\langchapter{Théorie des nombres}{Number theory}
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\langsection{Construction des entiers naturels $(\N)$}{Construction of natural numbers $(\N)$}
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\langsubsection{Axiomes de Peano}{Peano's Axioms}
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\langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
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Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'

$$0 := \emptyset$$
$$n+1 := \{n + 1\} \cup \Union_{k \in \N} n_k$$
$$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$$

\subsection{Construction de ??}
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Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'

$0 := \emptyset$

Using recursion, we can define all the following integers.

$n + 1 := \{n\}$

$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$

Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate and makes writing some proofs less verbose, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}

\begin{definition_sq} \label{definition:countability}
Un ensemble $E$ est dit \textbf{dénombrable} si, et seulement si, il existe une application injective \ref{definition:injective} de $E$ dans une partie de $\N$.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Infini}{Infinity}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:smallest_infity}
L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
\end{theorem_sq}

De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.

\begin{proof}

La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme

$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$

Ou

$\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$

$\functiondef{n}{2n}$

On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :

$\function{g}{\N,\N}{\N_c}$

$\functiondef{n,c}{cn}$

\medskip

Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".

\end{proof}

\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
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\begin{itemize} \label{theorem:totally_ordered_natural_numbers}
	\item{L'ensemble est totalement ordonnée : $\forall n \in \N, \exists k \suchas k = n + 1 \land n < k$}
	\item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{paire} \\ 2k+1 & \text{Impaire} \end{cases}$}
\end{itemize}

\begin{theorem_sq}
Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
\end{theorem_sq}

\begin{theorem_sq}
$\sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 + \cdots + n =  \frac{n(n+1)}{2}$
\end{theorem_sq}

\langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
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$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \in \N^*} -n$

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}

De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.

\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers}
L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}

On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant

\begin{center}
	\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
\end{center}

Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective

$\function{f}{\Z}{\N}$

$\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$

\end{proof}

\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
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$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$

$\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$

\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsubsection{Égalité}{Equality}


$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} := \frac{pb + aq}{qb}$

$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} := \frac{pa}{qb}$

$\implies \forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$

$\implies \forall (p,q) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ L'opérateur est réflective \ref{definition:reflexivity}

L'opérateur est associative \ref{definition:associativity}

$\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$

\begin{proof}

Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$

$\implies pn = qm \land mb=na$

$\implies pnmb = qmna$

$\implies pmb = qma$

if $m \neq 0$

$\implies pb = qa$

$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$

otherwise

$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0$

$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$

By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$

\end{proof}

\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}

De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.

\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_rationals}
L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}

On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$

\begin{center}
	\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
\end{center}

Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable.

Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective

$P_i$ sont des nombres premiers.

$\function{f}{\Q}{\N}$

$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$

Hors, toutes fonctions injective dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable.

\end{proof}

\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
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Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$

\begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals}
Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que

$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$

$\equivalence x \in \Q$

\end{theorem_sq}

\begin{proof}

\impliespart

Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que

$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$

$\function{S}{\R}{\Z}$

$Sign(x) = \begin{cases}-1 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0\end{cases}$

Posons $z \in \Z$ et $r \in \R$ tel que $z = Sign(x)\floor{\abs{x}}$ et $r = \fractional{x}$ ainsi que $x = z + r$.

$r = 0, \overline{d_1d_2 \cdots d_n}$

$\implies 10^nr = d_1d_2 \cdots d_n, \overline{d_1d_2 \dots d_n}$

$\implies (10^n - 1)r = d_1d_2 \cdots d_n$

$\implies r = \frac{d_1d_2 \cdots d_n}{10^n - 1}$

$\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$

\Limpliespart

Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in Z, q \in N^*, PGCD(p,q) = 1, x = \frac{p}{q}$

Lors d'une longue division on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \ge r < q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui est un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créer une séquence de décimales qui se répétera.
\end{proof}

\langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
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\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}

Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}

\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
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\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
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Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}

$\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $

$i^2 = -1$

\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
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\begin{tabular}{|c||c|c|}
	\hline
	$\cartesianProduct$ & 1 & i \\
	\hline
	\hline
	1 & 1 & i \\
	\hline
	i & i & -1 \\
	\hline
\end{tabular}

\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$

\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique.

\subsubsection{Ordre lexicographique}

$\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
	a < c & \implies a + ib < c + id \\
	\otherwise & \begin{cases}
		b < d & \implies a + ib < c + id \\
		\otherwise & \implies a + ib > c + id
	\end{cases}
\end{cases}$

\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}

Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}

\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
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\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
	\hline
	$\cartesianProduct$ & 1 & i & j & k \\
	\hline
	\hline
	1 & 1 & i & j & k \\
	\hline
	i & i & -1 & k & -j \\
	\hline
	j & j & -k & -1 & i \\
	\hline
	k & k & j & -i & -1 \\
	\hline
\end{tabular}

\section{Construction des octonions $(\Ot)$}

Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}

\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
%TODO Complete subsection

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
	\hline
	$\cartesianProduct$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
	\hline
	\hline
	$e_0$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
	\hline
	$e_1$ & $e_1$ & $-e_0$ & $e_3$ & $-e_2$ & $e_5$ & $-e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ \\
	\hline
	$e_2$ & $e_2$ & $-e_3$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_6$ & $e_7$ & $-e_4$ & $-e_5$ \\
	\hline
	$e_3$ & $e_3$ & $e_2$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $-e_4$ \\
	\hline
	$e_4$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_6$ & $-e_7$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ \\
	\hline
	$e_5$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $-e_3$ & $e_2$ \\
	\hline
	$e_6$ & $e_6$ & $e_7$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_2$ & $e_3$ & $-e_0$ & $-e_1$ \\
	\hline
	$e_7$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_3$ & $-e_2$ & $e_1$ & $-e_0$ \\
	\hline
\end{tabular}

\smallskip

$e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\delta_{ij}e_0 + \epsilon_{ijk}e_k, & \text{otherwise}\end{cases}$

\smallskip

Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.

\section{Construction des sedenions $(\Se)$}

Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}

\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
%TODO Complete subsection

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
	$\cartesianProduct$ & i & j & k \\
	\hline
	i & -1 & k & -j \\
	\hline
	j & -k & -1 & i \\
	\hline
	k & j & -i & -1 \\
	\hline
\end{tabular}


\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
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\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
\end{definition_sq}

Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.

\langsubsection{Infinité}{Infinity}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}

\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}

Let $\Pn := \{p | p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$

$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$

$\implies (\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn) \implies \bot$

$\implies \card{P} = \infty$

\end{proof}

\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality}

\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
\end{theorem_sq}

The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.

\begin{proof}

By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$

$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$

$\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$

$\implies b^2p = a^2$

$\implies p \divides a$

Let $c \in \N^*$, $a = pc$

$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$

$\implies b^2 = pc^2$

$\implies p \divides b$

$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \implies \bot$

$\implies \sqrt{p} \notin \Q$

\end{proof}
