Added algebra_dm{1,2}, combinatorics, fourier, suites and topology_dm1

Makefile

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 	bibtex $(OUT_DIR)/references
 
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+.PHONY: inner_pdf
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 preview: pdf

contents/algebra_dm1.tex

@@ -0,0 +1,113 @@
+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2024-25
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+\subsubsection*{Exercice 1}
+
+Soit $(E,\innerproduct{.}{.})$ un espace euclidien. On définit
+
+$$\function{i}{E \setminus \{0\}}{E \setminus \{0\}}$$
+$$\functiondef{x}{\frac{x}{\norm{x}^2}}$$
+
+qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
+
+\begin{enumerate}
+	\item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
+
+		$$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$
+	\end{proof}
+
+	\item{Montrer $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ On dit que $i$ est une application \textit{conforme}.}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
+		$$\frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{y}{\norm{y}^2}}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}\norm{\frac{y}{\norm{y}^2}}} = \frac{\frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}}{\frac{\norm{x}\norm{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{Démontrer que $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \norm{i(x) - i(y)} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
+		$$\norm{i(x) - i(y)} = \norm{\frac{x}{\norm{x}^2} - \frac{y}{\norm{y}^2}} = \norm{\frac{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\norm{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
+		$$= \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{y}^2 x} - 2 \innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{x}^2 y} - \innerproduct{\norm{x}^2 y}{\norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\norm{y}^4 \norm{x}^2 - 2\norm{y}^2 \norm{x}^2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^4\norm{y}^2}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
+		$$= \frac{\sqrt{\norm{y}^2 \norm{x}^2 (\norm{y}^2 - 2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^2)}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x}\norm{y}\sqrt{\innerproduct{x - y}{x - y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{En déduire que pour tous $x,y,z \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Posons $a,b \in E \setminus \{0\}$ tel que $a := i(y) - i(x)$ et $b := i(x) - i(z)$, puis utilisons l'inégalité triangulaire $\norm{a + b} \le \norm{a} + \norm{b}$ et développons.
+		$$\norm{(i(y) - i(x)) + (i(x) - i(z))} = \norm{i(y) - i(z)} \le \norm{i(x) - i(z)} + \norm{i(x) - i(y)}$$
+		Par le résultat de (3).
+		$$\frac{\norm{y - z}}{\norm{y}\norm{z}} \le \frac{\norm{x - z}}{\norm{x}\norm{z}} + \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+		En multipliant par $\norm{x}\norm{y}\norm{z}$
+		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.}
+
+	\bigskip
+	Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme :
+	\begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry}
+		$\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$
+		\begin{proof}\par
+			Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $e,f \in E$.
+
+			Comme $\exists (-1_K) \in \K(+, \cartesianProduct) \suchas (-1_K) \cartesianProduct (-1_K) = 1_K$.
+
+			$$\norm{e - f} = \norm{-1_\K(f - e)} = \abs{-1_\K}\norm{f - e} = \norm{f - e}$$
+		\end{proof}
+	\end{lemme_sq}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $a,b,c,d \in E$.
+
+		Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$.
+
+		Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$.
+
+		Ainsi, par le résultat (4).
+
+		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
+
+		Par le lemme (\ref{norm_diff_symetry}).
+
+		$$\norm{x}\norm{z - y} \le \norm{y}\norm{z - x} + \norm{z}\norm{y - x}$$
+
+		En développant $x$, $y$ et $z$ on obtient
+
+		$$\norm{a - c}\norm{(a - d) - (a - b)} \le \norm{a - b}\norm{(a - d) - (a - c)} + \norm{a - d}\norm{(a - b) - (a - c)}$$
+
+		$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
+	\end{proof}
+
+	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
+
+	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
+	% TODO Complete 6.
+
+	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
+
+	\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
+	% TODO Complete 7.
+\end{enumerate}
+

