\langchapter{Algèbre}{Algebra}
%TODO Complete chapter

\section{Structures}
%TODO Complete section

\subsection{Magma} \label{definition:magma}

Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\star)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a \star b \in S$.

\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}

Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$.

\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}

Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.

\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}

Soit un monoïd \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.

\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}

Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.

\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}

Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F,+,\cartesianProduct)$.

\begin{itemize}
	\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
	\item{$(F\backslash\{0_e\},\cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field}

Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.

\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
%TODO Complete subsection

\section{Matrices}
%TODO Complete section

Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.

\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
\end{definition_sq}

\subsection{Trace}
%TODO Complete subsection

$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum\limits_{k=0}^na_{kk}$

$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$

$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$

\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
%TODO Complete subsection

\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}

Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$

$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$

\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
%TODO Complete subsection

\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
%%TODO Complete subsubsection

\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
%%TODO Complete subsection

$\function{D}{\mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}(\R)}{R}$

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
%%TODO Complete subsubsection

$\forall M \in \mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}$
\begin{itemize}
	\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
%TODO Complete subsubsection

$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
%TODO Complete subsubsection

\subsection{Inverse}
%TODO Complete subsection

$det(M) \neq 0$

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
%TODO Complete subsection

\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
%TODO Complete subsection

$det(M) \in \{-1,1\}$

\subsection{Triangulation}
%TODO Complete subsection

$a \in Tr_n$

\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
%TODO Complete section

\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
%TODO Complete subsubsection

\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
%TODO Complete subsection

$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
%TODO Complete subsection

$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
%TODO Complete subsubsection

\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
%TODO Complete subsection

$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
\Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
%TODO Complete subsection

$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} & \frac{a_4}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_2 & \frac{a_3}{2} \\\frac{a_3}{2} & \frac{a_4}{2} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
\Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsection{Cas général}{General case}
%TODO Complete subsection

\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
%TODO Complete subsubsection

$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
%TODO Complete subsubsection

$X \in \mathcal{M}_{1,n}$

$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$

$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
%TODO Complete section

Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$

\begin{itemize}
	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
\end{itemize}

\bigskip
Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$

\begin{itemize}
	\item{Unital en $*$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)=(\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}

\begin{definition_sq}
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
\end{definition_sq}

\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}

\begin{definition_sq}
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
\end{definition_sq}

\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}

\begin{definition_sq}
Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
\end{definition_sq}

\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
%TODO Complete subsection

\langsubsubsection{Rang}{Rank} \label{definition:vector_space_rank}
%TODO Complete subsubsection

\begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank}
	Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$.
	$\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = rg(\phi)$
\end{theorem_sq}

\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
%TODO Complete subsection

Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
	\item{$F \ne \emptyset$}
	\item{$0_E \in F$}
	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
\end{itemize}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}

Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.

\impliespart

$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.

\Limpliespart

$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$

Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$

$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$

B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$

$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$

$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$

By a similar argument $y \notin G \setminus F$

$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$

$\implies F \subset G \lor  G \subset F$

\end{proof}

\langsubsection{Application linéaire}{Linear maps} \label{definition:linearity}

Une application linéaire est un morphisme \ref{definition:morphism}
appliqué à la catégorie \ref{definition:category}
des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
\begin{itemize}
	\item{Additivity: $\forall(x,y) \in \mathbb{K}, f(x+y)=f(x)+f(y)$}
	\item{Homogeneity: $\forall(a,x) \in \mathbb{K}, f(ax)=af(x)$}
	\item{Or (a faster way): $\forall(a,x,y) \in \mathbb{K}, f(x + ay) = f(x) + af(y)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form} \label{definition:bilinear_form}

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :

$u,v,w \in E, a \in K$

\begin{itemize}
	\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
	\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
	\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}

\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}

\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants :

\begin{itemize}
	\item{Symétrie: $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
	\item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
\end{itemize}

\langsubsection{Norme réel}{Real norm}

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :

\begin{itemize}
	\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
	\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
	\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
\end{itemize}

\langsubsection{Norme complexe}{Complex norm}

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants :

\begin{itemize}
	\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
	\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
	\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
\end{itemize}

\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}

A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien.

\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}

Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie.