\langchapter{Topologie}{Topology}
%TODO Complete chapter

La topologie traite de l'étude des applications continues.

\langsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}

Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.

\langsubsection{Normes}{Norms}

Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés.

\smallskip

$\function{\norm{.}}{E}{\R}$

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

\begin{itemize}
	\item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$}
	\item{$\norm{x} \equivalance x = 0$}
	\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = |\lambda|\norm{x}$}
	\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
\end{itemize}

\smallskip

On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.

\langsubsubsection{Exemples}{Examples}

$n \in \N^*, E = \R^n$

\begin{itemize}
	\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n |x_i|$}
	\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n x^2_i}$}
	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{|x_0|, \dots, |x_n|\}$}
	\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 |P(x)|dx$}
	\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
	\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
\end{itemize}

\subsubsection{Équivalence des normes}

Deux normes $\norm{.}_1$ et $\norm{.}_2$ sont dites \textbf{équivalentes} si $\exists \alpha, \beta \in \R^*_+ \suchas \forall x \in E, \alpha\norm{x}_1 \le \norm{x}_2 \le \beta\norm{x}_1$

\smallskip

Note : On remarque que la relation \textit{être équivalentes} est bien une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes sur $E$.

\langsubsection{Boules}{Balls}

Soit $x \in E$ et $r \in \R^*_+$

\subsubsection{Ouverte}

La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r) = \{ y \in E, \norm{x - y} < r\}$.

\smallskip

Note : la seule différence avec une boule fermée est la non inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.

\subsubsection{Fermée}

La \textbf{boule fermée} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r) = \{ y \in E, \norm{x - y} \le r\}$.

\smallskip

Note : la seule différence avec une boule fermée est l'inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.

\subsubsection{Voisinage}

On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\epsilon)$ pour un certain $\epsilon \in \R^*_+$

\langsection{Limite}{Limit}

Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou a une application.

\subsection{Suite}

Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$.

On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim(x_n) = l$ ou $x_n \rightarrow l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$

\subsection{Application}

Soit $(E, \norm{.}_E)$, $(F, \norm{.}_F)$, $A \subset E$, $\function{f}{A}{F}$, $t,x \in A$ et $l \in F$.

On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim_{t\rightarrow x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$



\section{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}

\subsection{Exercice 1}
Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.

\subsubsection{1.a} \label{sec:ex1a}
Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
\\

Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$

$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
\\

Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que

$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
\\

Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$

$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$

$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$

$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$

$\Rightarrow (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$.

Par unicité de la limite nous pouvons conclure.

\begin{theorem_sq} \label{theorem_1}
Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
\end{theorem_sq}

\subsubsection{1.b} \label{sec:ex1b}
Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
\\

Sachant que $(x_n) \ in E$ converge vers $l \in E$ \&\& $\epsilon > 0$.

$\Leftrightarrow \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.

$\Leftrightarrow (x_n)$ est fermée.

\begin{theorem_sq} \label{theorem_2}
Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \|.\|)$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
\end{theorem_sq}

\subsection{Exercice 2}
Soit $(E, \|.\|)$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.

Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.

\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \|.\|)$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
\end{definition_sq}

\begin{lemme_sq}
$K$ est compact $\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation.
\end{lemme_sq}

$K$ est compact
\\

Soit $\epsilon > 0$ \&\& $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$

$\Rightarrow \exists l \in K$ tel que $\lim_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$

$\Rightarrow \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$

$\Rightarrow l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$

$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation

\begin{lemme_sq}
$K$ possède un point d'accumulation. $\Rightarrow K$ est compact.
\end{lemme_sq}

Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$

\paragraph{Si $X$ est fini}

$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.

$\Rightarrow X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$

$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation

\paragraph{Si $X$ est infini}

$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$

En fixant $l \in X$,

$\Rightarrow$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$

$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation

\begin{theorem_sq}
$K \subset (E, \|.\|)$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \Leftrightarrow K$ est compact.
\end{theorem_sq}

\subsection{Exercice 3}
Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.

Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$

Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée

$\Rightarrow$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$

$\Rightarrow$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.

\begin{theorem_sq}
Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
\end{theorem_sq}

\subsection{Exercice 4}
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si

$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \|x_{n_1} - x_{n_2} \| \le \epsilon$$

Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
\\

\begin{lemme_sq}
Si une suite est de Cauchy $\Rightarrow$ la suite est convergente.
\end{lemme_sq}

En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.

$\Rightarrow \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$

$\Rightarrow \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N$ \&\& $j \le N$, $\|x_i - x_j\| > \epsilon$

$\Rightarrow$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.

\begin{lemme_sq}
Si une suite est convergente $\Rightarrow$ la suite est de Cauchy.
\end{lemme_sq}

Soit \suite{x} $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$

$\Rightarrow \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$

$\Rightarrow \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ \&\& $x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$

$\Rightarrow \|x_i - x_j\| < \epsilon$

$\Rightarrow (x_n)$ est une suite de Cauchy.

\begin{theorem_sq}
Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\Leftrightarrow$ $(x_n)$ est convergente.
\end{theorem_sq}