contents/algebra_dm2.tex

@@ -0,0 +1,70 @@
+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2024-25
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Devoir Maison 2 : Algèbre multilinéaire}
+\subsection*{Thème : Dualité linéaire, Bases duales et antéduales}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+\subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \L(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$,
+
+$$\Delta(P)(X) = P(X) - P(X - 1)$$
+
+On introduit la famille de polynômes ($P_0, \cdots, P_n$) définie par
+
+$$P_0 = 1 \text{ et } \forall k \in \discreteInterval{0, n - 1}, P_{k + 1}(X) = \frac{1}{(k + 1)!} \prod\limits^k_{i = 0}(X + i) = \frac{X(X + 1) \cdots (X + k)}{(k + 1)!}$$
+
+On note enfin $\phi_0 \in E^*$ la forme linéaire $\phi_0(P) = P(0)$ et pour tout $k \in \discreteInterval{1,n}, \phi_k(P) = {}^t(\Delta)^k(\phi_0)$.
+
+\begin{enumerate}
+	\item{Montrer que pour tout $k \in \discreteInterval{1, n}, \Delta(P_k) = P_{k - 1}$.
+		\begin{proof}
+			$$\Delta(P_k) = P_k(X) - P_k(X - 1) = \frac{1}{(k + 1)!}\left[\prod\limits^k_{i = 0}(X + i) - \prod\limits^k_{i = 0}((X - 1) - i)\right] $$
+			$$= \frac{1}{(k + 1)!}\left[(X + k) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i) - (X - 1) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]$$
+			$$= \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]\left[(X + k) - (X + i)\right] = \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right](k + i) = P_{k - 1}$$
+		\end{proof}
+	}
+
+	\item{En déduire que ($P_0, \cdots, P_n$) est une base $E$, dont ($\phi_0, \cdots, \phi_n$) est la base duale.
+		\begin{proof}
+
+		\end{proof}
+	}
+
+	\item{Si $P \in \R_n[X]$, exprimer les coordonnées dans la base ($P_0, \cdots, P_n$) d'un polynôme $Q \in \R_{n + 1}[X]$ tel que $\Delta(Q) = P$.
+	}
+
+	\item{Justifier que deux polynômes $Q_1, Q_2 \in \R_n[X]$ tels que $\Delta(Q_1) = \Delta(Q_2)$ différent d'une constante.
+	}
+
+	\bigskip
+	{\setlength\parindent{-25pt}\par\textit{Application :}}
+	\bigskip
+
+	\item{Justifier que si $\Delta(Q) = P$, alors $P(1) + \cdots + P(n) = Q(n) - Q(0)$.
+	}
+
+	\item{On suppose $n \ge 3$. Exprimer les coordonnées des polynômes $X, X^2$ et $X^3$ dans la base ($P_0, \cdots, P_n$).
+	}
+
+	\item{En déduire des expressions simples en fonction de $n$ des sommes suivantes
+		\begin{enumerate}
+			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k = 1 + 2 + \cdots + n$}
+			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^2 = 1 + 2^2 + \cdots + n^2$}
+			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^3 = 1 + 2^3 + \cdots + n^3$}
+		\end{enumerate}
+	}
+\end{enumerate}

contents/combinatorics.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\langchapter{Combinatoire}{Combinatorics}
+%TODO Complete chapter
+
+\langsection{Formules}{Formulas}
+
+$\prod\limits_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n = n!$
+
+$\prod\limits_{k=1}^{n} 2k = 2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n = 2^n n!$
+
+$\prod\limits_{k=1}^{n} (2k - 1) = 1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n + 1) = \frac{(2n + 1)!}{2^n n!}$
+
+$\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$
+
+$\binom{n}{k}=\left\{\begin{aligned} &\frac{n!}{k!(n - k)!} & & \text{si } k \in \discreteInterval{0,n} \\ &0 & &\text{sinon} \end{aligned}\right.$
+
+$\forall n \in \N,\forall k \in \Z, \binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$
+
+Formule de Pascal
+
+$\forall n \in \N, \forall k \in \Z, \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k}$

contents/fourier.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\langchapter{Séries de Fourier}{Fourier Series}
+
+\section{Les fonctions $2\pi$-périodiques et leurs coefficients de Fourier}
+
+\subsection{Espaces de fonctions $2\pi$-périodiques}
+
+$$\function{f}{\R}{\C}$$
+$$\functiondef{t}{\sum\limits_{n \in \K} c_n(f)e^{int}}$$
+
+avec
+
+$$c_n(f) = \frac{1}{T} \int\limits_0^{T} f(t)e^{\frac{-int2\pi}{T}}dt$$
+
+\section*{Révisions}
+
+\subsection*{TD3}
+
+- On considère la fonction $\function{f}{\R}{\C}$, $2\pi$-périodique, telle que $f(x) = \abs{x}$ si $x \in [-\pi, \pi[$, cette fonction est $C^1$ par morceaux, continue et continue par morceaux. Son coefficient de Fourier vaut $c_2 = \int\limits_{-\pi}^\pi \abs{x}e^{-2ix}dx$
+
+- Lorsqu'une fonction $2\pi$-périodiques $f$ est à valeurs réels alors ses sommes de fourier $S_N(f)$ sont des fonctions à valeurs réelles, et ses coefficients de Fourier $a_n$ et $b_n$ sont tous des nombres réels.
+
+- Soit $f$ une fonction $C^2$, $2\pi$-périodique. Si je connais les coefficients de Fourier de $f$ je peux retrouver facilement ceux de $f'$ ainsi que ceux de $f''$, également on a $c_n(f) = O_{\abs{n} \to +\infty}(c_n(f'))$
+
+\subsection*{TD4}
+
+- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. La suite $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n(f) = 0$, la suite $c_n(f)$ est bornée, la somme $\sum\limits_{n \in \Z} \abs{c_n(f)}^2$ est convergente.
+
+- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. Si $S_N(f)$ converge simplement, alors sa limite simple est la fonction $f$. $\forall x \in \R$ la suite $((S_N(f))(x))$ converge au sens de Cesàro.
+
+- Soit $f$ une fonction $C^1$ par morceaux et $2\pi$ périodique. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent vers $f(x)$ pour tout $x$, sauf ceux où $f$ est discontinue. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent pour tout $x \in \R$.
+
+- $S_N(f) = D_N \star f$. Le noyau de Fejér est une fonction paire.
+
+\subsection*{TD4}
+
+- Soit $f$ une fonction continue et 1-périodique. $(S_N(f))(x) = \sum\limits_{n = -N}^N (\int\limits_0^1 f(t)e^{-2i\pi nt}dt)e^{2i\pi nx}$
+
+- Soit $u = u(t,x)$ une fonction $C^2$ sur $[0, +\infty[\times\R$, on suppose que $u$ est la solution de l'équation aux dérivées partielles $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=\sin(x) \implies u(t,x) = \sin(x)e^{-t}$
+
+- Soit $u_0 \in C^\infty([0, \pi])$ telle que $u_0(0) = u_0(\pi) = 0$, et soit $u = u(t,x)$ la solution de l'équation $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=u_0 \land u(t,0) = u(t,\pi) = 0$. La quantité $u(t,x)$ représente la température à l'instant $t$ et à la position $x$ d'une barre de métal de longueur $\pi$, maintenue à la température nulle à ses extrémités, et dont la distribution initiale de température est $u_0$. $\forall x \in [0, \pi]$, on a $\lim\limits_{t \to +\infty} u(t,x) = 0$
+
+- Soit $f$ une fonction $C^1$ et 2-périodique. $c_n(f') = in\pi c_n(f)$
+
+\subsection*{TD6}
+
+- $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n!\times\sqrt{n}}{\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\cdots\times(n + \frac{1}{2})} = \Gamma(\frac{1}{2})$
+
+- Pour calculer $\zeta(2)$ on peut utiliser les séries de Fourier, en particulier la formule de Parseval pour une fonction $2\pi$-périodique bien choisie, pour calculer $\zeta(n)$ lorsque $n \mod 2 = 0$
+

contents/suites.tex

@@ -0,0 +1,335 @@
+\langchapter{Suites}{Sequence}
+
+\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est noté \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être défini de plusieurs manières :}%
+{A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :}
+
+\begin{itemize}
+	\item{\lang{Par énumeration}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
+	\item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$}
+	\item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$}
+\end{itemize}
+
+\begin{definition_sq}
+	\lang{Une suite dite \textbf{arithmétique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la raison de la suite.}%
+	{An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.}
+\end{definition_sq}
+
+Remarque: Une suite arithmétique est le phénoméne discret d'une progression linéaire.
+
+\begin{definition_sq}
+	\lang{Une suite dite \textbf{géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \times q$ avec $q \in E(\times)$ appelé la raison de la suite.}%
+	{A geometric sequence is defined by $$ }
+\end{definition_sq}
+
+Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression exponentielle.
+
+\begin{definition_sq}
+	\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \times u_n +  b$ avec $a,b \in E(+,\times) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
+	{A geometric sequence is defined by $$ }
+\end{definition_sq}
+
+\langsection{Limite de suite}{Limit of sequences}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:cauchy_sequence}
+	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{suite de Cauchy} si
+	$$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$
+\end{definition_sq}
+
+\lang{Lorsque l'on tends $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence}
+	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si
+	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$
+	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$
+	Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
+\end{definition_sq}
+
+Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.
+
+\begin{proof}
+	Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$.
+	\suite{u} est une suite de Cauchy mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite à au moins un point d'adhérence
+
+	Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$.
+
+	Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$.
+
+	Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$
+	mais comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence.
+
+	Il ne peux donc pas y avoir deux points différents adhérence dans une suite de Cauchy.
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}
+	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si
+	$$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$
+	Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
+\end{definition_sq}
+
+Remarque: une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence}
+	Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si
+	$$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$
+\end{definition_sq}
+
+Remarque: une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
+
+\begin{definition_sq}
+	Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\times)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \times u_{n + 1}$.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Critére de convergence}{Convergence criteria}
+
+Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$
+
+Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} < 1$ (strictement décroissante) et $\forall n \in \N, u_n > 0$ alors $u_n$ converge vers 0.
+
+Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1$ (strictement croissante) et $\forall n \in \N, u_n < 0$ alors $u_n$ converge vers 0.
+
+Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
+
+\langsection{Séries}{Series}
+
+Une série est la somme infini d'une suite donné \suite{u} et est noté $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$
+
+Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commencant à un rang $N \in \N$ peut être représenter par la forme suivante :
+
+$\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$
+
+\begin{proof}
+Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commencant à un rang $N \in \N$
+$$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$
+Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$
+$$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$
+$$\implies l = \frac{ar^N}{1 - r}$$
+\end{proof}
+
+Corollaire : Pour $N = 0$ et $u_0 = 1$ qui la forme la plus commune $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$
+
+\langsubsection{Représentation en séries}{Power series expansion}
+
+Soit $x \in ]-1, 1], \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{x^n}{n}$
+
+\begin{proof}
+	Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-r)^n = \frac{1}{1 + r}$
+	$$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-x)^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 + x} dx$$
+	Par le théorème de convergence monotone
+	$$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r (-x)^n dx = \ln(1 + r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = \ln(1 + r)$$
+	Soit $n := n - 1$
+	$$\implies \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{r^n}{n} = \ln(1 + r)$$
+\end{proof}
+
+$\ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$
+
+\begin{proof}
+	Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$
+	$$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} x^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 - x} dx$$
+	Par le théorème de convergence monotone
+	$$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r x^n dx = -\ln(1 - r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = -\ln(1 - r)$$
+	Soit $n := n - 1$
+	$$\implies -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{r^n}{n} = \ln(1 - r)$$
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Règle de d'Alembert}{Alembert's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert}
+
+Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :
+
+\begin{itemize}
+	\item{si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
+	\item{si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
+	\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
+\end{itemize}
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Règle de Cauchy}{Chauchy's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_cauchy}
+
+Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors :
+
+\begin{itemize}
+	\item{si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
+	\item{si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
+	\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
+\end{itemize}
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Lemme de Cesàro}{Cesàro's lemma}
+
+\begin{theorem_sq} \label{lemme:cesaro}
+	Soit \suite{a} une suite de nombres complexes convergeant vers une limite $l$. Alors la suite \suite{u} défini comme $u_n := \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k$ converge vers $l$.
+\end{theorem_sq}
+
+Lorsqu'une suite est convergente, elle est convergente au sens de Cesàro.
+
+Il existe des exemples de suites qui ne sont ni convergentes, ni convergentes au sens de Cesàro.
+
+\langsubsection{Transformation et critère d'Abel}{Abel's transformation and criteria}
+
+\langsubsection{Critère d'Abel}{Abel's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_transformation_critere_abel}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:abel}
+
+Soit \suite{a} et \suite{b} deux suites de nombres complexes vérifiant les propriétés suivantes :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.}
+	\item{$\exists! l \in \C, \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} \abs{b_k - b_{k + 1}} \converges l$.}
+	\item{$(b_n) \converges 0$.}
+\end{itemize}
+
+$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Théoreme d'Abel}{Abel's theorem}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:abel}
+
+Soit $\function{f}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^1$, et $\function{g}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^0$ sur $[a, b[$ vérifiant
+
+\begin{itemize}
+	\item{$f$ est décroissante.}
+	\item{$\lim\limits_{x \to b}f(x) = 0$.}
+	\item{$\exists M > 0$ tel que, $\forall x \in [a, b[, \abs{\int\limits_a^x g(t)dt} \ge M$.}
+\end{itemize}
+
+Alors $\int\limits_a^b f(t)g(t)dt$ converge.
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Critère de Dirichlet}{Dirichlet's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_critere_dirichlet}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:dirichlet}
+
+Soit \suite{a} une suite de nombres complexes et \suite{b} une suite de nombres réels vérifiant les propriétés suivantes :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.}
+	\item{$(b_n)$ est monotone.}
+	\item{$(b_n) \converges 0$.}
+\end{itemize}
+
+$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Séries alternées}{Alternating Series}
+
+\begin{definition_sq}
+	Une série de terme général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$.
+\end{definition_sq}
+
+Source : \citeannexes{maths_adultes_series_numerique_1}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:series_alternees}
+
+Soit \suite{a} $\in \R$ une suite monotone, et tendant vers $0 \implies \sum\limits_{n \in \N} (-1)^n a_n$ converge.
+
+De plus, $S_n := \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k a_k$, la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n := \sum\limits_{k = n + 1}^{+\infty} (-1)^k a_k$, le reste d'ordre $n$.
+
+$\implies \forall n \in \N, S_{2n + 1} \le S \le S_{2n}, \abs{R_n} \le a_{n + 1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n + 1}$.
+
+\end{theorem_sq}
+
+Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est converge $\equivalence$ si $\alpha > 0$
+
+\section{Zeta}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:zeta_function}
+The Riemman's Zeta function is defined as follows
+
+$$\function{\zeta}{\R}{\R_+}$$
+$$\functiondef{s}{\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}}$$
+
+\end{definition_sq}
+
+The Zeta function as several notable identities.
+
+With the Gamma function $\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^{s - 1}}{e^x - 1}dx$
+
+\begin{proof}
+	Let $s \in \R$, and knowing that
+	$$\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} x^{s - 1}e^{-x} dx$$
+	Let do a changement of variable such that $n \in \N^*, x = nt \implies dx = n dt$
+	$$\implies \Gamma(s) = \int\limits_{u = 0}^{u = \infty} nt^{s - 1} e^{-nt} ndt = \int\limits_{0}^{\infty} n^{s}t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$
+	$$\implies \forall n \in \N^*, \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$
+	$$\implies \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \Gamma(s) \zeta(s)$$
+	Par le théoréme de convergence monotone
+	$$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n} dt$$
+	Pour un $t$ donné, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n}$ est une série géométrique
+	$$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t} e^{t}}{(1 - e^{-t})e^{t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{1}{e^{t} - 1} dt$$
+	$$\implies \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{t^{s - 1}}{e^{t} - 1} dt$$
+\end{proof}
+
+With prime numbers, $\Pn$ is the set of prime numbers
+$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$
+
+We can also write this equality as a double sum
+$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$
+
+\begin{proof}
+Let $s \in \R \suchas s > 1$ and using the Euler product $\zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$
+$$\implies \ln \composes \zeta(s) = \ln \left(\prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \sum\limits_{p \in \Pn} -\ln(1 - p^{-s})$$
+Using the following power series $x \in \R \land -1 \le x < 1, \ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$
+$$\ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{p^{-sm}}{m} = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$
+\end{proof}
+
+\section*{Révisions}
+
+%TODO Remainders to change location
+
+La somme converge $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a$ quand $a < -1$ (critère de Riemann).
+
+$x \in \R \backslash \pi \backslash \Z, \sum\limits_{k=1}^N e^{2ikx} = \frac{e^{2i(N+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} - 1$
+
+Soit $a < b \in \R$ et soit $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'integrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge des que
+
+\begin{itemize}
+	\item{$f$ se prolonge en une fonction continue en $a$}
+	\item{$\lim\limits_{t \to a} (t - a)^{\frac{1}{2}} f(t) = 0$}
+	\item{$\int\limits_a^b \abs{f(t)}dt < +\infty$}
+\end{itemize}
+
+Une série est soit convergente ou divergente.
+
+Les séries suivantes convergent simplement sur $[0, 1]$ :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$}
+	\item{$f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}$}
+	\item{$f_n(x) = x^n$}
+\end{itemize}
+
+La série de fonction $f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$ est une série uniformément convergente sur $[0, 1]$.
+
+$\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge simplement, uniformément et normalement sur $\R$
+
+Pour montrer qu'une série de fonctions $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} f_n(x)$ est dérivable sur un intervalle $I$, on doit impérativement montrer que
+
+\begin{itemize}
+	\item{chacune des fonctions $f_n$ est dériable sur $I$}
+	\item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tout compact de $I$}
+	\item{la série $\sum\limits_{n \ge 1} f_n(x)$ converge pour au moins un $x \in I$}
+\end{itemize}

