\langchapter{Logique}{Logic} %TODO Complete chapter \lang{La logique classique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des propositions (typiquement notées $p$ ou $q$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).}% {Classical logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.} \langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle} \label{definition:law_excluding_middle} $\true \equivalence \lnot \false$ $\false \equivalence \lnot \true$ $\lnot\lnot p \implies p$ $p \lor \lnot p$ \langsection{Relation Binaires}{Binary relations} %TODO Complete section \langsubsection{Réflexion}{Reflexivity} \label{definition:reflexivity} % TODO Complete subsection Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E$, $a \Rel a$. \langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity} % TODO Complete subsection Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b \land b \Rel c \equivalence a \Rel c$. \langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity} % TODO Complete subsection Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \equivalence a \Rel b \Rel c$. \langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity} % TODO Complete subsection Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b = b \Rel a$. \langsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete section \langsubsection{NON $(\lnot)$}{NOT $(\lnot)$} % TODO Complete subsection $p \equivalence \lnot \lnot p$ \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} \begin{tabular}{|c|c|} \hline $p$ & $\lnot p$ \\ \hline \false & \true \\ \hline \true & \false \\ \hline \end{tabular} \langsubsection{ET $(\land)$}{AND $(\land)$} %TODO Complete subsection $p \land q \equivalence \lnot p \lor \lnot q$ \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p \land q$ \\ \hline \false & \false & \false \\ \hline \true & \false & \false \\ \hline \false & \true & \false \\ \hline \true & \true & \true \\ \hline \end{tabular} \langsubsection{OU $(\lor)$}{OR $(\lor)$} % TODO Complete subsection $p \lor q \equivalence \lnot p \land \lnot q$ \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p \lor q$ \\ \hline \false & \false & \false \\ \hline \true & \false & \true \\ \hline \false & \true & \true \\ \hline \true & \true & \true \\ \hline \end{tabular} \subsection{Implication $(\implies)$} %TODO Complete subsection \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p \implies q$ \\ \hline \false & \false & \true \\ \hline \true & \false & \false \\ \hline \false & \true & \true \\ \hline \true & \true & \true \\ \hline \end{tabular} \lang{Contraposée}{Contraposition} : $\lnot q \implies \lnot p$ \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p \implies q$ \\ \hline \false & \false & \true \\ \hline \true & \false & \false \\ \hline \false & \true & \true \\ \hline \true & \true & \true \\ \hline \end{tabular} \langsubsection{Équivalence $(\equivalence)$}{Equivalence $(\equivalence)$} % TODO Complete subsection \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p \equivalence q$ \\ \hline \false & \false & \true \\ \hline \true & \false & \false \\ \hline \false & \true & \false \\ \hline \true & \true & \true \\ \hline \end{tabular} \langsubsection{OU exclusif / XOR $(\oplus)$}{Exclusive OR / XOR $(\oplus)$} %TODO Complete subsection $p \oplus q \equivalence (p \lor q) \land \lnot (p \land q)$ \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table} \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p \oplus q$ \\ \hline \false & \false & \false \\ \hline \true & \false & \true \\ \hline \false & \true & \true \\ \hline \true & \true & \false \\ \hline \end{tabular}