\langchapter{Suites}{Sequence}

\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est notée \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être définie de plusieurs manières :}%
{A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :}

\begin{itemize}
	\item{\lang{Par énumération}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
	\item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$}
	\item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$}
\end{itemize}

\begin{definition_sq}
	\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{arithmétique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
	{An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.}
\end{definition_sq}

\textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire.

\begin{definition_sq}
	\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
\end{definition_sq}

\textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle.

\begin{definition_sq}
	\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n +  b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
	{A geometric sequence is defined by $$ }
\end{definition_sq}

\langsection{Limite de suite}{Limit of sequences}

\begin{definition_sq} \label{definition:cauchy_sequence}
	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{suite de Cauchy} si
	$$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$
\end{definition_sq}

\lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}

\begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence}
	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si
	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$
	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$
	Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
\end{definition_sq}

\textit{Remarque} : Toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.

\begin{proof}
	Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$.
	\suite{u} est une suite de Cauchy, mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite à au moins un point d'adhérence

	Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$.

	Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$.

	Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$
	mais comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence.

	Il ne peux donc pas y avoir deux points différents adhérence dans une suite de Cauchy.
\end{proof}

\begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}
	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si
	$$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$
	Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
\end{definition_sq}

Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.

\begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence}
	Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si
	$$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$
\end{definition_sq}

Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.

\begin{definition_sq}
	Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\cartesianProduct)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \cartesianProduct u_{n + 1}$.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Critère de convergence}{Convergence criteria}

Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$

Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} < 1$ (strictement décroissante) et $\forall n \in \N, u_n > 0$ alors $u_n$ converge vers 0.

Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1$ (strictement croissante) et $\forall n \in \N, u_n < 0$ alors $u_n$ converge vers 0.

Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est trivialement convergente en $u_{n_0}$.

\langsection{Séries}{Series}

Une série est la somme infinie d'une suite donné \suite{u} et est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$

Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commençant à un rang $N \in \N$ peut-être représenter par la forme suivante :

$\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$

\begin{proof}
Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commençant à un rang $N \in \N$
$$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$
Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$
$$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$
$$\implies l = \frac{ar^N}{1 - r}$$
\end{proof}

Corollaire : Pour $N = 0$ et $u_0 = 1$ qui la forme la plus commune $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$

\langsubsection{Représentation en séries}{Power series expansion}

Soit $x \in ]-1, 1], \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{x^n}{n}$

\begin{proof}
	Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-r)^n = \frac{1}{1 + r}$
	$$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-x)^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 + x} dx$$
	Par le théorème de convergence monotone
	$$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r (-x)^n dx = \ln(1 + r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = \ln(1 + r)$$
	Soit $n := n - 1$
	$$\implies \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{r^n}{n} = \ln(1 + r)$$
\end{proof}

$\ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$

\begin{proof}
	Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$
	$$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} x^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 - x} dx$$
	Par le théorème de convergence monotone
	$$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r x^n dx = -\ln(1 - r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = -\ln(1 - r)$$
	Soit $n := n - 1$
	$$\implies -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{r^n}{n} = \ln(1 - r)$$
\end{proof}

\langsubsection{Règle de d'Alembert}{Alembert's criteria}

Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert}

\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert}

Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :

\begin{itemize}
	\item{Si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
	\item{Si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
	\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\end{itemize}

\end{theorem_sq}

\langsubsection{Règle de Cauchy}{Chauchy's criteria}

Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy}

\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_cauchy}

Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors :

\begin{itemize}
	\item{Si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
	\item{Si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
	\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\end{itemize}

\end{theorem_sq}

\langsubsection{Lemme de Cesàro}{Cesàro's lemma}

\begin{theorem_sq} \label{lemme:cesaro}
	Soit \suite{a} une suite de nombres complexes convergeant vers une limite $l$. Alors la suite \suite{u} défini comme $u_n := \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k$ converge vers $l$.
\end{theorem_sq}

Lorsqu'une suite est convergente, elle est convergente au sens de Cesàro.

Il existe des exemples de suites qui ne sont ni convergentes, ni convergentes au sens de Cesàro.

\langsubsection{Transformation et critère d'Abel}{Abel's transformation and criteria}

\langsubsection{Critère d'Abel}{Abel's criteria}

Source : \citeannexes{bibmaths_transformation_critere_abel}

\begin{theorem_sq} \label{critere:abel}

Soit \suite{a} et \suite{b} deux suites de nombres complexes vérifiant les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
	\item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.}
	\item{$\exists! l \in \C, \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} \abs{b_k - b_{k + 1}} \converges l$.}
	\item{$(b_n) \converges 0$.}
\end{itemize}

$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.

