\langchapter{Logique}{Logic}
%TODO Complete chapter

\lang{La logique classique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des propositions (typiquement notées $p$ ou $q$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).}%
	{Classical logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.}

\langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle} \label{definition:law_excluding_middle}

$\true \equivalence \lnot \false$

$\false \equivalence \lnot \true$

$\lnot\lnot p \implies p$

$p \lor \lnot p$

\langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
%TODO Complete section

\langsubsection{Réflexion}{Reflexivity} \label{definition:reflexivity}
% TODO Complete subsection

Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E$, $a \Rel a$.

\langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity}
% TODO Complete subsection

Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b \land b \Rel c \equivalence a \Rel c$.

\langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity}
% TODO Complete subsection

Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.

\langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity}
% TODO Complete subsection

Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b = b \Rel a$.

\langsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete section

\langsubsection{NON $(\lnot)$}{NOT $(\lnot)$}
% TODO Complete subsection

$p \equivalence \lnot \lnot p$

\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}

\begin{tabular}{|c|c|}
	\hline
	$p$ & $\lnot p$ \\
	\hline
	\false & \true \\
	\hline
	\true & \false \\
	\hline
\end{tabular}

\langsubsection{ET $(\land)$}{AND $(\land)$}
%TODO Complete subsection

$p \land q \equivalence \lnot p \lor \lnot q$

\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}

\begin{tabular}{|c|c||c|}
	\hline
	$p$ & $q$ & $p \land q$ \\
	\hline
	\false & \false & \false \\
	\hline
	\true & \false & \false \\
	\hline
	\false & \true & \false \\
	\hline
	\true & \true & \true \\
	\hline
\end{tabular}

\langsubsection{OU $(\lor)$}{OR $(\lor)$}
% TODO Complete subsection

$p \lor q \equivalence \lnot p \land \lnot q$

\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}

\begin{tabular}{|c|c||c|}
	\hline
	$p$ & $q$ & $p \lor q$ \\
	\hline
	\false & \false & \false \\
	\hline
	\true & \false & \true \\
	\hline
	\false & \true & \true \\
	\hline
	\true & \true & \true \\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Implication $(\implies)$}
%TODO Complete subsection

\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}

\begin{tabular}{|c|c||c|}
	\hline
	$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
	\hline
	\false & \false & \true \\
	\hline
	\true & \false & \false \\
	\hline
	\false & \true & \true \\
	\hline
	\true & \true & \true \\
	\hline
\end{tabular}

\lang{Contraposée}{Contraposition} : $\lnot q \implies \lnot p$

\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}

\begin{tabular}{|c|c||c|}
	\hline
	$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
	\hline
	\false & \false & \true \\
	\hline
	\true & \false & \false \\
	\hline
	\false & \true & \true \\
	\hline
	\true & \true & \true \\
	\hline
\end{tabular}

\langsubsection{Équivalence $(\equivalence)$}{Equivalence $(\equivalence)$}
% TODO Complete subsection

\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}

\begin{tabular}{|c|c||c|}
	\hline
	$p$ & $q$ & $p \equivalence q$ \\
	\hline
	\false & \false & \true \\
	\hline
	\true & \false & \false \\
	\hline
	\false & \true & \false \\
	\hline
	\true & \true & \true \\
	\hline
\end{tabular}

\langsubsection{OU exclusif / XOR $(\oplus)$}{Exclusive OR / XOR $(\oplus)$}
%TODO Complete subsection

$p \oplus q \equivalence (p \lor q) \land \lnot (p \land q)$

\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}

\begin{tabular}{|c|c||c|}
	\hline
	$p$ & $q$ & $p \oplus q$ \\
	\hline
	\false & \false & \false \\
	\hline
	\true & \false & \true \\
	\hline
	\false & \true & \true \\
	\hline
	\true & \true & \false \\
	\hline
\end{tabular}

