\ensuremath{\equiv}}}1
|
||||
{≃}{{\ensuremath{\simeq}}}1
|
||||
|
||||
{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
|
||||
{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
|
||||
|
||||
{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
|
||||
{∆}{{\ensuremath{\triangle}}}1 % or \laplace?
|
||||
|
||||
{∫}{{\ensuremath{\int}}}1
|
||||
{∑}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
|
||||
{Π}{{\ensuremath{\mathrm{\Pi}}}}1
|
||||
|
||||
{⊥}{{\ensuremath{\perp}}}1
|
||||
{∞}{{\ensuremath{\infty}}}1
|
||||
{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
|
||||
|
||||
{∓}{{\ensuremath{\mp}}}1
|
||||
{±}{{\ensuremath{\pm}}}1
|
||||
{×}{{\ensuremath{\times}}}1
|
||||
|
||||
{⊕}{{\ensuremath{\oplus}}}1
|
||||
{⊗}{{\ensuremath{\otimes}}}1
|
||||
{⊞}{{\ensuremath{\boxplus}}}1
|
||||
|
||||
{∇}{{\ensuremath{\nabla}}}1
|
||||
{√}{{\ensuremath{\sqrt}}}1
|
||||
|
||||
{⬝}{{\ensuremath{\cdot}}}1
|
||||
{•}{{\ensuremath{\cdot}}}1
|
||||
{∘}{{\ensuremath{\circ}}}1
|
||||
|
||||
%{⁻}{{\ensuremath{^{\textup{\kern1pt\rule{2pt}{0.3pt}\kern-1pt}}}}}1
|
||||
{⁻}{{\ensuremath{^{-}}}}1
|
||||
{▸}{{\ensuremath{\blacktriangleright}}}1
|
||||
|
||||
{∧}{{\ensuremath{\wedge}}}1
|
||||
{∨}{{\ensuremath{\vee}}}1
|
||||
{¬}{{\ensuremath{\neg}}}1
|
||||
{⊢}{{\ensuremath{\vdash}}}1
|
||||
|
||||
%{⟨}{{\ensuremath{\left\langle}}}1
|
||||
%{⟩}{{\ensuremath{\right\rangle}}}1
|
||||
{⟨}{{\ensuremath{\langle}}}1
|
||||
{⟩}{{\ensuremath{\rangle}}}1
|
||||
|
||||
{↦}{{\ensuremath{\mapsto}}}1
|
||||
{←}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
|
||||
{<-}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
|
||||
{→}{{\ensuremath{\rightarrow}}}1
|
||||
{↔}{{\ensuremath{\leftrightarrow}}}1
|
||||
{⇒}{{\ensuremath{\Rightarrow}}}1
|
||||
{⟹}{{\ensuremath{\Longrightarrow}}}1
|
||||
{⇐}{{\ensuremath{\Leftarrow}}}1
|
||||
{⟸}{{\ensuremath{\Longleftarrow}}}1
|
||||
|
||||
{∩}{{\ensuremath{\cap}}}1
|
||||
{∪}{{\ensuremath{\cup}}}1
|
||||
{⊂}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
|
||||
{⊆}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
|
||||
{⊄}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
|
||||
{⊈}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
|
||||
{⊃}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
|
||||
{⊇}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
|
||||
{⊅}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
|
||||
{⊉}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
|
||||
{∈}{{\ensuremath{\in}}}1
|
||||
{∉}{{\ensuremath{\notin}}}1
|
||||
{∋}{{\ensuremath{\ni}}}1
|
||||
{∌}{{\ensuremath{\notni}}}1
|
||||
{∅}{{\ensuremath{\emptyset}}}1
|
||||
|
||||
{∖}{{\ensuremath{\setminus}}}1
|
||||
{†}{{\ensuremath{\dag}}}1
|
||||
|
||||
{ℕ}{{\ensuremath{\mathbb{N}}}}1
|
||||
{ℤ}{{\ensuremath{\mathbb{Z}}}}1
|
||||
{ℝ}{{\ensuremath{\mathbb{R}}}}1
|
||||
{ℚ}{{\ensuremath{\mathbb{Q}}}}1
|
||||
{ℂ}{{\ensuremath{\mathbb{C}}}}1
|
||||
