contents/algebra.tex

@@ -640,32 +640,31 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
 	$\exists M^{-1} \in GL_n(\K), M^{-1}M = \Identity_n \implies M^{-1}(MA) = M^{-1}(MB) \equivalence (M^{-1}M)A = (M^{-1}M)B \equivalence A = B$
 \end{proof}
 
-\begin{lemme_sq} \label{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}
-	Pour toute matrice inversible $A$, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation, c'est-à-dire
-
-	$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = D_n(\det(A))$$
-\end{lemme_sq}
-
-\begin{proof}
-	Par récurrence sur $n$. Le cas d'initialisation $n = 1$ est immédiat.
-
-	Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$. On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss.
-	Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
-	Si $a_{11} \ne 1$, alors il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ (ou l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + \frac{1 - a_{11}}{a_{i1}}L_i$) permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
-	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
-	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
-	des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
-	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$
-	où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
-\end{proof}
-
 \begin{theorem_sq}
 	L'ensemble des matrices de transvection et de dilatation engendre le groupe $GL_n(\K)$.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Soit $A \in GL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme une matrice de dilatation est inversible, on peut conclure que
+	Soit $A \in GL_n(\K)$.
-	$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) D_n(\det(A)^{-1}) = \Identity_n$$
+	On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss, nous allons transformer A en une matrice de dilatation, mais en utilisant uniquement des transvections.
+	Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
+	S'il existe $i > 1$ tel que $a_{i1} \ne 0$, alors l'opération $L_1 \leftarrow L_1 - \frac{a_{11}}{a_{i1}}L_i$ permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
+	Sinon, nécessairement $a_{11} \ne 0$ et on fait $L_1 \leftarrow L_2$ et $L_2 \leftarrow -L_1$ pour se ramener au cas précédent.
+	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
+	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
+	des matrices de transvection $M1, \dots , Mp$ et $N1, \dots , Nq$ telles que
+
+	$$\left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i\right) A \left(\prod\limits_{i = 1}^q N_i\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$$
+
+	où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$.
+
+	On itère ce procédé sur $A_1$ et ainsi de suite jusqu'à $\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ & & & \alpha \end{pmatrix}$
+
+	où $\alpha = \prod_{v \in sp(A)} v$.
+
+	Ainsi, il existe des matrices de transvection $U_1, \dots, U_r$ et $V_1, \dots, V_r$ telles que $A = U_r \dots U_1 D_n(\alpha) V_1 \dots V_s$
+
+	Ainsi, tout matrice de $GL_n(\K)$ s'écrit comme produit de matrices de transvection et de dilatation.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -719,31 +718,6 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 
 \end{proof}
 
-\begin{definition_sq} \label{definition:special_linear_group}
-	L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1.
-\end{definition_sq}
-
-\begin{theorem_sq}
-	Le tuple $(SL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
-\end{theorem_sq}
-
-\begin{proof}
-	Vérifions chaque axiome d'un groupe. $\det(\Identity_n) = 1 \equivalence \Identity_n \in SL_n(\K)$.
-
-	La propriété du déterminant $\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B)$ permet de montrer les propositions suivantes :
-	$$\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 * 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$$
-	$$\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$$
-\end{proof}
-
-\begin{theorem_sq}
-	L'ensemble des matrices de transvection engendre $SL_n(\K)$ \ref{definition:special_linear_group}.
-\end{theorem_sq}
-
-\begin{proof}
-	Soit $A \in SL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme $\det(A) = 1$ cela revient à la matrice identité, on peut donc en conclure que
-	$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) = \Identity_n$$
-\end{proof}
-
 \pagebreak
 
 \begin{theorem_sq}

contents/dynamic_systems.tex

@@ -37,13 +37,15 @@ Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
 $$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
 $$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
 
-Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
+Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$
+
+En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
 $$x
-	= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
+	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
 	= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
 avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
 $$T_b(x)
-	= b \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1
+	= b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1
 	= d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
 	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
 	= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$

contents/number_theory.tex

@@ -192,7 +192,7 @@ On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$
 
 Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable.
 
-Plus rigoureusement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
+Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
 
 $P_i$ sont des nombres premiers.
 
@@ -200,7 +200,7 @@ $\function{f}{\Q}{\N}$
 
 $\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$
 
-Hors, toutes fonctions injectives dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable.
+Hors, toutes fonctions injective dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable.
 
 \end{proof}
 
@@ -210,7 +210,7 @@ Hors, toutes fonctions injectives dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est déno
 Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals}
-Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répète en $n$ chiffres tels que
+Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
 
 $(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
 
@@ -222,7 +222,7 @@ $\equivalence x \in \Q$
 
 \impliespart
 
-Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répète en $n$ chiffres tel que
+Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
 
 $(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
 
@@ -244,9 +244,9 @@ $\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$
 
 \Limpliespart
 
-Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in \Z, q \in \N^*, \gcd(p, q) = 1, x = \frac{p}{q}$
+Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in Z, q \in N^*, PGCD(p,q) = 1, x = \frac{p}{q}$
 
-Lors d'une longue division, on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \le r \le q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui sont un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créé une séquence de décimales qui se répétera.
+Lors d'une longue division on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \ge r < q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui est un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créer une séquence de décimales qui se répétera.
 \end{proof}
 
 \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}

packages/macros.sty

@@ -54,7 +54,7 @@
 \newenvironment{corollary_sq}{\begin{mdframed}\begin{corollary}}{\end{corollary}\end{mdframed}}
 \DeclarePairedDelimiter{\generator}{\langle}{\rangle}
 \DeclareMathOperator{\subgroup}{\leqslant}
-\DeclareMathOperator{\normalSubgroup}{\trianglelefteq}
+\DeclareMathOperator{\normalSubgroup}{\triangleleft}
 \newcommand{\rank}[1]{\text{rg}(#1)}
 \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
 \DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert}