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@@ -1,6 +1,14 @@
 \langchapter{Équations Différentiel}{Differential Equations}
 %TODO Complete chapter
 
+Une équation différentiel est une équation dont les inconnu sont des fonctions par rapport à ces dérivés.
+
+Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle
+
+$$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$
+
+La variable $t$ est appelée la \textit{variable de temps} et la variable $Y$ la \textit{variable d'état} puisqu'elle décrit les différents états du système.
+
 \section{Linéaire homogéne}
 %TODO Complete section
 

contents/dynamic_systems.tex

@@ -0,0 +1,45 @@
+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2024-25
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Introduction aux systèmes dynamiques}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+\subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
+
+% Emmanuel Militon
+Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) | n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
+
+Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
+
+$$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
+$$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$
+
+avec $0 < \lambda \le 4$.
+
+\subsubsection*{Premier pas ...}
+
+Pour l'instant, nous nous intéressont à la fonction suivante :
+
+$$\function{T_b}{[0, 1[}{[0, 1[}$$
+$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
+$$\functiondef{z \in \C, \abs{z} = 1}{z^2}$$
+
+En écrivant $x \in [0, 1[$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
+$$x = \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} = 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_m \cdots$$
+avec $\forall i \in N^*, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
+$$T_b(x) = b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} \mod 1 = d_1 \sum\limits_{i = 2}^{+\infty} \frac{d_{i - 1}}{b^{i - 1}} \mod 1 = \sum\limits_{j = 1}^{+\infty} \frac{d_j}{b^j} =  0. d_2 d_3 d_4 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
+Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Par induction sur le nombre d'application successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$, donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicités des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécéssairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.

contents/number_theory.tex

@@ -10,30 +10,26 @@
 \langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
 %TODO Complete subsection
 
-Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
+Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
 
-$0 := \emptyset$
-
-$1 := \{0\} = \{\emptyset\}$
-
-$2 := \{1, 0\} = \{\{\}\}$
+$$0 := \emptyset$$
+$$n+1 := \{n + 1\} \cup \Union_{k \in \N} n_k$$
+$$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$$
 
 \subsection{Construction de ??}
 %TODO Complete subsection
 
-Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
+Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
 
 $0 := \emptyset$
 
 Using recursion, we can define all the following integers.
 
-$1 := \{\emptyset\}$
-
-$2 := \{\{\emptyset\}\}$
+$n + 1 := \{n\}$
 
 $\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
 
-Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
+Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate and makes writing some proofs less verbose, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
 
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
@@ -44,7 +40,7 @@ Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$
 \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:countability}
-Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
+Un ensemble $E$ est dit \textbf{dénombrable} si, et seulement si, il existe une application injective \ref{definition:injective} de $E$ dans une partie de $\N$.
 \end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Infini}{Infinity}
@@ -67,8 +63,6 @@ $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
 
 $\functiondef{n}{2n}$
 
-\end{proof}
-
 On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
 
 $\function{g}{\N,\N}{\N_c}$
@@ -79,6 +73,8 @@ $\functiondef{n,c}{cn}$
 
 Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".
 
+\end{proof}
+
 \langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
 %TODO Complete subsection
 
@@ -91,6 +87,10 @@ Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$,
 Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
 \end{theorem_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+$\sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 + \cdots + n =  \frac{n(n+1)}{2}$
+\end{theorem_sq}
+
 \langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
 %TODO Complete section
 
@@ -106,16 +106,20 @@ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \
 
 De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
 
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_integers}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers}
 L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
 
+On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant
+
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
 \end{center}
 
+Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
+
 $\function{f}{\Z}{\N}$
 
 $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
@@ -125,9 +129,9 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
 \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
 %TODO Complete section
 
-$p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$
+$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$
 
-$PGCD(p,q) := 1$
+$\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
 
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
@@ -137,34 +141,120 @@ $\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \
 \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
+\langsubsubsection{Égalité}{Equality}
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
 