\end{theorem_sq}

\langsubsection{Théorème d'Abel}{Abel's theorem}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:abel}

Soit $\function{f}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^1$, et $\function{g}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^0$ sur $[a, b[$ vérifiant

\begin{itemize}
	\item{$f$ est décroissante.}
	\item{$\lim\limits_{x \to b}f(x) = 0$.}
	\item{$\exists M > 0$ tel que, $\forall x \in [a, b[, \abs{\int\limits_a^x g(t)dt} \ge M$.}
\end{itemize}

Alors $\int\limits_a^b f(t)g(t)dt$ converge.

\end{theorem_sq}

\langsubsection{Critère de Dirichlet}{Dirichlet's criteria}

Source : \citeannexes{bibmaths_critere_dirichlet}

\begin{theorem_sq} \label{critere:dirichlet}

Soit \suite{a} une suite de nombres complexes et \suite{b} une suite de nombres réels vérifiant les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
	\item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.}
	\item{$(b_n)$ est monotone.}
	\item{$(b_n) \converges 0$.}
\end{itemize}

$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.

\end{theorem_sq}

\langsubsection{Séries alternées}{Alternating Series}

\begin{definition_sq}
	Une série de terme général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$.
\end{definition_sq}

Source : \citeannexes{maths_adultes_series_numerique_1}

\begin{theorem_sq} \label{critere:series_alternees}

Soit \suite{a} $\in \R$ une suite monotone, et tendant vers $0 \implies \sum\limits_{n \in \N} (-1)^n a_n$ converge.

De plus, $S_n := \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k a_k$, la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n := \sum\limits_{k = n + 1}^{+\infty} (-1)^k a_k$, le reste d'ordre $n$.

$\implies \forall n \in \N, S_{2n + 1} \le S \le S_{2n}, \abs{R_n} \le a_{n + 1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n + 1}$.

\end{theorem_sq}

Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est converge $\equivalence$ si $\alpha > 0$

\section{Zeta}

\begin{definition_sq} \label{definition:zeta_function}
The Riemman's Zeta function is defined as follows

$$\function{\zeta}{\R}{\R_+}$$
$$\functiondef{s}{\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}}$$

\end{definition_sq}

The Zeta function as several notable identities.

With the Gamma function $\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^{s - 1}}{e^x - 1}dx$

\begin{proof}
	Let $s \in \R$, and knowing that
	$$\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} x^{s - 1}e^{-x} dx$$
	Let do a changement of variable such that $n \in \N^*, x = nt \implies dx = n dt$
	$$\implies \Gamma(s) = \int\limits_{u = 0}^{u = \infty} nt^{s - 1} e^{-nt} ndt = \int\limits_{0}^{\infty} n^{s}t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$
	$$\implies \forall n \in \N^*, \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$
	$$\implies \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \Gamma(s) \zeta(s)$$
	Par le théoréme de convergence monotone
	$$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n} dt$$
	Pour un $t$ donné, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n}$ est une série géométrique
	$$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t} e^{t}}{(1 - e^{-t})e^{t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{1}{e^{t} - 1} dt$$
	$$\implies \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{t^{s - 1}}{e^{t} - 1} dt$$
\end{proof}

With prime numbers, $\Pn$ is the set of prime numbers
$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

We can also write this equality as a double sum
$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$

\begin{proof}
Let $s \in \R \suchas s > 1$ and using the Euler product $\zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$
$$\implies \ln \composes \zeta(s) = \ln \left(\prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \sum\limits_{p \in \Pn} -\ln(1 - p^{-s})$$
Using the following power series $x \in \R \land -1 \le x < 1, \ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$
$$\ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{p^{-sm}}{m} = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$
\end{proof}

\section*{Révisions}

%TODO Remainders to change location

La somme converge $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a$ quand $a < -1$ (critère de Riemann).

$x \in \R \backslash \pi \backslash \Z, \sum\limits_{k=1}^N e^{2ikx} = \frac{e^{2i(N+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} - 1$

Soit $a < b \in \R$ et soit $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'integrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge des que

\begin{itemize}
	\item{$f$ se prolonge en une fonction continue en $a$}
	\item{$\lim\limits_{t \to a} (t - a)^{\frac{1}{2}} f(t) = 0$}
	\item{$\int\limits_a^b \abs{f(t)}dt < +\infty$}
\end{itemize}

Une série est soit convergente ou divergente.

Les séries suivantes convergent simplement sur $[0, 1]$ :

\begin{itemize}
	\item{$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$}
	\item{$f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}$}
	\item{$f_n(x) = x^n$}
\end{itemize}

La série de fonction $f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$ est une série uniformément convergente sur $[0, 1]$.

$\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge simplement, uniformément et normalement sur $\R$

Pour montrer qu'une série de fonctions $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} f_n(x)$ est dérivable sur un intervalle $I$, on doit impérativement montrer que

\begin{itemize}
	\item{chacune des fonctions $f_n$ est dériable sur $I$}
	\item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tout compact de $I$}
	\item{la série $\sum\limits_{n \ge 1} f_n(x)$ converge pour au moins un $x \in I$}
\end{itemize}