{⌞}{{\ensuremath{\llcorner}}}1
|
||||
{⌟}{{\ensuremath{\lrcorner}}}1
|
||||
{⦃}{{\ensuremath{\{\!|}}}1
|
||||
{⦄}{{\ensuremath{|\!\}}}}1
|
||||
|
||||
{‖}{{\ensuremath{\|}}}1
|
||||
{₁}{{\ensuremath{_1}}}1
|
||||
{₂}{{\ensuremath{_2}}}1
|
||||
{₃}{{\ensuremath{_3}}}1
|
||||
{₄}{{\ensuremath{_4}}}1
|
||||
{₅}{{\ensuremath{_5}}}1
|
||||
{₆}{{\ensuremath{_6}}}1
|
||||
{₇}{{\ensuremath{_7}}}1
|
||||
{₈}{{\ensuremath{_8}}}1
|
||||
{₉}{{\ensuremath{_9}}}1
|
||||
{₀}{{\ensuremath{_0}}}1
|
||||
{ᵢ}{{\ensuremath{_i}}}1
|
||||
{ⱼ}{{\ensuremath{_j}}}1
|
||||
{ₐ}{{\ensuremath{_a}}}1
|
||||
|
||||
{¹}{{\ensuremath{^1}}}1
|
||||
|
||||
{ₙ}{{\ensuremath{_n}}}1
|
||||
{ₘ}{{\ensuremath{_m}}}1
|
||||
{ₚ}{{\ensuremath{_p}}}1
|
||||
{↑}{{\ensuremath{\uparrow}}}1
|
||||
{↓}{{\ensuremath{\downarrow}}}1
|
||||
|
||||
{...}{{\ensuremath{\ldots}}}1
|
||||
{·}{{\ensuremath{\cdot}}}1
|
||||
|
||||
{▸}{{\ensuremath{\triangleright}}}1
|
||||
|
||||
{Σ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Sigma}}}1
|
||||
{Π}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Pi}}}1
|
||||
{∀}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\forall}}}1
|
||||
{∃}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\exists}}}1
|
||||
{λ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\mathrm{\lambda}}}}1
|
||||
{\$}{{\color{symbolcolor}\$}}1
|
||||
|
||||
{:=}{{\color{symbolcolor}:=}}1
|
||||
{=}{{\color{symbolcolor}=}}1
|
||||
{<|>}{{\color{symbolcolor}<|>}}1
|
||||
{<\$>}{{\color{symbolcolor}<\$>}}1
|
||||
{+}{{\color{symbolcolor}+}}1
|
||||
{*}{{\color{symbolcolor}*}}1,
|
||||
|
||||
% Comments
|
||||
%comment=[s][\itshape \color{commentcolor}]{/-}{-/},
|
||||
morecomment=[s][\color{commentcolor}]{/-}{-/},
|
||||
morecomment=[l][\itshape \color{commentcolor}]{--},
|
||||
|
||||
% Spaces are not displayed as a special character
|
||||
showstringspaces=false,
|
||||
|
||||
% keep spaces
|
||||
keepspaces=true,
|
||||
|
||||
% String delimiters
|
||||
morestring=[b]",
|
||||
morestring=[d],
|
||||
|
||||
% Size of tabulations
|
||||
tabsize=3,
|
||||
|
||||
% Enables ASCII chars 128 to 255
|
||||
extendedchars=false,
|
||||
|
||||
% Case sensitivity
|
||||
sensitive=true,
|
||||
|
||||
% Automatic breaking of long lines
|
||||
breaklines=true,
|
||||
breakatwhitespace=true,
|
||||
|
||||
% Default style fors listingsred
|
||||
basicstyle=\ttfamily\small,
|
||||
|
||||
% Position of captions is bottom
|
||||
captionpos=b,
|
||||
|
||||
% Full flexible columns
|
||||
columns=[l]fullflexible,
|
||||
|
||||
|
||||
% Style for (listings') identifiers
|
||||
identifierstyle={\ttfamily\color{identifiercolor}},
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% Note : highlighting of Coq identifiers is done through a new
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% delimiter definition through an lstset at the beginning of the
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% document. Don't know how to do better.
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% Style for declaration keywords
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keywordstyle=[1]{\ttfamily\color{keywordcolor}},
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% Style for sorts
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keywordstyle=[2]{\ttfamily\color{sortcolor}},
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% Style for tactics keywords
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keywordstyle=[3]{\ttfamily\color{tacticcolor}},
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% Style for attributes
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keywordstyle=[4]{\ttfamily\color{attributecolor}},
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% Style for strings
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stringstyle={\ttfamily\color{white}},
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% Style for comments
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commentstyle={\ttfamily\footnotesize },
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}
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@ -20,6 +20,7 @@
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\newcommand{\Cat}{\mathcal{C}} % Category
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\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} % Set category
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||||
\newcommand{\Grp}{\mathbf{Grp}} % Group category
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||||
\newcommand{\Ring}{\mathbf{Ring}} % Ring category
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||||
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} % Abelian category
|
||||
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} % Topological spaces category
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||||
\newcommand{\K}{\mathbb{K}} % Corps
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@ -43,15 +44,18 @@
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||||
\newtheorem{definition}{\lang{Définition}{Definition}}
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\newtheorem{theorem}{\lang{Théorème}{Theoreme}}
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||||
\newtheorem{lemme}{Lemme}
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||||
\newtheorem{exercise}{\lang{Exercice}{Exercise}}
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||||
\newcommandx{\suite}[3][1=n,2=n]{$(#3_{#1})_{#2 \in \N}$}
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||||
\newcommand{\innerproduct}[2]{\langle #1, #2 \rangle}
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||||
\newenvironment{definition_sq}{\begin{mdframed}\begin{definition}}{\end{definition}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{theorem_sq}{\begin{mdframed}\begin{theorem}}{\end{theorem}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{lemme_sq}{\begin{mdframed}\begin{lemme}}{\end{lemme}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
|
||||
\newenvironment{lemme_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{lemme}[#1]}{\end{lemme}\end{mdframed}}
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||||
\newtheorem{prop}{Proposition}
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||||
\newenvironment{prop_sq}{\begin{mdframed}\begin{prop}}{\end{prop}\end{mdframed}}
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||||
\newenvironment{prop_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{prop}[#1]}{\end{prop}\end{mdframed}}
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||||
\newtheorem{corollary}{Corollaire}
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||||
\newenvironment{corollary_sq}{\begin{mdframed}\begin{corollary}}{\end{corollary}\end{mdframed}}
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||||
\newenvironment{corollary_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{corollary}[#1]}{\end{corollary}\end{mdframed}}
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||||
\newenvironment{exercise_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{exercise}[#1]}{\end{exercise}\end{mdframed}}
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||||
\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
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||||
\DeclarePairedDelimiter{\generator}{\langle}{\rangle}
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||||
\DeclareMathOperator{\subgroup}{\leqslant}
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||||
\DeclareMathOperator{\normalSubgroup}{\trianglelefteq}
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||||
@ -68,11 +72,13 @@
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||||
\newcommand{\subseteqpart}{\fbox{$\subseteq$}}
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||||
\newcommand{\Lsubseteqpart}{\fbox{$\supseteq$}}
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||||
\DeclareMathOperator{\divides}{\mid}
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||||
\DeclareMathOperator{\suchthat}{\mid}
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||||
\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{\lang{tel que}{such as}}}
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||||
\renewcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
|
||||
\newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
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||||
\newcommand{\otherwise}{\text{\lang{Sinon}{Otherwise}}}
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||||
\DeclareMathOperator{\union}{\cup}
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||||
\DeclareMathOperator{\distinctUnion}{\sqcup}
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||||
\DeclareMathOperator{\Union}{\bigcup}
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||||
\DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
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||||
\DeclareMathOperator{\Intersection}{\bigcap}
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@ -2,11 +2,12 @@
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||||
% Add many functions for colour themes
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\RequirePackage{xcolor}
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% Code highlighting
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\RequirePackage{listings}
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\DeclareOption{default}{\OptionNotUsed}
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||||
\definecolor{theme_colour_background} {RGB} {255, 255, 255}
|
||||
\definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {0, 0, 0 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_cl} {RGB} {68, 71, 90 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_comment} {RGB} {98, 114, 164}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cyan} {RGB} {139, 233, 253}
|
||||
\definecolor{theme_colour_green} {RGB} {0, 255, 0 }
|
||||
@ -16,10 +17,17 @@
|
||||
\definecolor{theme_colour_red} {RGB} {255, 0, 0 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_yellow} {RGB} {255, 255, 0 }
|
||||
|
||||
\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{keywordcolor} {named} {theme_colour_purple}
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||||
\definecolor{tacticcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{symbolcolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{sortcolor} {named} {theme_colour_green}
|
||||
\definecolor{attributecolor} {named} {theme_colour_cyan}
|
||||
\definecolor{commentcolor} {named} {theme_colour_comment}
|
||||
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\DeclareOption{codedark}{
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||||
\definecolor{theme_colour_background} {HTML} {222324}
|
||||
\definecolor{theme_colour_foreground} {HTML} {FFFFFF}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cl} {RGB} {68, 71, 90 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_comment} {RGB} {98, 114, 164}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cyan} {RGB} {139, 233, 253}
|
||||
\definecolor{theme_colour_green} {RGB} {80, 250, 123}
|
||||
@ -28,12 +36,19 @@
|
||||
\definecolor{theme_colour_purple} {RGB} {189, 147, 249}
|
||||
\definecolor{theme_colour_red} {RGB} {255, 85, 85 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_yellow} {RGB} {241, 250, 140}
|
||||
|
||||
\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{keywordcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{tacticcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{symbolcolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{sortcolor} {named} {theme_colour_green}
|
||||
\definecolor{attributecolor} {named} {theme_colour_cyan}
|
||||
\definecolor{commentcolor} {named} {theme_colour_comment}
|
||||
}
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||||
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||||
\DeclareOption{dracula}{
|
||||
\definecolor{theme_colour_background} {RGB} {40, 42, 54 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {248, 248, 242}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cl} {RGB} {68, 71, 90 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_comment} {RGB} {98, 114, 164}
|
||||
\definecolor{theme_colour_cyan} {RGB} {139, 233, 253}
|
||||
\definecolor{theme_colour_green} {RGB} {80, 250, 123}
|
||||
@ -42,6 +57,16 @@
|
||||
\definecolor{theme_colour_purple} {RGB} {189, 147, 249}
|
||||
\definecolor{theme_colour_red} {RGB} {255, 85, 85 }
|
||||
\definecolor{theme_colour_yellow} {RGB} {241, 250, 140}
|
||||
|
||||
\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{keywordcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{tacticcolor} {named} {theme_colour_purple}
|
||||
\definecolor{symbolcolor} {named} {theme_colour_foreground}
|
||||
\definecolor{sortcolor} {named} {theme_colour_green}
|
||||
\definecolor{attributecolor} {named} {theme_colour_cyan}
|
||||
\definecolor{commentcolor} {named} {theme_colour_comment}
|
||||
}
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||||
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||||
\edef\lstlanguagefiles{\lstlanguagefiles,packages/lstlean.tex}
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||||
\ProcessOptions\relax
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@ -385,7 +385,3 @@
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||||
title = {Topological transitivity - Scholarpedia},
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url = {http://www.scholarpedia.org/article/Topological\_transitivity}
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}
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@online{wikipedia_ring,
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title = {Ring (mathematics)},
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||||
url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Ring\_(mathematics)}
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}
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