\langchapter{Théorie des nombres}{Number theory}
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\langsection{Construction des entiers naturels $(\N)$}{Construction of natural numbers $(\N)$}
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\langsubsection{Axiomes de Peano}{Peano's Axioms}
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\langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
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Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'

$0 := \emptyset$

$1 := \{0\} = \{\emptyset\}$

$2 := \{1, 0\} = \{\{\}\}$

\subsection{Construction de ??}
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Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'

$0 := \emptyset$

Using recursion, we can define all the following integers.

$1 := \{\emptyset\}$

$2 := \{\{\emptyset\}\}$

$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$

Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}

\begin{definition_sq} \label{definition:countability}
Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Infini}{Infinity}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:smallest_infity}
L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
\end{theorem_sq}

De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.

\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}

La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme

\medskip

$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$

Ou

$\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$

$\functiondef{n}{2n}$

\medskip

On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :

$\function{g}{\N,\N}{\N_c}$

$\functiondef{n,c}{cn}$

\medskip

Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".

\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
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\begin{itemize} \label{theorem:totally_ordered_natural_numbers}
	\item{L'ensemble est totalement ordonnée : $\forall n \in \N, \exists k \suchas k = n + 1 \land n < k$}
	\item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{pair} \\ 2k+1 & \text{Impair} \end{cases}$}
\end{itemize}

\begin{theorem_sq}
Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
\end{theorem_sq}

\langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
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$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection

\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}

De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.

\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_integers}
L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}

\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}

\begin{center}
	\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
\end{center}

$\function{f}{\Z}{\N}$

$\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$

\medskip

\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
%TODO Complete section

$p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$

$PGCD(p,q) := 1$

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection

$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$

\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection

$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$

$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$

$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$

\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}

De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.

\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_rationals}
L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}

\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}

\begin{center}
	\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
\end{center}

$P_i$ sont des nombres premiers.

$\function{f}{\Q}{\N}$

$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$

\medskip

\langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
%TODO Complete section

\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}

%\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
\citeannexes{project_vae}

\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
%TODO Complete subsection

\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
%TODO Complete section

\citeannexes{wikipedia_complex_numbers}

$\C = (a,b) \in R^2, a + ib ~= \R^2 $

$i^2 = -1$

\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
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\begin{tabular}{|c||c|c|}
	\hline
	& 1 & i \\
	\hline
	\hline
	1 & 1 & i \\
	\hline
	i & i & -1 \\
	\hline
\end{tabular}

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection

$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$

\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique.

\subsubsection{Ordre lexicographique}

$\forall((a,b),(c,d)) \in \C^2, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
	a < c & \implies a + ib < c + id \\
	\otherwise & \begin{cases}
		b < d & \implies a + ib < c + id \\
		\otherwise & \implies a + ib > c + id
	\end{cases}
\end{cases}$

\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}

\citeannexes{wikipedia_quaternion}

\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
%TODO Complete subsection

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
	\hline
	& 1 & i & j & k \\
	\hline
	\hline
	1 & 1 & i & j & k \\
	\hline
	i & i & -1 & k & -j \\
	\hline
	j & j & -k & -1 & i \\
	\hline
	k & k & j & -i & -1 \\
	\hline
\end{tabular}

\section{Construction des octonions $(\Ot)$}

\citeannexes{wikipedia_octonion}

\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
%TODO Complete subsection

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
	\hline
	$e_i/e_j $ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
	\hline
	\hline
	$e_0$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
	\hline
	$e_1$ & $e_1$ & $-e_0$ & $e_3$ & $-e_2$ & $e_5$ & $-e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ \\
	\hline
	$e_2$ & $e_2$ & $-e_3$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_6$ & $e_7$ & $-e_4$ & $-e_5$ \\
	\hline
	$e_3$ & $e_3$ & $e_2$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $-e_4$ \\
	\hline
	$e_4$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_6$ & $-e_7$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ \\
	\hline
	$e_5$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $-e_3$ & $e_2$ \\
	\hline
	$e_6$ & $e_6$ & $e_7$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_2$ & $e_3$ & $-e_0$ & $-e_1$ \\
	\hline
	$e_7$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_3$ & $-e_2$ & $e_1$ & $-e_0$ \\
	\hline
\end{tabular}

\smallskip

$e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\delta_{ij}e_0 + \epsilon_{ijk}e_k, & \text{otherwise}\end{cases}$

\smallskip

Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.

\section{Construction des sedenions $(\Se)$}

\citeannexes{wikipedia_sedenion}

\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
%TODO Complete subsection

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
	& i & j & k \\
	\hline
	i & -1 & k & -j \\
	\hline
	j & -k & -1 & i \\
	\hline
	k & j & -i & -1 \\
	\hline
\end{tabular}


\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
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\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
\end{definition_sq}

Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.

\langsubsection{Infinité}{Infinity}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{theorem_sq}

\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}

\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}

$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$

$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$

$\forall p \in \Pn, \lnot(\omega \div p)$

$\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn$

$\rightarrow\leftarrow$

$\implies |P| = \infty$

Il existe une infinité de nombre premiers.