contents/topology_dm1.tex

@@ -0,0 +1,182 @@
+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2022-23
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+
+\subsubsection{Exercice 1}
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
+
+\subsubsubsection{1.a}
+Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
+\\
+
+Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
+
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+\\
+
+Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
+
+$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
+\\
+
+Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
+
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
+
+$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
+
+$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+
+$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
+
+Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
+
+\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1}
+Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsubsection{1.b}
+Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
+\\
+
+Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
+
+$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \closure{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
+
+$\equivalence (x_n)$ est fermée.
+
+\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2}
+Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection{Exercice 2}
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
+
+Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
+
+\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
+Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{lemme_sq}
+$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
+\end{lemme_sq}
+
+$K$ est compact
+\\
+
+Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
+
+$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
+
+$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
+
+$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\begin{lemme_sq}
+$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
+\end{lemme_sq}
+
+Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
+
+\paragraph{Si $X$ est fini}
+
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
+
+$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\paragraph{Si $X$ est infini}
+
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
+
+En fixant $l \in X$,
+
+$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\begin{theorem_sq}
+$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection{Exercice 3}
+Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
+
+Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
+
+Selon le \textbf{Théorème \ref{topology_dm1:theorem_1}} et \textbf{\ref{topology_dm1:theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
+
+$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
+
+$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
+
+\begin{theorem_sq}
+Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection{Exercice 4}
+Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
+
+$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
+
+Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
+\\
+
+\begin{lemme_sq}
+Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+
+En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
+
+$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \B(l, \epsilon)$
+
+$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$
+
+$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
+
+\end{proof}
+
+\begin{lemme_sq}
+Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+
+Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
+
+$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
+
+$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
+
+$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$
+
+$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
+\end{theorem_sq}

contents/trigonometry.tex

@@ -6,9 +6,15 @@
 
 Le cercle unitaire est un cercle de centre $(0,0)$ et de rayon 1.
 
+$\forall x \in \R, \cos^2 x + \sin^2 x = 1$
+
 \subsection{cos}
 %TODO Complete subsection
 
+Formule d'Euler
+
+$\forall \theta \in \R, cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i \theta}}{2}$
+
 $\cos 0 = 1$
 
 $\cos \frac{\pi}{2} = 0$
@@ -17,12 +23,18 @@ $\cos \pi = -1$
 
 $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$
 
+$\cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin(t)$
+
 $\cos(\pi + t) = -\cos(t)$
 
+$\cos(\pi - t) = -\cos(t)$
+
 $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
 
 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
 
+$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
+
 $\forall (a,b) \in \R$
 
 $\cos(a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
@@ -31,20 +43,46 @@ $\cos(a - b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
 
 $\cos a + \cos b = 2 \cos(\frac{a + b}{2}) \cos(\frac{a - b}{2} )$
 
+$\cos a - \cos b = -2 \sin(\frac{a + b}{2}) \sin(\frac{a - b}{2} )$
+
+$\cos a \cos b = \frac{\cos(a + b) + \cos(a - b)}{2}$
+
+$\forall t \in \R, \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$
+
+$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
+
+$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^{2}}$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \cos(\arccos(x)) = x$
+
+$\forall x\in\R, \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
+
 \subsection{sin}
 %TODO Complete subsection
 
+Formule d'Euler
+
+$\forall \theta \in \R, sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i \theta}}{2i}$
+
 $\sin 0 = 0$
 
