\langchapter{Analyse Complexe}{Complex Analysis}

L'analyse complexe vise à utiliser les outils d'analyse réels dans le corps des complexes comme les suites, dérivés, intégrales etc.

\langsection{Définition du corps des complexes}{Definition of the complex field}

Les nombres complexes sont soit définis comme un tuple de $\R^2$ avec un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ avec la fonction $f$ suivante :

\begin{paracol}{2}
$$\function{f}{\R^2}{\C}$$
$$\functiondef{(a, b)}{a + ib}$$
\switchcolumn
$$\function{p}{\R_+ \cartesianProduct \R/2\pi}{\C}$$
$$\functiondef{(r, \theta)}{r e^{i \theta}}$$
\end{paracol}

\begin{paracol}{2}

On dit alors que la partie $a$ est la \textbf{partie réelle} et $b$ la \textbf{partie imaginaire} et cette représentation est la \textbf{forme rectangulaire} du nombre complexe, on peut également utiliser la représentation en \textbf{forme polaire} de la fonction $p$

Selon le contexte, on peut écrire les nombres complexes sous leur forme canonique (typiquement notée $z$) ou dans sa forme aux parties réelle et imaginaire. Également, les nombres complexes peuvent être représentées dans un plan cartésien de base $(1, i)$.

\switchcolumn

\[\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[thick,font=\scriptsize]
			% (1, 2) point
			\path [fill, semitransparent] (0.8, 1.7) circle (0.05);
			\node [below right] at (0.8, 2) {$0.8 + 1.7i$};
			\draw [gray,thick] (0, 1.7) -- (0.8, 1.7);
			\draw [gray,thick] (0.8, 0) -- (0.8, 1.7);

			% (1.2 -sqrt{2}) point
			\path [fill, semitransparent] (1.2, -1.4) circle (0.05);
			\node [below right] at (1.2, -1.4) {$1.2 - 1.4i$};
			\draw [gray,thick] (0, 0) -- (1.2, -1.4);
			\draw [gray,thick,domain=0:-50] plot ({cos(\x) / 2.2}, {sin(\x) / 2.2});

			% (-1, -1) point
			\path [fill, semitransparent] (-1, -1) circle (0.05);
			\node [below left] at (-1, -1) {$-1 - i$};
			\draw [gray,thick] (0, -1) -- (-1, -1);
			\draw [gray,thick] (-1, 0) -- (-1, -1);

			% (-1.7 2.3) point
			\path [fill, semitransparent] (-1.2, 2.3) circle (0.05);
			\node [above left] at (-1.2, 2.3) {$-1.2 + 2.3i$};
			\draw [gray,thick] (0, 0) -- (-1.2, 2.3);
			\draw [gray,thick,domain=0:117] plot ({cos(\x) / 1.6}, {sin(\x) / 1.6});

			% Axes
			\draw [->] (-3, 0) -- (3, 0) node [above left]  {$\Re(z)$};
			\draw [->] (0, -3) -- (0, 3) node [below right] {$\Im(z)$};

			% Axes label
			\foreach \n in {-2,-1,1,2}{%
				\draw (\n, -3pt) -- (\n, 3pt) node [above] {$\n$};
				\draw (-3pt, \n) -- (3pt, \n) node [right] {$\n i$};
			}
		\end{scope}
\end{tikzpicture}\]

\end{paracol}

Ces parties peuvent également être extraites avec les fonctions suivantes :

\begin{paracol}{2}
$$\function{\Re}{\C}{\C}$$
$$\functiondef{(a, b)}{a}$$
\switchcolumn
$$\function{\Im}{\C}{\C}$$
$$\functiondef{(a, b)}{b}$$
\end{paracol}

\begin{theorem_sq}
	$\C \isomorphic \R^2$
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Posons la fonction $g$ suivante :
	$$\function{g}{\C}{\R^2}$$
	$$\functiondef{z}{(\Re(z), \Im(z))}$$
	On peut en conclure en utilisant la fonction $f$ précédente les propositions suivantes :
	$$f \composes g \composes \Identity_\C \equivalence \forall z \in \C, f(g(z)) = f((a, b)) = z$$
	$$g \composes f \composes \Identity_{\R \cartesianProduct \R} \equivalence \forall (a, b) \in \R^2, g(f((a, b))) = g(z) = (a, b)$$
\end{proof}

Nous pouvons ensuite définir les opérations $(+)$ et $(\cdot)$ prenant les propriétés du corps analogue des réels

\begin{paracol}{2}
$$\function{(+)}{\C^2}{\C}$$
$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(a + c) + i(b + d)}$$
\switchcolumn
$$\function{(\cdot)}{C^2}{\C}$$
$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(ac - bd) + i(ad + bc)}$$
\end{paracol}

\begin{theorem_sq}
	$(\C, +, \cdot)$ est un corps commutatif \ref{definition:commutative_field}.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $(\C, +, \cdot)$, les propriétés sont directement héritées de $\R^2$.
	% TODO Add proof details
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	$\C$ est un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} de dimension \ref{definition:vector_space_dimension} 1.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Les propriétés sont directement héritées de l'espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $\R^2$.
	% TODO Add proof details
\end{proof}

\langsection{Fonctions holomorphes}{Holomorphic functions}

Avant de définir les fonctions holomorphes, il est nécessaire de faire un pas de côté en étudiant les formes $\C$-linéaires \ref{definition:linear_map}.
\begin{theorem_sq}
	Les formes $\C$-linéaires sont de la forme
	$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$
\end{theorem_sq}