-$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
+$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} := \frac{pb + aq}{qb}$
+
+$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} := \frac{pa}{qb}$
+
+$\implies \forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
+
+$\implies \forall (p,q) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ L'opérateur est réflective \ref{definition:reflexivity}
+
+L'opérateur est associative \ref{definition:associativity}
+
+$\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+\begin{proof}
+
+Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$
+
+$\implies pn = qm \land mb=na$
+
+$\implies pnmb = qmna$
+
+$\implies pmb = qma$
+
+if $m \neq 0$
+
+$\implies pb = qa$
+
+$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+otherwise
+
+$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0$
+
+$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+\end{proof}
 
 \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
 
 De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
 
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_rationals}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_rationals}
 L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
 
+On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$
+
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
 \end{center}
 
+Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable.
+
+Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
+
 $P_i$ sont des nombres premiers.
 
 $\function{f}{\Q}{\N}$
 
-$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{\abs{p}} + 1}P_2^pP_3^q}$
+$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$
+
+Hors, toutes fonctions injective dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable.
 
 \end{proof}
 
+\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
+%TODO Complete subsection
+
+Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals}
+Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
+
+$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
+
+$\equivalence x \in \Q$
+
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+
+\impliespart
+
+Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
+
+$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
+
+$\function{S}{\R}{\Z}$
+
+$Sign(x) = \begin{cases}-1 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0\end{cases}$
+
+Posons $z \in \Z$ et $r \in \R$ tel que $z = Sign(x)\floor{\abs{x}}$ et $r = \fractional{x}$ ainsi que $x = z + r$.
+
+$r = 0, \overline{d_1d_2 \cdots d_n}$
+
+$\implies 10^nr = d_1d_2 \cdots d_n, \overline{d_1d_2 \dots d_n}$
+
+$\implies (10^n - 1)r = d_1d_2 \cdots d_n$
+
+$\implies r = \frac{d_1d_2 \cdots d_n}{10^n - 1}$
+
+$\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$
+
+\Limpliespart
+
+Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in Z, q \in N^*, PGCD(p,q) = 1, x = \frac{p}{q}$
+
+Lors d'une longue division on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \ge r < q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui est un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créer une séquence de décimales qui se répétera.
 \end{proof}
 
 \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
@@ -186,7 +276,7 @@ $\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
 
 $i^2 = -1$
 
-\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|}
@@ -224,7 +314,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
-\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
@@ -246,7 +336,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
 
-\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
@@ -284,7 +374,7 @@ Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
 
-\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
@@ -320,9 +410,7 @@ Il existe une infinité de nombres premiers.
 \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
 {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
 
-$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$
-
-$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$
+Let $\Pn := \{p | p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
 
 $\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
 

contents/set_theory.tex

@@ -25,11 +25,34 @@ Il existe un ensemble vide notée $\emptyset$.
 \langsubsection{Paire}{Pairing}
 %TODO Complete subsection
 
+Source: \citeannexes{wikipedia_ordered_pair}
+
+\langsubsubsection{Définition de Wiener}{Wiener's definition}
+
+$(a,b) := \{\{\{a\}, \emptyset\}, \{b\}\}$
+
+\langsubsubsection{Définition de Hausdorff}{Hausdorff's definition}
+
+$(a,b) := \{\{a, 1\}, \{b,2\}\}$ where $a \ne 1 \land b \ne 2$
+
+\langsubsubsection{Définition de Kuratowski}{Kuratowski's definition}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ordered_pair}
+$(a,b)_K := \{\{a\}, \{a,b\}\}$
+\end{definition_sq}
+
 \langsubsection{Réunion}{Union}
-%TODO Complete section
 
 Unite all elements of two given sets into one.
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_union}
+$A \union B := \{x | (x \in A \lor x \in B)\}$
+\end{definition_sq}
+
+Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$
+
+Example :
+
 $n,m \in \N$
 
 $A := \{a_0, \cdots, a_n\}$
@@ -52,28 +75,81 @@ For a set $S$ such that $\card{S} = n \implies \card{\mathbf{P}(S)} = 2^n$
 \langsubsection{Choix}{Choice}
 %TODO Complete subsection
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_axiom_of_choice}
+For any set $X$ of nonempty sets, there exists a choice function $f$ that is defined on $X$ and maps each set of $X$ to an element of that set i.e.
+
+$$\forall X [\emptyset \notin X \implies \exists \function{f}{X}{\Union_{A \in X} A \quad \forall A \in X(f(A) \in A)}]$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ac_implies_lem}
+The axiom of choice implies the law of excluding middle.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+
+Assume that $0 \ne 1$ (or any two elements that are not equal), Let $\Omega := \{0, 1\}$, $p \in \mathbf{Prop}$
+
+$A := \{ x \in \Omega | x = 0 \lor p \}$
+
+$B := \{ y \in \Omega | y = 1 \lor p \}$
+
+$\implies 0 \in A \land 1 \in B$
+
+$X := \{ A, B \}$, by definition $\Union X = \Omega$
+
+By the axiom of choice $\implies \exists \function{f}{X}{\Omega}$
+
+Using this function there are 4 cases:
+\begin{enumerate}[(1)]
+	\item $f(A) = f(B) = 0 \implies 0 \in B$ but $((0 = 1) \lor p \implies \top) \implies p$
+	\item $f(A) = f(B) = 1$ Same reasoning as (1) $\implies p$ % TODO Replace with local labeling and reference
+	\item $f(A) \neq f(B) = 0 \implies A \neq B$ but $p \implies A = B = \Omega$ (contrapositive of (1) and (2)) $\implies \lnot p$
+	\item $f(A) \neq f(B) = 1$ Same reasoning as (3) $\implies \lnot p$
+\end{enumerate}
+
+So by proof by cases $(p \lor \lnot p)$ which is the law of excluded middle \ref{definition:law_excluding_middle}.
+\end{proof}
+
 \section{Intersection}
 
 Unite all common elements of two given sets into one.
 
-$n,m,i \in \N$
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_intersection}
+$A \intersection B := \{x | (x \in A \land x \in B)\}$
+\end{definition_sq}
 
-$A = \{a_0, \cdots, a_n, c_0, \cdots, c_n\}$
+Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$
 
-$B = \{b_0, \cdots, b_m, c_0, \cdots, c_n\}$
+Example :
 
-$A \cap B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
+$n,m \in \N$
+
+$A := \{a_0, \cdots, a_n, c_0, \cdots, c_n\}$
+
+$B := \{b_0, \cdots, b_m, c_0, \cdots, c_n\}$
+
+$A \intersection B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
 
 \langsection{Différence des sets}{Set difference}
 %TODO Complete section
 
+Exclude elements of a set from a set
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_difference}
+$A \setminus B := \{x | (x \in A \land x \notin B)\}$
+\end{definition_sq}
+
+Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$
+
 \langsection{Fonction}{Function}
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_function_mathematics}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_function}
 Une fonction $f$ est un tuple d'un domaine \citeannexes{wikipedia_domain_function} $A$ et un codomaine \citeannexes{wikipedia_codomain} $B$.
+\end{definition_sq}
 
-If the domain is the same as the codomain then the function is an endormorphsim \ref{definition:endomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.
+If the domain is the same as the codomain then the function is an endormorphsim \ref{definition:endomorphism} applied the category \ref{definition:category} of sets \ref{set_theory}.
 
 \subsection{Notation}
 
@@ -81,22 +157,28 @@ $\functiondef{A}{B}$
 
 $\function{f}{x}{f(x)}$
 
-\langsubsection{Injectivité}{Injectivity} \label{definition:injective}
+\langsubsection{Injectivité}{Injectivity}
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_injective_function}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:injective}
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.
+\end{definition_sq}
 
-\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity} \label{definition:surjective}
+\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity}
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_surjective_function}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:surjective}
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$.
+\end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_bijection} \label{definition:bijection}
+Source: \citeannexes{wikipedia_bijection}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:bijection}
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective \ref{definition:injective} et surjective \ref{definition:surjective} ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.
+\end{definition_sq}
 
-Every bijection is an isomorphism \ref{definition:isomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.
+Every bijection is an isomorphism \ref{definition:isomorphism} applied on the category \ref{definition:category} of sets \ref{set_theory}.

contents/topology.tex

@@ -3,23 +3,45 @@
 
 La topologie traite de l'étude des applications continues.
 
-\langsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
+\langsection{Espaces topologique}{Topologic spaces}
+
+A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$.
+
+\langsubsection{Axiomes}{Axioms}
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
+	\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
+	\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
+\end{itemize}
+
+\langsection{Espaces métrique}{Metric spaces}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:metric_space}
+	A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted $(E,d)$ satisfaing the following axioms :
+	\begin{itemize}
+		\item{$\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
+		\item{Symetry: $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
+		\item{Triangular inegality: $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
 
 Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
 
-\langsubsection{Normes}{Norms}
+\langsubsubsection{Normes}{Norms}
 
 Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés.
 
 \smallskip
 
-$\function{\norm{.}}{E}{\R}$
+$\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$
 
-\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
+\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 
 \begin{itemize}
-	\item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$}
-	\item{$\norm{x} \equivalence x = 0$}
+	\item{$\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
 	\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
 	\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
 \end{itemize}
@@ -28,14 +50,14 @@ $\function{\norm{.}}{E}{\R}$
 
 On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
 
-\langsubsubsection{Exemples}{Examples}
+\langsubsubsubsection{Exemples}{Examples}
 
 $n \in \N^*, E = \R^n$
 
 \begin{itemize}
-	\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i=0}^n \abs{x_i}$}
-	\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=0}^n x^2_i}$}
-	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_0}, \dots, \abs{x_n}\}$}
+	\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n \abs{x_i}$}
+	\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x^2_i}$}
+	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_1}, \dots, \abs{x_n}\}$}
 	\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$}
 	\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
 	\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
@@ -81,176 +103,219 @@ Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle e
 
 Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
 
-On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim(x_n) = l$ ou $x_n \rightarrow l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
+On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
 
 \subsection{Application}
 
 Soit $(E, \norm{.}_E)$, $(F, \norm{.}_F)$, $A \subset E$, $\function{f}{A}{F}$, $t,x \in A$ et $l \in F$.
 
-On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim_{t\rightarrow x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$
+On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim\limits_{t \to x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$
 
+\langsection{Transitivité}{Transitivity}
 
+Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 
-\section{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
-
-\subsection{Exercice 1}
-Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
-
-\subsubsection{1.a} \label{sec:ex1a}
-Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
-\\
-
-Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
-
-$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-\\
-
-Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
-
-$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
-\\
-
-Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
-
-$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
-
-$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
-
-$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-
-$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
-
-Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
-
-\begin{theorem_sq} \label{theorem_1}
-Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
-\end{theorem_sq}
-
-\subsubsection{1.b} \label{sec:ex1b}
-Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
-\\
-
-Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
-
-$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
-
-$\equivalence (x_n)$ est fermée.
-
-\begin{theorem_sq} \label{theorem_2}
-Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
-\end{theorem_sq}
-
-\subsection{Exercice 2}
-Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
-
-Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
-
-\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
-Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+\begin{definition_sq}
+	Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour tout paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
 \end{definition_sq}
 
-\begin{lemme_sq}
-$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
-\end{lemme_sq}
+\langsection{Adhérence}{Closure}
 
-$K$ est compact
-\\
+\begin{definition_sq}
+	Un point $x$ d'un espace métrique $(E,d)$ \textbf{adhère} à une partie de $A$ de $E$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ i.e.
+	$$A \subseteq E, x \in E, \forall \epsilon > 0, \B(x, \epsilon) \intersection A \ne \emptyset$$
+\end{definition_sq}
 
-Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
+\begin{definition_sq}
+	L'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est l'ensemble des points adhérent de $A$.
+\end{definition_sq}
 
-$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
-
-$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
-
-$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
-
-$\implies K$ possède un point d'accumulation
-
-\begin{lemme_sq}
-$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
-\end{lemme_sq}
-
-Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
-
-\paragraph{Si $X$ est fini}
-
-$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
-
-$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
-
-$\implies K$ possède un point d'accumulation
-
-\paragraph{Si $X$ est infini}
-
-$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
-
-En fixant $l \in X$,
-
-$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
-
-$\implies K$ possède un point d'accumulation
-
-\begin{theorem_sq}
-$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
-\end{theorem_sq}
-
-\subsection{Exercice 3}
-Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
-
-Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
-
-Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
-
-$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
-
-$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
-
-\begin{theorem_sq}
-Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
-\end{theorem_sq}
-
-\subsection{Exercice 4}
-Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
-
-$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
-
-Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
-\\
-
-\begin{lemme_sq}
-Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
-\end{lemme_sq}
+\begin{prop_sq} \label{proposition:closure_is_smallest_closed}
+	Soit $A$ une partie de $(E, d)$ un espace métrique. Alors l'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie fermée de $E$ contenant $A$. En particulier si $A$ est fermée alors $\closure{A} = A$.
+\end{prop_sq}
 
 \begin{proof}
-
-En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
-
-$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-
-$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$
-
-$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
-
+	% TODO Complete proof
 \end{proof}
 
-\begin{lemme_sq}
-Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
-\end{lemme_sq}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
+	$$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$
+\end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-
-Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
-
-$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
-
-$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
-
-$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$
-
-$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.
-
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique et $A \subseteq B$.
+	Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$ mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
+	$$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$
 \end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
+	$$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\subseteqpart
+
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
+
+	\Lsubseteqpart
+
+	Sachant que $A \subseteq \closure{A} \land B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} en faisait l'union des deux cela donne $A \union B \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$, or $\closure{A} \union \closure{B} \equivalence E\setminus\closure{A} \intersection E\setminus\closure{B}$, il s'agit d'une intersection finie d'ouverts donc $\closure{A} \union \closure{B}$ est fermé donc par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
+
+	$(\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}) \land (\closure{A \union B} \supseteq \closure{A} \union \closure{B}) \implies \closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$
+\end{proof}
+
+\langsection{Complétude}{Completeness}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergente \ref{definition:convergence_sequence}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Théorème des points fixe (Théoreme de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e.
+	$$\function{\phi}{E}{E}$$
+	$$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$
+
+	Soit $x_0 \in E$ et définisons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
+
+	Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$
+
+	Comme cas initial prenons $n = 1$.
+
+	Par définition de la suite \suite{x}.
+
+	$$d(x_2, x_1) = d(\phi(x_1), \phi(x_0))$$
+
+	Par définition de la fonction $\phi$.
+
+	$$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$
+
+	Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothése d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'héréditée $n + 1$
+	Par définition de la suite \suite{x}.
+
+	$$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$
+
+	Par définition de la fonction $\phi$.
+
+	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$
+
+	Par l'hypothése d'induction.
+
+	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$
+
+	Ce qui conclut l'induction et prouve $(h_n)$. Maintenant montrons que \suite{x} est une suite de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence}.
+
+	Soit $m,n \in \N$ tel que $m > n$.
+
+	Par inégalité triangulaire
+
+	$$d(x_m, x_n) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1})$$
+
+	Par ($h_n$)
+
+	$$\implies \sum\limits_{i = 1}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1}) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} k^{n+i}d(x_1, x_0) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i$$
+
+	On reconnaît une série géométrique
+
+	$$\implies k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i = k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right)$$
+
+	Posons $\epsilon \in \R_+^*$, comme $\abs{k} < 1 \implies \exists N \in \N, k^{N+m} \le \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)}$.
+
+	$$\implies d(x_m, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right) \le d(x_1, x_0) \frac{1}{1 - k} \left( \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)} \right) = \epsilon$$
+
+	La suite \suite{x} est donc de Cauchy.
+\end{proof}
+
+\langsection{Séparation}{Separation}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:separated_space}
+	Un espace topologique est dit séparés si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Tout les un espaces métrique sont séparés.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$ $\implies d(x, y) \ne 0$.
+
+	Soit $r := d(x, y)$ ainsi que les boules ouvertes $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$, par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.
+
+	Soit $z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$
+
+	Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Tout les singletons d'un espace métrique sont fermés.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$
+
+	$\implies d(x, y) \ne 0$. Soit $r := d(x, y)$ ainsi que $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$ par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.
+
+	$z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$
+
+	Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$, les singletons de $E$ sont donc séparés.
+\end{proof}
+
+\langsection{Compacité}{Compactness}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace topologique $E$ est \textbf{compact} si $E$ est séparé \ref{definition:separated_space} et si tout recouvrement de $E$ par des ouverts contient un recouvrement fini de $E$ i.e. si $E = \Union\limits_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe une partie finie $V := \{i_1, i_2, \cdots, i_n\}$ de $I$ tel que $E = \Union\limits_{v \in V} v$
+\end{definition_sq}
+
+\langsection{Connexité}{Connectness}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continu $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace topologique $E$ est \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\Z$ est totalement discontinu.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Posons $\left (\Union\limits_{n \in \Z} \left]n - 1/2, n + 1/2 \right[\right) \intersection \Z = \Z$.
+	Chacun de ces intervalles non vides de $\R$ est ouvert et deux à deux disjoints.
+	Cela implique qu'aucun élément de $\Z$ ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Z$ est totalement discontinu.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\Q$ est totalement discontinu.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(a,b) \in \Q^2$ tel que $a < b$.
+	Comme les irrationnels sont denses dans $\R$, il existe $x \in \R \setminus \Q$ tel que $a < x < b$.
+	De cela, nous pouvons construire les intervalles de $\R$ ouverts $L := \left]-\infty, x \right[$ et $R := \left]x, +\infty \right[$.
+	Comme $(L \union R) \intersection \Q = \Q$.
+	Cela montre qu'aucun rationnel ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Q$ est totalement discontinu.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	L'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	L'ensemble de Cantor $C$ peut être défini à l'aide de la suite \suite{C} tel que $C_0 := [0, 1] \subset \R$ et $C_n := \Union\limits_{k = 0}^{3^{n - 1}} \left[ \frac{2k}{3^n}, \frac{2k + 1}{3^n} \right]$ ainsi, nous pouvons définir $C := \Intersection\limits_{n = 0}^\infty C_n$.
+	Remarquons que $C \subset [0, 1] \subset \R$ et qu'à chaque itération sur $n$ nous divisons l'intervalle $C_n$ en trois intervalles disjoints de longueur $3^{-n}$ en retirant l'intervalle du milieu.
+	Cela implique que $C_n$ devient discontinu à l'itération $C_{n + 1}$, par induction sur $n$, aucun intervalle de $C$ n'est connecté, sauf que les bornes, elles, ne sont jamais retirées, donc $C$ est habité et il s'agit de ces seules composantes connexes à chaque itération.
+	On en conclut que l'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
+\end{proof}

graphs/countability_integers.gv

@@ -1,4 +1,4 @@
-digraph denumberabilityIntegers {
+digraph countabilityIntegers {
 	node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 30];
 	rankdir = LR;
 	bgcolor = None;

graphs/countability_rationals.gv

@@ -1,4 +1,4 @@
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