-$\sin(\pi - t) = \sin(t)$
+$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
 
-$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t)$
+$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
 
 $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
 
 $\sin \frac{\pi}{2} = 1$
 
-%$\sin(\frac{\pi}{2} + t) = -\cos(t)$
+$\sin(\frac{\pi}{2} + t) = -\cos(t)$
+
+$\sin(\pi - t) = \sin(t)$
+
+$\sin(\pi + t) = -\sin(t)$
+
+$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t)$
 
 $\forall (a,b) \in \R$
 
@@ -54,13 +92,29 @@ $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a$
 
 $\sin a - \sin b = 2 \cos (\frac{a+b}{2}) \sin (\frac{a-b}{2})$
 
+$\sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a+b}{2}) \cos (\frac{a-b}{2})$
+
 $\sin a\sin b = \frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{2}$
 
+$\sin a \cos b = \frac{\sin(a - b) - \sin(a + b)}{2}$
+
+$\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$
+
+$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \sin(\arcsin(x)) = x$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^{2}}$
+
+$\forall x\in\R, \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
+
 \subsection{tan}
 %TODO Complete subsection
 
 $\tan 0 = 0$
 
+$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
+
 $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
 
 $\tan \frac{\pi}{4} = 1$

main.tex

@@ -5,18 +5,19 @@
 %\usepackage{helvet}                                                  % Add the Helvet font
 \renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}                             % Change default font to serif font family (default)
 %\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault}                            % Change default font to monospace font family
-                                                                      %\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family
+%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}                            % Change default font to sans serif font family
 \usepackage[T1]{fontenc}                                              % Set the font (output) encoding
 \usepackage[french]{packages/language_selector}                       % Allow to the language the document is written to ([french], english)
 %\usepackage[autolanguage]{numprint}                                  % for the \nombre command
 \usepackage{hyphenat}                                                 % Hyphenation rules
+\usepackage{tikz-cd}                                                  % Use for commutative diagram (Category Theory)
 \hyphenation{mate-mática recu-perar}
 \usepackage{setspace}                                                 % Sets the line spacing.
 \setstretch{1.0}
 \usepackage{multibib}                                                 % Allow multiple separates bibliography citations
 \langnewcites{annexes}{Annexes}{Annexes}
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-%\usepackage{lipsum}                                                  % Command to generate temporary dummy text
+\usepackage{lipsum}                                                   % Command to generate temporary dummy text
 \usepackage[ruled,vlined,linesnumbered]{algorithm2e}                  % Add the algorithm environnement
 \usepackage[codedark]{packages/themes}                                % Include many colours themes ([default], codedark or dracula)
 \pagecolor{theme_colour_background}
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 \usepackage{packages/macros}                                          % Customs macros
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+\usepackage{enumerate}                                                % Allow (1) index for enumerate
+\usepackage{paracol}                                                  % The paracol package lets you typeset columns of text in parallel
 
 \makeindex
 
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 \maketitle
 
-%\renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
+%\renewcommand{\contentsname}{\lang{Sommaire}{Summary}}
 \tableofcontents
 
 \langchapter{Préambule}{Stuffings}
@@ -66,12 +69,18 @@ De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tout lecteurs de ce n
 \input{contents/logic}
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+\input{contents/combinatorics}
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+\input{contents/topology_dm1}
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packages/macros.sty

@@ -2,7 +2,9 @@
 
 \RequirePackage{amsfonts}                                % Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
 
+\usepackage{amssymb}  % for '\blacksquare' macro
 \usepackage{amsthm}   % for 'proof' environment
+\usepackage{mathtools}
 
 % Snippet to add dots to TOC
 % Thanks to "user11232" at https://tex.stackexchange.com/questions/53898/how-to-get-lines-with-dots-in-the-table-of-contents-for-sections
@@ -22,6 +24,7 @@
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 \newcommand{\Se}{\mathbb{S}}			% Sedenions numbers symbol
 \newcommand{\Pn}{\mathbb{P}}			% Sets of all the prime numbers
+\newcommand{\B}{\mathbf{B}}			% Topological Ball
 \newcommand{\false}{F}				% New symbol for false value
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 \newcommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
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 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} % Power set
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 \newcommand{\Limplies}{\Longleftarrow}
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