<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\pagebreak
\columnratio{0.5}

\begin{paracol}{2}
Pierre Saunders

\switchcolumn
\begin{flushright}
L3 Math 2024-25

Université Côte d'Azûr
\end{flushright}
\end{paracol}

\begin{center}
\section*{Devoir Maison 2 : Algèbre multilinéaire}
\subsection*{Thème : Dualité linéaire, Bases duales et antéduales}
\end{center}

\bigskip

\subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \L(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$,

$$\Delta(P)(X) = P(X) - P(X - 1)$$

On introduit la famille de polynômes ($P_0, \cdots, P_n$) définie par

$$P_0 = 1 \text{ et } \forall k \in \discreteInterval{0, n - 1}, P_{k + 1}(X) = \frac{1}{(k + 1)!} \prod\limits^k_{i = 0}(X + i) = \frac{X(X + 1) \cdots (X + k)}{(k + 1)!}$$

On note enfin $\phi_0 \in E^*$ la forme linéaire $\phi_0(P) = P(0)$ et pour tout $k \in \discreteInterval{1,n}, \phi_k(P) = {}^t(\Delta)^k(\phi_0)$.

\begin{enumerate}
	\item{Montrer que pour tout $k \in \discreteInterval{1, n}, \Delta(P_k) = P_{k - 1}$.
		\begin{proof}
			$$\Delta(P_k) = P_k(X) - P_k(X - 1) = \frac{1}{(k + 1)!}\left[\prod\limits^k_{i = 0}(X + i) - \prod\limits^k_{i = 0}((X - 1) - i)\right] $$
			$$= \frac{1}{(k + 1)!}\left[(X + k) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i) - (X - 1) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]$$
			$$= \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]\left[(X + k) - (X + i)\right] = \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right](k + i) = P_{k - 1}$$
		\end{proof}
	}

	\item{En déduire que ($P_0, \cdots, P_n$) est une base $E$, dont ($\phi_0, \cdots, \phi_n$) est la base duale.
		\begin{proof}

		\end{proof}
	}

	\item{Si $P \in \R_n[X]$, exprimer les coordonnées dans la base ($P_0, \cdots, P_n$) d'un polynôme $Q \in \R_{n + 1}[X]$ tel que $\Delta(Q) = P$.
	}

	\item{Justifier que deux polynômes $Q_1, Q_2 \in \R_n[X]$ tels que $\Delta(Q_1) = \Delta(Q_2)$ différent d'une constante.
	}

	\bigskip
	{\setlength\parindent{-25pt}\par\textit{Application :}}
	\bigskip

	\item{Justifier que si $\Delta(Q) = P$, alors $P(1) + \cdots + P(n) = Q(n) - Q(0)$.
	}

	\item{On suppose $n \ge 3$. Exprimer les coordonnées des polynômes $X, X^2$ et $X^3$ dans la base ($P_0, \cdots, P_n$).
	}

	\item{En déduire des expressions simples en fonction de $n$ des sommes suivantes
		\begin{enumerate}
			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k = 1 + 2 + \cdots + n$}
			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^2 = 1 + 2^2 + \cdots + n^2$}
			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^3 = 1 + 2^3 + \cdots + n^3$}
		\end{enumerate}
	}
\end{enumerate}
</pre></body></html>